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高校数学 >> 高校数学Ⅰ・Ａ >> 順列・組合せ

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【例】
　右図のような街路があるとき，Ａ地点からＢ地点まで最短経路で行く方法は何通りありますか．

　順路を式や文字に対応させることができれば取り扱いが容易になります.
　Ａ地点からＢ地点へ，遠回りせずに行く限り，どの順路も東向きに４回，北向きに３回移動していることが分かります.

　同じものがあるときの順列の総数は組合せ nCr を用いて解説されることが多いので，これらの関係を示す．
　aabbb のように同じものを2個と3個含む文字列を並べ替えてできる順列の総数は，
.5!3!2!nnn 通り

であるが，それぞれにおいて a の場所さえ決めれば残りの場所は b に決まる．
　例えば abbab では a の番号を1番と４番の２つに決めれば残り２，３，５番は b になる．したがって，aabbb の並べ替え方は，異なる５個の番号札から a の行き先の番号札２個をもらう方法の数 5C2 に等しく，組合せの公式
5C2=.5!2!3!nnn=10

でも求められる． ※　もちろん，b の行き先の番号札３個をもらう方法の数 5C3 で計算しても同じになる．
5C3=.5!3!2!nnn=10

選択肢をクリックすれば採点結果と解説が出ます．暗算では無理ですから計算用紙で計算してから答えてください．

≪1≫
　次の図のような街路において，Ａ地点からＢ地点まで最短経路で行く方法は何通りありますか. 　

${\displaystyle \frac{7!}{4!3!}}=35$通り

≪2≫
　次の図のような街路において，Ａ地点からＢ地点まで最短経路で行くとき，途中Ｐ地点を通る方法は何通りありますか. （ＡからＰ，ＰからＢに行くことにすると，黄色で示した２つの長方形で各々順路を考えればよいことになります．結果は積の法則でまとめます.）

${\displaystyle \frac{6!}{3!3!}}\times {\displaystyle \frac{4!}{3!1!}}=20\times 4=80$ 通り

≪3≫
　次のような街路において，Ａ地点からＢ地点まで最短経路で行くとき，途中Ｐ地点を通らない方法は何通りありますか. 　

A地点からB地点に行く順路は全部で
${\displaystyle \frac{10!}{6!4!}}=210$ 通り
そのうちで，A地点からP地点を通ってB地点に行く順路は
${\displaystyle \frac{6!}{3!3!}}\times {\displaystyle \frac{4!}{3!1!}}=20\times 4=80$ 通り
これらの差を求めると
210−80=130通り …（答）

≪4≫
　次のような街路において，Ａ地点からＢ地点まで最短経路で行くとき，途中Ｑ地点とＰ地点を通る方法は何通りありますか.

　Ａ→Ｑ：　４！÷(２！２！)＝６通り
　Ｑ→Ｐ：　２！÷(１！１！)＝２通り
　Ｐ→Ｂ：　４！÷(３！１！)＝４通り
これらを積の法則でまとめます.
6×2×4=48通り …（答）

≪5≫
　次のような街路において，Ａ地点からＢ地点まで最短経路で行くとき，途中Ｑ地点を通らずＰ地点を通る方法は何通りありますか.

Ｐを通る方法は≪2≫の結果から80通り
ＰもＱも通る方法は≪4≫の結果から48通り
これらの差を求めると
80−48=32通り …（答） （別解）･･･直接数える場合
Ｑ地点を通らずＰ地点を通る方法には，（ア）右図のＲを通る方法と（イ）Ｓを通る方法がある．
（ア）Ｒを通る方法は
（イ）Ｓを通る方法は
和の法則により，16+16=32通り …（答）

≪6≫
　次の図のような街路において，Ａ地点からＢ地点まで最短経路で行く方法は何通りありますか.

（ア）の方法でこの問題を解くときは，下図Ｃを通るものを全体から取り除きます.
　全体=9!÷(4!5!)=126
　Ｃを通るもの=6!÷(3!3!)×3!÷(2!1!)=60
126−60=66通り …（答） （イ）の方法でこの問題を解くときは，例えば右図●印のような検門を通るものを和の法則でまとめます.
　6!÷(2!4!)×1=15
　＋
　6!÷(2!4!)×3!÷(2!1!)=45
　＋
　6!÷(1!5!)×1=6
15+45+6=66通り …（答）
　（検門の作り方には工夫が必要です--すなわち，それらの検門でＡからＢへ行く道が「もれなく」「重複なく」数えられることが重要です.右図●印のような検門と左の●印の検門を併用すると，両方通るものが登場してしまいます。）

≪7≫
　次の図のような街路において，Ａ地点からＢ地点まで最短経路で行くときに，途中の○の地点で買い物をしなければならないとすると，行き方は何通りありますか.

　Ｃ地点とＤ地点を通るものを考えます.この場合ＣＤ間の道は1通りです.
　Ａ→Ｃ：　５！÷(２！３！)
　Ｃ→Ｄ：　１
　Ｄ→Ｂ：　３！÷(２！１！)
これらを積の法則でまとめます.
10×1×3=30通り …（答）

≪8≫
　次の図のような街路において，×印の所が通行止めになっているとき，Ａ地点からＢ地点まで最短経路で行く方法は何通りありますか.

（全体）−（通行止め区間を通る道の数）で計算すると楽です．
AからBに行く順路は全部で
${\displaystyle \frac{9!}{5!4!}}=126$通り
通行止め区間を通る方法は，上記≪7≫の結果から
30通り
求める方法は
126−30=96通り…（答）

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≪9≫
　次の図のような街路において，Ａ地点からＢ地点まで最短経路で行く方法は何通りありますか.

　左上の欠けた部分を通る道は，必ずＣ地点を通ります.また，右下の欠けた部分を通る道は必ずＤ地点を通ります.そこで，全体から，Ｃを通るものとＤを通るものを取り除きます.
　全体：　９！÷(５！４！)
　Ｃを通る：　５！÷(４！１！)
　Ｄを通る：　６！÷(５！１！)
（Ｃ，Ｄの両方を通ることはありません.）
126−5−6=115通り…（答）

　検門を作る方法では，右のＰ，Ｑ，Ｒのような検門で待ち受けると「もれなく」「重複なく」数えることができます.
Ｐを通る：
5!÷(3!2!)×4!÷(3!1!)=40
Ｑを通る：
5!÷(2!3!)×4!÷(2!2!)=60
Ｒを通る：
＜注意：Ｒを通るものは必ず1つ上の点を通るので，問７の考え方で上にパイプを出します.＞
5!÷(4!1!)×1×3!÷(2!1!)=15
和の法則により
40+60+15=115通り…（答）

≪10≫
　次の図のような街路において，Ａ地点からＢ地点まで最短経路で行く方法は何通りありますか.

　この問題は，検門を置くほうが扱いやすいでしょう.
Ｐを通る：
${\displaystyle \frac{5!}{2!3!}}\times {\displaystyle \frac{4!}{3!1!}}=10\times 4=40$ 通り

Ｑを通る：
${\displaystyle \frac{5!}{2!3!}}\times {\displaystyle \frac{4!}{2!2!}}=10\times 6=60$ 通り

和の法則により
40+60=100通り…（答）

順路の図が見やすくて解説も丁寧でわかりやすいです。助かっています。これからも学習の傾向に応じたよくわかる問題をたくさんお願いします（＾＾）
＝＞［作者］：連絡ありがとう．連絡を受けたらその頁を読み直すようにいますが，「同じものがあるときの順列」と「組合せ」が等しいことについて，前の頁を読んでいない・覚えていない場合があると戸惑うかもしれないので，その解説を再掲しておきました．