順列，組合せ（章末問題）

○　順列
　異なる n 個のものから，異なる r 個のものを取ってできる順列の総数（ただし，0≦r≦n ）
nPr=.

n!(n−r)!nnnnnn

○　重複順列
　異なる n 個のものから，重複を許して r 個のものを取ってできる順列の総数（ r は n よりも大きくてもよい．）
nΠr=nr

※高校の教科書では通常nΠr=nrという記号は使われていない．
ギリシャ文字のΠ（パイ）は積を表す．
$_n\Pi_r=\underbrace{n\cdot n\cdots n}_{\hspace{10}r}$
単に重複順列はnrと覚えたらよい．

○　同じものがあるときの順列
　n 個のもののうち， p 個，q 個，r 個，… がそれぞれ同じものであるとき，これらを全部使っていできる順列の総数
（ただし，p+q+r+ ···= n ）
.

n!p!q!r!···nnnnnnn

（※　全部使うときはこの公式で簡単に求まるが，一部だけ使うときはその構成に応じて分けて考えなければならず，かなり複雑になる）

○　組合せ
　異なる n 個のものから，異なる r 個のものを取ってできる組合せの総数（ただし，0≦r≦n ）
nCr=.

n!r!(n−r)!nnnnnnn

○　重複組合せ
　異なる n 個のものから，重複を許して r 個のものを取ってできる組合せの総数（ r は n よりも大きくてもよい．）
nHr=n+r−1Cr

※重複組合せの記号には，なぜH を使うのか
　次数（掛けてある文字の数）が等しい多項式を「同次多項式」「斉次多項式」という（Homogeneous polynomial）．重複組合せは，同次多項式の異なる項の数として登場するので，このＨを記号にしたもの．

２つの文字で作られる３次式が何通りあるかについて：
(a+b)3を展開してできる同次式の総数は
=aaa+aab+aba+baa+abb+bab+bba+bbb

順序を区別すれば，項の数は「重複順列」
23=8通りになる

=a3+3a2b+3ab2+b3

文字の部分が同じものを同類項として整理すれば，文字の組合わせはa3 , a2b , ab2 ,b3で2H3=4種類になる

前回に引き続き、あまり大きなことではないのですが、、、、、公式の要約の重複順列で、記号がHではなくΠが使われているのは何か深いわけがあるのでしょうか？僕が根本的にダメな間違いをしていましたら、おゆるしください・•・m(_ _)m
＝＞［作者］：連絡ありがとう．その頁は章末のまとめの問題なので，詳しい話は前にある個別の頁を見てください．
　深いわけというほどのことでもないのですが，異なるｎ個のものから重複を許してｒ個のものをとってくる組合せの総数をnHrで表し，異なるｎ個のものから重複を許してｒ個のものをとってくる順列の総数をnΠrで表します．

（例えば）
(a+b)2を展開するとaa+ab+ba+bbとなりますが，abとbaのように「書いてある文字の順序を区別する」と順列と見ていることになり，これが異なる２つのものa, bから重複を許して２つとってくる順列の総数2Π2=22=4に対応しています．
これに対して，(a+b)2を展開したときに，abとbaを書かれた順序を区別せずに同類項としてまとめるとaa+2ab+bbすなわちa2+2ab+b2となって，項の数は３個と数えることになります．これが異なる２つのものa, bから重複を許して２つとってくる組合せの総数2H2=3に対応しています．
（他の例）
(a+b)3を展開するとaaa+aab+aba+abb+baa+bab+bba+bbbとなりますが，aab, aba, baaのように「書いてある文字の順序を区別する」と順列と見ていることになり，これが異なる２つのものa, bから重複を許して３つとってくる順列の総数2Π3=23=8に対応しています．
これに対して，(a+b)2を展開したときに，aab, aba, baaなどを書かれた順序を区別せずに同類項としてまとめるとa3+3a2b+3ab2+b3となって，項の数は４個と数えることになります．これが異なる２つのものa, bから重複を許して２つとってくる組合せの総数2H3=4に対応しています．

※関係があるようなないような話として，ギリシヤ文字のΣは和を表すときに使い，Πは積を表すときに使う．Ｈはアルファベットで，その意味は重複組合せの頁に書いてあります．
$\sum_{k=1}^n a_k=a_1+ a_2 + \cdots + a_n$ 　⇒ギリシャ文字のΣはアルファベットのＳ...Sum（和）に対応
$\prod_{k=1}^n a_k=a_1\times a_2 \times \cdots \times a_n$ 　⇒ギリシャ文字のΠはアルファベットのＰ...Product（積）に対応

○文章の形をしている感想は全部読ませてもらっています．
○感想の内で，どの問題がどうであったかを正確な文章で伝えていただいた改善要望に対しては，可能な限り対応するようにしています．（※なお，攻撃的な文章になっている場合は，それを公開すると筆者だけでなく読者も読むことになりますので，採用しません．）

♪ややむずかしい♪ 問題１ [ 採点する ]　[ 解説 ] 　４桁の自然数のうちで 1257 , 2389 のように各位の数が順に大きくなるものは何通りあるか．通り
問題２ [ 採点する ]　[ 解説 ] 　４桁の自然数のうちで 5139 , 3337 のように各位の数が奇数からなるものは何通りあるか．通り
問題３ [ 採点する ]　[ 解説 ] 　同質に作られた５個のボールを４人の子どもに分ける方法は何通りあるか．ただし，１個ももらえない子どもがいてもよいとする．通り
問題４ [ 採点する ]　[ 解説 ] 　x+y+z=5 の正の整数解は何通りあるか．通り
問題５ [ 採点する ]　[ 解説 ] 　aaabbc の6文字のうち4文字を使ってできる順列の総数を求めよ．通り
問題６　次の空欄を埋めよ． [ 採点する ]　[ 解説 ] ________nPr= n−1Pr−1 ________.n−1Cr−1nCrnnnnnn=.nnn ________nHr=.nnn n+1Hr−1