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現在地と前後の項目 積の法則/和の法則/場合分けのまとめ方/樹形図.辞書式配列/階乗/階乗，順列/隣り合う並び方/両端指定，整数の順列/円順列，じゅず順列/重複順列/組合せ/組合せ２/組合せ３(文章題)/組分け/同じものがあるときの順列/順路/番号札のもらい方/二項定理,多項定理,二項係数の性質/約数の個数，約数の総和（入試問題）/二項定理,多項定理（入試問題）/重複組合せ/重複組合せ２(文章題)/順列・組合せ(章末問題)/ 重複組合せ（文章題） ■重複組合せ
≪要点≫
異なるn個のものから重複を許してr個取ってできる組合せの総数は  ○重複組合せの数を求めるには，上記の公式を使って組合せの数に直して計算します． ○重複組合せnHrにおいては，rがnよりも大きい場合もありえます．また，結果として得られる組の中では，n個のもののうち何度も使われている場合や１回も使われていない場合もあります．
【例１】
（解答）異なる2個のものから重複を許して3個取ってできる組合せの総数を求めよ． |
【例２】
（解答）a+b+c=5 (a, b, c≧0)を満たす整数解(a, b, c)の組は何通りありますか． 異なる３つのものa, b, cから名前を重複を許して５個取って来る組合せの総数と考えればよいから
【例３】
（解答）a+b+c=10を満たす整数解(a, b, c)の組のうちで，a≧1, b≧2, c≧3となるものは何通りありますか． １０個の玉を分ける問題と考えて，はじめからaには1個，bには2個，cには3個入れておく． a'=a−1，b'=b−2，c'=c−3とおくと a'+b'+c'=4 (a', b', c'≧0)を満たす整数解(a', b', c')の組を求めるとよい．
(a−1)+(b−2)+(c−3)=4 (a−1, b−2, c−3≧0)を解くということと同じ
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■重複組合せ（文章題） 《問題》
選択肢をクリックすれば採点結果と解説が出ます．暗算では無理ですから計算用紙で計算してから答えてください．
≪1≫
解説10個の同質なボールを３人の子供に分け与える方法は何通りありますか.ただし，1個ももらえない子供があってもよいものとします.
異なる３個のものから重複を許して１０個取って来る組合せになります（３人の名前を，重複を許して10回呼ぶ方法と同じです）
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≪2≫
解説10個の同質なボールを３人の子供に分け与える方法は何通りありますか.ただし，どの子供も少なくとも1個はもらえるものとします.
はじめに1個ずつ配っておき，残り７個を分けます
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解説
x, y, zの３人が10個のボールを分ける方法と同じです．
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解説
X=x−1, Y=y−1, Z=z−1とおくと，
X+Y+Z=7 (X, Y, Z≧0)の解の個数を求めることとなります。上記≪2≫の問題と同じ。 |
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≪5≫
解説x+y+z=10 (x≧1, y≧0, z≧−2)を満たす整数解(x, y, z)の組は何通りありますか．
X=x−1, Y=y, Z=z+2とおくと，
X+Y+Z=11 (X, Y, Z≧0)の解の個数を求めることとなります |
解説 ５個のものx, y, z, p, qのうちから重複を許して４回名前を呼ぶこととなります. (x+y+z+p+q)(x+y+z+p+q)(x+y+z+p+q)(x+y+z+p+q) ↓↓↓↓ xxyp たとえば，このようにしてできるx2ypなどの項が何種類あるかということ |
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解説
４個のものx, y, z, pのうちから重複を許して５回名前を呼ぶこととなります.
(x+y+z+p)(x+y+z+p)(x+y+z+p)(x+y+z+p)(x+y+z+p) ↓↓↓↓↓ xyzzz たとえば，このようにしてできるxyz3などの項が何種類あるかということ ４個のものx, y, z, pのうちから重複を許して５回名前を呼ぶこととなります. |
≪8≫
解説４桁の電話番号で千，百，十，一の位の数を各々a, b, c, dとするとき，0123, 1223, 2333のように，a≦b≦c≦dの条件を満たすものは何通りありますか.
並べ替えのできるもの⇒順列
並べ替えのできないもの⇒組合せ です．この問題ではa≦b≦c≦dのように大小の順が決められていて，並べ替えができないので，４個の数字を選べば小さい方から順にa≦b≦c≦dが決まります． 10個の数字から，重複を許して４個選ぶ方法は ※なお，例に示したように４桁の電話番号では最高位の数が０ということもあります． |
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