クラメルの公式

== クラメルの公式 ==

　このページでは，連立1次方程式の解き方のうちで「クラメルの公式」と呼ばれる解き方を具体例を用いて解説し，簡単な連立方程式が解けるようになることを目標とする．
　内容は大学の基本レベルで，行列式の計算を利用する．
　クラメルの公式が成り立つことの証明は，別のページに書いてあります．

2x+5y=9 …(1.1)
3x−4y=2

　この2元連立1次方程式の解は，係数行列の行列式が0でないとき，次のように係数行列の行列式の割り算で表されるというのが「クラメルの公式」です．
　(1.1)の左辺の係数行列の行列式を

2	5
3	−4

とし，次にxの係数を右辺のベクトルに入れ替えた行列の行列式を

9	5
2	−4

とすると

$x=$

9	5
2	−4

2	5
3	−4

と求めることができる．

同様にして，yの値を求めるには，yの係数を右辺のベクトルに入れ替えた行列の行列式

2	9
3	2

を使って

$y=$

2	9
3	2

2	5
3	−4

と求めることができる．

2×2行列の行列式は
$\begin{vmatrix}a& b\\ c& d\end{vmatrix}=ad-bc$
のように計算するので，上記のx, yの値は，次のようになる．
$x=\frac{9\times(-4)-5\times 2}{2\times(-4)-5\times 3}=\frac{-46}{-23}=2$
$y\frac{2\times 2-9\times 3}{2\times(-4)-5\times 3}=\frac{-23}{-23}=1$
以上により，2元1次連立方程式(1.1)の解は，(x, y)=(2, 1)となる．

ちょっと一息
　スイス人cramerの名を英語読みすればクレイマーになるが，文句を言う人claimerとは違い，商人という意味らしい．
　外国人の名前をカタカナ表記にするとバラバラに分かれるが，手元にある線形代数の教科書10冊の中では，クラメル5冊，クラーメル3冊，クラメール2冊とクラメルが一番多いので，このページではクラメルに揃えることにした．
　この公式はクラメルが1748年に出版した代数学の書物に書かれていたので，後にクラメルの公式と呼ばれるようになったが，実際にはマクローリンがそれよりも数十年前に見つけていたと言われている．

【要点１】
(1) 連立方程式

ax+by=p
cx+dy=q
は，係数行列の行列式

a	b
c	d

=ad−bc

が０でないとき，次の形で解が求められる．これをクラメルの公式という．

$x=$

p	b
q	d

a	b
c	d

$y=$

a	p
c	q

a	b
c	d

　xを求めるとき，係数行列のxの係数を右辺の定数ベクトルに書き換えたものを分子にする．
　yを求めるとき，係数行列のyの係数を右辺の定数ベクトルに書き換えたものを分子にする．

(2) 係数行列の行列式ad−bcが０になる場合は，この公式では解は求まらない．（行基本変形など別の方法を使うとよい）

【例題1.2】
次の連立方程式をクラメルの公式を使って解いてください．

x+2y=8
−2x+y=−1

（解答）

$x=$

8	2
−1	1

1	2
−2	1

分母は， $1\times 1-2\times(-2)=5$
分子は， $8\times 1-2\times(-1)=10$
$x=\frac{10}{5}=2$

$y=$

1	8
−2	−1

1	2
−2	1

分母は， $1\times 1-2\times(-2)=5$
分子は， $1\times(-1)-8\times(-2)=15$
$y=\frac{15}{5}=3$

以上により，連立方程式(1.2)の解は，(x, y)=(2, 3)となる．

【例題1.3】
次の連立方程式をクラメルの公式を使って解いてください．

3x+y=8
2x−3y=9

（解答）

$x=$

8	1
9	−3

3	1
2	−3

分母は， $3\times(-3)-1\times 2=-11$
分子は， $8\times(-3)-1\times 9=-33$
$x=\frac{-33}{-11}=3$

$y=$

3	8
2	9

3	1
2	−3

分母は， $3\times(-3)-1\times 2=-11$
分子は， $3\times 9-8\times 2=11$
$y=\frac{11}{-11}=-1$

以上により，連立方程式(1.3)の解は，(x, y)=(3, −1)となる．

【問題1.4】
次の連立方程式をクラメルの公式を使って解いてください．

3x+5y=2
2x+3y=3

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（解答）

$x=$

2	5
3	3

3	5
2	3

分母は， $3\times 3-5\times 2=-1$
分子は， $2\times 3-5\times 3=-9$
$x=\frac{-9}{-1}=9$

$y=$

3	2
2	3

3	5
2	3

分母は， $3\times 3-5\times 2=-1$
分子は， $3\times 3-2\times 2=5$
$y=\frac{5}{-1}=-5$

以上により，連立方程式の解は，(x, y)=(9, −5)となる．
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【問題1.5】
次の連立方程式をクラメルの公式を使って解いてください．

2x−3y=8
4x−5y=14

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（解答）

$x=$

8	−3
14	−5

2	−3
4	−5

分母は， $2\times(-5)-(-3)\times 4=2$
分子は， $8\times(-5)-(-3)\times 14=2$
$x=\frac{2}{2}=1$

$y=$

2	8
4	14

2	−3
4	−5

分母は， $2\times(-5)-(-3)\times 4=2$
分子は， $2\times 14-8\times 4=-4$
$y=\frac{-4}{2}=-2$

以上により，連立方程式の解は，(x, y)=(1, −2)となる．
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【問題1.6】
次の連立方程式をクラメルの公式を使って解いてください．

2x+5y=1
3x+4y=2

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（解答）

$x=$

1	5
2	4

2	5
3	4

分母は， $2\times 4-5\times 3=-7$
分子は， $1\times 4-5\times 2=-6$
$x=\frac{-6}{-7}=\frac{6}{7}$

$y=$

2	1
3	2

2	5
3	4

分母は， $2\times 4-5\times 3=-7$
分子は， $2\times 2-1\times 3=1$
$y=\frac{1}{-7}=-\frac{1}{7}$

以上により，連立方程式の解は， $(x,\hspace{2}y)=(\frac{6}{7},\hspace{2}-\frac{1}{7})$ となる．
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【問題1.7】
次の連立方程式をクラメルの公式を使って解いてください．

−2x+5y=1
3x+y=−2

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（解答）

$x=$

1	5
−2	1

−2	5
3	1

分母は， $-2\times 1-5\times 3=-17$
分子は， $1\times 1-5\times(-2)=11$
$x=\frac{11}{-17}=-\frac{11}{17}$

$y=$

−2	1
3	−2

−2	5
3	1

分母は， $-2\times 1-5\times 3=-17$
分子は， $-2\times(-2)-1\times 3=1$
$y=\frac{1}{-17}=-\frac{1}{17}$

以上により，連立方程式の解は， $(x,\hspace{2}y)=(-\frac{11}{17},\hspace{2}-\frac{1}{17})$ となる．
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［3次の行列式の求め方：簡単に復習］
(A) 3次正方行列の行列式の値を求める「サラスの方法」と呼ばれる覚え方がある（sarrus［フランス人，人名］）．
(B) ただし，サラスの方法は４次以上の場合には適用できないので，ここでは余因子展開によって行列式の値を求める方法も解説する．
(A) サラスの方法

=a11a22a33+a12a23a31+a13a32a21
−a31a22a13−a11a23a32−a21a12a33

(B)　余因子展開では，まずi行j列の成分に(−1)i+jの符号を持たせる．要するにi+jが偶数ならば正，奇数ならば負の符号となるから，1行1列の成分を正として，チェック模様に交互に符号を付けることになる．

+	−	+
−	+	−
+	−	+

　次に，どこか1つの列または１つの行に沿って展開して，ｎ次の行列式をｎ-1次の行列式に直して計算する．
例えば，3次の行列式
　 $\begin{vmatrix}a& b& c\\ p& q& r\\ s& t& u\end{vmatrix}$
を1列目に沿って展開する方法で，２次の行列式によって計算すると
$\begin{vmatrix}a& b& c\\ p& q& r\\ s& t& u\end{vmatrix}=a\begin{vmatrix}q& r\\ t& u\end{vmatrix}-p\begin{vmatrix}b& c\\ t& u\end{vmatrix}+ s\begin{vmatrix}b& c\\ q& r\end{vmatrix}$ $=a(qu-rt)-p(bu-ct)+ s(br-cq)$
1行目に沿って展開した場合は
$\begin{vmatrix}a& b& c\\ p& q& r\\ s& t& u\end{vmatrix}=a\begin{vmatrix}q& r\\ t& u\end{vmatrix}-b\begin{vmatrix}p& r\\ s& u\end{vmatrix}+ c\begin{vmatrix}p& q\\ s& t\end{vmatrix}$ $=a(qu-rt)-b(pu-rs)+ c(pt-qs)$
2行目に沿って展開した場合は
$\begin{vmatrix}a& b& c\\ p& q& r\\ s& t& u\end{vmatrix}=-p\begin{vmatrix}b& c\\ t& u\end{vmatrix}+ q\begin{vmatrix}a& c\\ s& u\end{vmatrix}-r\begin{vmatrix}a& b\\ s& t\end{vmatrix}$ $=-p(bu-ct)+ q(au-cs)-r(at-qs)$
※どの行，どの列に沿って展開しても結果は等しくなるが，実際の計算にあたっては，０や１の成分が多い行や列に沿って展開すると，計算が楽になり計算間違いが少なくなる．

【例題2.1】
次の連立方程式をクラメルの公式を使って解いてください．

x+y+z=3
2x+3y+4z=−1
3x+5y+8z=2

（解答）

$x=$

3	1	1
−1	3	4
2	5	8

1	1	1
2	3	4
3	5	8

≪サラスの方法で行列式の値を求める場合≫
分母は， $(1\cdot 3\cdot 8+ 1\cdot 4\cdot 3+ 1\cdot 2\cdot 5)$
$-(1\cdot 3\cdot 3+ 1\cdot 2\cdot 8+ 1\cdot 4\cdot 5)$
$(24+ 12+ 10)-(9+ 16+ 20)$
$46-45=1$
分子は， $(3\cdot 3\cdot 8+ 1\cdot 4\cdot 2+ 1\cdot(-1)\cdot 5)$
$-(1\cdot 3\cdot 2+ 1\cdot(-1)\cdot 8+ 3\cdot 4\cdot 5)$
$=(72+ 8-5)-(6-8+ 60)$
$=75-58=17$
ゆえに $x=17$

≪余因子展開で行列式の値を求める場合≫
(１行に沿って展開すると)分母は，
$1\begin{vmatrix}3& 4\\5& 8\end{vmatrix}-1\begin{vmatrix}2& 4\\3& 8\end{vmatrix}+ 1\begin{vmatrix}2& 3\\3& 5\end{vmatrix}$ $=(24-20)-(16-12)+ (10-9)=4-4+ 1=1$
(１行に沿って展開すると)分子は，
$3\begin{vmatrix}3& 4\\5& 8\end{vmatrix}-1\begin{vmatrix}-1& 4\\2& 8\end{vmatrix}+ 1\begin{vmatrix}-1& 3\\2& 5\end{vmatrix}$ $=3\cdot(24-20)-(-8-8)+ (-5-6)=12+ 16-11=17$
ゆえに $x=17$

$y=$

1	3	1
2	−1	4
3	2	8

1	1	1
2	3	4
3	5	8

≪サラスの方法で行列式の値を求める場合≫
分母は，xの場合と同じだから1
分子は， $(1\cdot(-1)\cdot 8+ 3\cdot 4\cdot 3+ 1\cdot 2\cdot 2)$
$-(1\cdot(-1)\cdot 3+ 1\cdot 4\cdot 2+ 3\cdot 2\cdot 8)$
$=(-8+ 36+ 4)-(-3+ 8+ 48)$
$=32-53=-21$
ゆえに $y=-21$

≪余因子展開で行列式の値を求める場合≫
(１行に沿って展開すると)分母は，xの場合と同じだから1
(１行に沿って展開すると)分子は，
$1\begin{vmatrix}-1& 4\\2& 8\end{vmatrix}-3\begin{vmatrix}2& 4\\3& 8\end{vmatrix}+ 1\begin{vmatrix}2& -1\\3& 2\end{vmatrix}$ $=1\cdot(-8-8)-3\cdot(16-12)+ 1(4+ 3)$
$=-16-12+ 7=-21$
ゆえに $y=-21$

$z=$

1	1	3
2	3	−1
3	5	2

1	1	1
2	3	4
3	5	8

≪サラスの方法で行列式の値を求める場合≫
分母は，xの場合と同じだから1
分子は， $(1\cdot 3\cdot 2+ 1\cdot(-1)\cdot 3+ 3\cdot 2\cdot 5)$
$-(3\cdot 3\cdot 3+ 1\cdot 2\cdot 2+ 1\cdot(-1)\cdot 5)$
$=(6-3+ 30)-(27+ 4-5)$
$=33-26=7$
ゆえに $z=7$

≪余因子展開で行列式の値を求める場合≫
(１行に沿って展開すると)分母は，xの場合と同じだから1
(１行に沿って展開すると)分子は，
$1\begin{vmatrix}3& -1\\5& 2\end{vmatrix}-1\begin{vmatrix}2& -1\\3& 2\end{vmatrix}+ 3\begin{vmatrix}2& 3\\3& 5\end{vmatrix}$ $=1\cdot(6+ 5)-1\cdot(4+ 3)+ 3\cdot(10-9)$
$=11-7+ 3=7$
ゆえに $z=7$

以上により，連立方程式の解は，(x, y, z)=(17, −21, 7)となる．

【問題2.2】
次の連立方程式をクラメルの公式を使って解いてください．

2x−y+3z=5
3x+4y−z=2
−x−2y+3z=4

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（解答）

$x=$

5	−1	3
2	4	−1
4	−2	3

2	−1	3
3	4	−1
−1	−2	3

途中経過省略
分母は，22
分子は，0
ゆえに $x=0$

$y=$

2	5	3
3	2	−1
−1	4	3

2	−1	3
3	4	−1
−1	−2	3

途中経過省略
分母は，22
分子は，22
ゆえに $y=1$

$z=$

2	−1	5
3	4	2
−1	−2	4

2	−1	3
3	4	−1
−1	−2	3

途中経過省略
分母は，22
分子は，44
ゆえに $z=2$

以上により，連立方程式の解は，(x, y, z)=(0, 1, 2)となる．

【問題2.3】
次の連立方程式をクラメルの公式を使って解いてください．

4x+3y=1
3x+y+z=−2
−x+5y−2z=15

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（解答）

$x=$

1	3	0
−2	1	1
15	5	−2

4	3	0
3	1	1
−1	5	−2

途中経過省略
分母は，−13
分子は，26
ゆえに $x=-2$

$y=$

4	1	0
3	−2	1
−1	15	−2

4	3	0
3	1	1
−1	5	−2

途中経過省略
分母は，−13
分子は，−39
ゆえに $y=3$

$z=$

4	3	1
3	1	−2
−1	5	15

4	3	0
3	1	1
−1	5	−2

途中経過省略
分母は，−13
分子は，−13
ゆえに $z=1$

以上により，連立方程式の解は，(x, y, z)=(−2, 3, 1)となる．

　4次の正方行列に対する行列式には，サラスの方法は使えないので，余因子展開で行うとよい．
　まずi行j列の成分に(−1)i+jの符号を持たせる．要するにi+jが偶数ならば正，奇数ならば負の符号となるから，1行1列の成分を正として，チェック模様に交互に符号を付ける．

+	−	+	−
−	+	−	+
+	−	+	−
−	+	−	+

　次に，どこか1つの列または１つの行に沿って展開して，4次の行列式を3次の行列式に直して計算する．
例えば，4次の行列式
　 $\begin{vmatrix}a& b& c& d\\ e& f& g& h\\ k& l& m& n\\ p& q& r& s\end{vmatrix}$
を1列目に沿って展開する方法で，３次の行列式に直して計算すると
$\begin{vmatrix}a& b& c& d\\ e& f& g& h\\ k& l& m& n\\ p& q& r& s\end{vmatrix}$ $=a\begin{vmatrix}f& g& h\\ l& m& n\\q& r& s\end{vmatrix}$ $-e\begin{vmatrix}b& c& d\\ l& m& n\\q& r& s\end{vmatrix}$
$+ k\begin{vmatrix}b& c& d\\f& g& h\\q& r& s\end{vmatrix}-p\begin{vmatrix}b& c& d\\f& g& h\\l& m& n\end{vmatrix}$
※1) 各々の３次の行列式の計算方法は，ここまでに行ってきた通り．
※2) どの行，どの列に沿って展開しても結果は等しくなるが，実際の計算にあたっては，０や１の成分が多い行や列に沿って展開すると，計算が楽になり計算間違いが少なくなる．
　４次の行列式の計算は，計算量が多くて大変であるが，特に１つの列や行に0が多いと計算が楽になることから，行列式の基本変形を利用して，あらかじめ０を増やすことができる．

【行列式の基本変形】
(A) ある行に他の行の定数倍を加えても行列式の値は変わらない．
(B) 列についても同様である．

　行列式の基本変形について，十分理解できていない場合でも，上の(A)で述べたことは，連立方程式の変形方法として「(1)式を2倍して(2)に加える」など中学高校で普通に使ってきた内容と同じである．
　行列式の値としては，(B)に述べたように「ある列に他の列の定数倍を加える」という変形も可能である．

【4次の行列式の計算練習】

【例題3.1】
次の行列式の値を求めてください．
$\begin{vmatrix}1& 2& 3& -1\\ 2& 3& 1& 0\\ -1& 0& 2& 3\\ 1& 2& 1& 1\end{vmatrix}$

（解答）
≪とにかく余因子展開を行う場合≫…０が１つある4列目に沿って展開すると
$\begin{vmatrix}1& 2& 3& -1\\ 2& 3& 1& 0\\ -1& 0& 2& 3\\ 1& 2& 1& 1\end{vmatrix}$ $=1\begin{vmatrix}2& 3& 1\\ -1& 0& 2\\ 1& 2& 1\end{vmatrix}+ 0$ $-3\begin{vmatrix}1& 2& 3\\ 2& 3& 1\\ 1& 2& 1\end{vmatrix}$
$+\begin{vmatrix}1& 2& 3\\ 2& 3& 1\\ -1& 0& 2\end{vmatrix}$
　次に，３次の行列式3個を，サラスの方法か余因子展開によって求めるのであるが，相当な根性物語になる．（それでもできる人はやればよいが，筆者はここまでで保留にしておく）

≪行基本変形を行って0を増やす場合≫
(2)行−(1)行×2，(3)行+(1)行，(4)行−(1)行の変形を行うと1列目に0が増える
$\begin{vmatrix}1& 2& 3& -1\\ 2& 3& 1& 0\\ -1& 0& 2& 3\\ 1& 2& 1& 1\end{vmatrix}$ $=\begin{vmatrix}1& 2& 3& -1\\ 0& -1& -5& 2\\ 0& 2& 5& 2\\ 0& 0& -2& 2\end{vmatrix}$
この行列式を1列目に沿って展開すると，3次の行列式になる
$=\begin{vmatrix}-1& -5& 2\\2& 5& 2\\ 0& -2& 2\end{vmatrix}$
さらに(2)行+(1)行×2の変形を行うと1列目に0が増える
$=\begin{vmatrix}-1& -5& 2\\0& -5& -2\\ 0& -2& 2\end{vmatrix}$
この行列式を1列目に沿って展開すると，２次の行列式になる
$=-\begin{vmatrix}-5& 6\\-2& 2\end{vmatrix}$
ここまで来ると暗算でできる
$=-(-10+ 12)=-2$

【例題3.2】
次の行列式の値を求めてください．
$\begin{vmatrix}4& 2& -1& 3\\ 2& 0& 1& -1\\ 3& 1& 0& 2\\ 1& -1& 3& 2\end{vmatrix}$

（解答）
≪行基本変形を行って0を増やす場合≫
(1)行−(4)行×4，(2)行−(4)行×2，(3)行−(4)行×3の変形を行うと1列目に0が増える
$\begin{vmatrix}0& 6& -13& -5\\ 0& 2& -5& -5\\ 0& 4& -9& -4\\ 1& -1& 3& 2\end{vmatrix}$ $=\begin{vmatrix}1& 2& 3& -1\\ 0& -1& -5& 2\\ 0& 2& 5& 2\\ 0& 0& -2& 2\end{vmatrix}$
この行列式を1列目に沿って展開すると，3次の行列式になる
$=-\begin{vmatrix}6& -13& -5\\2& -5& -5\\ 4& -9& -4\end{vmatrix}$
さらに(1)行−(2)行×3, (3)行−(2)行×2の変形を行うと1列目に0が増える
$=-\begin{vmatrix}0& 2& 10\\2& -5& -5\\ 0& 1& 6\end{vmatrix}$
この行列式を1列目に沿って展開すると，２次の行列式になる
$=2\begin{vmatrix}2& 10\\1& 6\end{vmatrix}$
ここまで来ると暗算でできる
$=2\times(12-10)=4$

【問題3.3】
次の行列式の値を求めてください．
$\begin{vmatrix}-3& 4& -1& 2\\ 2& 0& 2& 1\\ 3& 2& 0& 3\\ 4& 1& 5& 4\end{vmatrix}$

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（解答）
≪2列目に0があるので行基本変形を行って0を増やす≫
(1)行−(4)行×4，(3)行−(4)行×2の変形を行うと2列目に0が増える
$\begin{vmatrix}-19& 0& -21& -14\\ 2& 0& 2& 1\\ -5& 0& -10& -5\\ 4& 1& 5& 4\end{vmatrix}$ $=\begin{vmatrix}1& 2& 3& -1\\ 0& -1& -5& 2\\ 0& 2& 5& 2\\ 0& 0& -2& 2\end{vmatrix}$
この行列式を2列目に沿って展開すると，3次の行列式になる
$=\begin{vmatrix}-19& -21& -14\\2& 2& 1\\ -5& -10& -5\end{vmatrix}$
［連立方程式としては，列基本変形を行うと，例えばｘとｙの係数を入れ替えるとｘとｙの値が入れ替わってしまうが，「行列式の値を求める」ことと割り切れば，列基本変形も行える］
2行3列成分が1だから，これを使って2行目に0を増やす
(1)列−(3)列×2, (2)列−(3)列×2の変形を行う
$=\begin{vmatrix}9& 7& -14\\0& 0& 1\\ 5& 0& -5\end{vmatrix}$
この行列式を2行目に沿って展開すると，２次の行列式になる
$=-\begin{vmatrix}9& 7\\5& 0\end{vmatrix}$
ここまで来ると暗算でできる
$=(-1)\times(0-35)=35$

【問題3.4】
次の行列式の値を求めてください．
$\begin{vmatrix}2& 8& -4& 7\\ 3& 4& 3& 2\\ -4& 3& -1& -4\\ 5& 1& 2& 5\end{vmatrix}$

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（解答）
≪3行3列目に−1があるので，この値を定数倍して3列目に0を増やす≫
(1)行−(3)行×4，(2)行+(3)行×3, (4)行+(3)行×2
$\begin{vmatrix}18& -4& 0& 23\\ -9& 13& 0& -10\\ -4& 3& -1& -4\\ -3& 7& 0& -3\end{vmatrix}$
この行列式を3列目に沿って展開すると，3次の行列式になる
$=-\begin{vmatrix}18& -4& 23\\-9& 13& -10\\ -3& 7& -3\end{vmatrix}$
(1)列−(3)列
$=-\begin{vmatrix}-5& -4& 23\\1& 13& -10\\ 0& 7& -3\end{vmatrix}$
(1)行+(2)行×5
$=-\begin{vmatrix}0& 61& -27\\1& 13& -10\\ 0& 7& -3\end{vmatrix}$
この行列式を1列目に沿って展開すると，２次の行列式になる
$=\begin{vmatrix}61& -27\\7& 3\end{vmatrix}$
(1)行−(2)行×9
$=\begin{vmatrix}-2& 0\\7& 3\end{vmatrix}$
ここまで来ると暗算でできる
$=(6-0)=6$

【例題4.1】
次の連立方程式をクラメルの公式を使って解いてください．

x+2y+3z−4w=6
2x+y−z−2w=−3
2x+3y+2z−w=2
x+2y−z+w=−6

（解答）

$x=$

6	2	3	−4
−3	1	−1	−2
2	3	2	−1
−6	2	−1	1

1	2	3	−4
2	1	−1	−2
2	3	2	−1
1	2	−1	1

$y=$

1	6	3	−4
2	−3	−1	−2
2	2	2	−1
1	−6	−1	1

1	2	3	−4
2	1	−1	−2
2	3	2	−1
1	2	−1	1

$z=$

1	2	6	−4
2	1	−3	−2
2	3	2	−1
1	2	−6	1

1	2	3	−4
2	1	−1	−2
2	3	2	−1
1	2	−1	1

$w=$

1	2	3	6
2	1	−1	−3
2	3	2	2
1	2	−1	−6

1	2	3	−4
2	1	−1	−2
2	3	2	−1
1	2	−1	1

■共通の分母■　⇒1列目に0を増やす： (2)行−(1)行×2, (3)行−(1)行×2, (4)行−(1)行
$\begin{vmatrix}1& 2& 3& -4\\2& 1& -1& -2\\ 2& 3& 2& -1\\ 1& 2& -1& 1\end{vmatrix}$ $=\begin{vmatrix}1& 2& 3& -4\\0& -3& -7& 6\\ 0& -1& -4& 7\\ 0& 0& -4& 5\end{vmatrix}$
1列目に沿って余因子展開 ⇒ (1)行−(2)行×3
$=\begin{vmatrix}-3& -7& 6\\-1& -4& 7\\0& -4& 5\end{vmatrix}$ $=\begin{vmatrix}0& 5& -15\\-1& -4& 7\\0& -4& 5\end{vmatrix}$
1列目に沿って余因子展開 ⇒ (1)行+(2)行×3
$=\begin{vmatrix}5& -15\\-4& 5\end{vmatrix}$ $=\begin{vmatrix}-7& 0\\-4& 5\end{vmatrix}=-35$

■ｘの分子■　⇒　(2,2)成分の１を使って，２列目に0を増やす： (2)行−(1)行×2, (3)行−(1)行×2, (4)行−(1)行
$\begin{vmatrix}6& 2& 3& -4\\-3& 1& -1& -2\\ 2& 3& 2& -1\\ -6& 2& -1& 1\end{vmatrix}$ $=\begin{vmatrix}12& 0& 5& 0\\-3& 1& -1& -2\\ 11& 0& 5& 5\\ 0& 0& 1& 5\end{vmatrix}$
2列目に沿って余因子展開　⇒　(3,2)成分の１を使って，3行目に0を増やす： (3)列−(2)列×5
$=\begin{vmatrix}12& 5& 0\\ 11& 5& 5\\ 0& 1& 5\end{vmatrix}$ $=\begin{vmatrix}12& 5& -25\\ 11& 5& -20\\ 0& 1& 0\end{vmatrix}$
3行目に沿って余因子展開
$=-\begin{vmatrix}12& -25\\ 11& -20\end{vmatrix}=-(-240+ 275)=-35$
$x=\frac{-35}{-35}=1$

■ｙの分子■　⇒1列目に0を増やす： (2)行−(1)行×2, (3)行−(1)行×2, (4)行−(1)行
$\begin{vmatrix}1& 6& 3& -4\\2& -3& -1& -2\\ 2& 2& 2& -1\\ 1& -6& -1& 1\end{vmatrix}$ $=\begin{vmatrix}1& 6& 3& -4\\0& -15& -7& 6\\ 0& -10& -4& 7\\ 0& -12& -4& 5\end{vmatrix}$
1列目に沿って余因子展開　⇒ 3行目に0を増やす：(3)行−(2)行
$=\begin{vmatrix}-15& -7& 6\\ -10& -4& 7\\ -12& -4& 5\end{vmatrix}$ $=\begin{vmatrix}-15& -7& 6\\ -10& -4& 7\\ -2& 0& -2\end{vmatrix}$
3行目に0を増やす：(3)列−(1)列
$=\begin{vmatrix}-15& -7& 21\\ -10& -4& 17\\ -2& 0& 0\end{vmatrix}$
3行目に沿って余因子展開
$=-2\begin{vmatrix}-7& 21\\ -4& 17\end{vmatrix}=-2(-119+ 84)=70$
$y=\frac{70}{-35}=-2$

■ｚの分子■,■ｗの分子■も同様にして計算すると，各々−150と0になる
$z=\frac{-105}{-35}=3,\hspace{2}w=0$
以上により，連立方程式の解は，
(x, y, z, w)=(1, −2, 3, 0)となる．

【問題4.2】
クラメルの公式を使って，次の連立方程式の解を求めてください．

2x+y+3z−w=−8
−x+5y+2z+2w=9
3x+z+4w=1
4y+2z+w=4

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（解答）
(x, y, z, w)=(−2, 1, −1, 2)

【問題4.3】
クラメルの公式を使って，次の連立方程式の解を求めてください．

4x+y+2z+w=12
−x+5y+2w=−3
3x+2y+z=2
3x+2z+w=13

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（解答）
(x, y, z, w)=(1, −2, 3, 4)

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