二次方程式の解の公式2

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二次方程式の解の公式

【解説】
x2=a　の解は x = ±　です．　（中学校では，a は 0 以上とします．）
　その応用として，(x+b)2=a …(1) を
　x+b=± と変形すると，
　解　x=−b± が求まります．

===> どんな２次方程式でも（1）の形に変形できるので，どんな２次方程式でも解けます．
（ただし，実際に解くときは１つずつ(1)の形にするのでなく，この結果をまとめたもの：「解の公式」↓を使います．）

【公式】
　２次方程式 ax2+bx+c=0　( a≠0 )の解は

.x=

です．（これを使えばどんな２次方程式でも解けます．）
ただし，中学校では根号（√）の中には，0以上の数が入る問題だけを扱います．

（証明）：見るだけでよい･･･全部理解するには高校の数学Ｉ程度の文字式変形能力を要します
$ax^2+ bx+ c=0$ $(a\ne 0)$ …(1)のとき

≪変形の方針≫
$(x+ A)^2=B$ …(2)
の形になれば
$x+ A=\pm \sqrt{B}$ …(3)
のように変形できて
$x=-A \pm \sqrt{B}$ …(4)
のように解けるから，(1)→(2)→(3)→(4)の形に変形することを目指す．

右上に続く↑

↓続き

$x^2+ \frac{b}{a}x+ \frac{c}{a}=0$
$(x+ \frac{b}{2a})^2 -\frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a}=0$
$(x+ \frac{b}{2a})^2 =\frac{b^2-4ac}{4a^2}$ …(2)ができた！
$x+ \frac{b}{2a} =\pm \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}$
$x+ \frac{b}{2a} =\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ …(3)ができた！
$x=-\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ …(4)［完成］！

※２次方程式を「解の公式を使って解く」とは，上記の証明を１回ずつ行うのではなく，(1)から入ったら直ちに結果の(4)から出てくるという使い方を言います．

※それぞれの数値係数に対して上記の変形を行うのは大変なので，上記の変形に身代わり地蔵として代表で苦労してもらって，他の人は楽な結果だけを使うということで，別の言い方をすれば労力・時間に関して「エコ」な方法でやるということです．

【例】　2x²+5x+1=0 を解くには

（解答）
a=2 , b=5 , c=1　を解の公式に代入します．

.x = =

解を求めるプログラム

○　教科書や授業でよく使われる形

○　高校以上の理科などでよく使われる形

【問題】

■［個別の頁からの質問に対する回答］[二次方程式の解の公式について／17.4.10］

わからない問題があって、書き込んだら教えてもらえるかなっと思って書きました。式は400x=600y×3.5 という式なんですけど教えてもらえるでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．数学をかなり苦手としているようですが，この頁は２次方程式の解の公式を扱っています．あなたの質問は問題の形をしていません．400x=600y×3.5 という式には解というものは（中学校では）考えません．未知数が２つ（ｘとｙ）あるので方程式がもう１つなければ解けません．
この式が表す「直線のグラフを書く」とか「傾きを求める」という形の問題なら問題として成り立ちますが，「400x=600y×3.5 という式」だけでは問題になっていないのです．

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