○ この頁では,主に連立方程式の「掃き出し法」による解き方(または「行基本変形」による解き方,または「ガウスの消去法」による解き方)を扱います. ○ 全体の流れ 【未知数2個,方程式2個のとき】 次の連立方程式において,未知数xを消去したいとき,(1)式のように≪xの係数が1≫になっていると,2倍すれば(2)式のxの係数と簡単にそろえることができ,引き算によってxを消去できます.
【未知数3個,方程式3個のとき】
なお,各式は変形するたびに書き変わりますが,ここでは記号を繁雑にしないために,「書き換えた結果」も新たに(1)(2)(3)で表すものとします.
(3)−(1)×(−2)により(2)(3)のxを消去する
(3)−(2)×3により(1)(3)のyを消去する
(2)−(3)×5により(1)(2)のzを消去する
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←【なぜ係数を1にするのか】
次のような未知数2個の連立方程式なら,中学校で習ったように,(1)×3−(2)×2でxを消去できるのではないか?と思う人もあるかもしれない.
なお,各式の係数は変形するたびに書き変わりますが,ここでは記号を繁雑にしないために,「書き換えた結果」も新たにamnなどで表すものとします.
(2)−a21×(1)
(3)−a31×(1) (4)−a41×(1) によって(1)以外のx1を消します
(1)−a12×(2)
(3)−a32×(2) (4)−a42×(2) によって(2)以外のx2を消します
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【行列の形で書くとき】 はじめの未知数2個の連立方程式を行列の形で書くと,次のようになります.
【2×2の連立方程式の解き方:要約】
左辺の係数行列に右辺の定数項を付けたもの:「拡大係数行列」で表すと■問題の形
■この形にすれば答
■問題の形
■この形にすれば答
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【3×3の連立方程式の解き方:要約】
左辺の係数行列に右辺の定数項を付けたもの:「拡大係数行列」で表すと■問題の形
■この形にすれば答
■問題の形
■この形にすれば答
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【具体例による解説】 …3×3の場合について
[1]
A) 1行1列成分が0でなければ,1行目をその成分で割る
図1のように,他の成分は分数になっても構わずに割ります
図1
B) 1行1列成分が0であれば,1列目のうちで0でないものを探し,行を入れ替えてから A)の操作を行う
図2は,1行目と2行目を入れ替えた場合を示しています
図2
C) 1列目の成分が全部0のときは,xは任意の値になる
図3のような場合,xの係数が全部0だからxは何であっても構いません
図3
[2]
以下において,連立方程式のときと同様に1行目を(1),2行目を(2)などで表す
(2)−(1)×d (3)−(1)×g により係数d,gを0にします.
図1の右側から出発したとき,図4のようになります
図4
以上により,xの係数が処理できたので,次はyの係数(第2列)について,上記の[1][2]の操作を行います
[1]
A) 2行2列成分が0でなければ,2行目をその成分で割る
図4の右側から出発したとき,図5のようになります
図5
図6
もし,2行2列成分が0でなければ,以下の処理はxのときのB)C)と同様です
[2]
(1)−(2)×b (3)−(2)×h により係数b,hを0にします.
図5の右側から出発したとき,図6のようになります
以上により,yの係数が処理できたので,次はzの係数(第3列)についても同様に行います
図6の右側から出発したとき,図7のようになり,これは元の連立方程式の解がx=1, y=2, z=3であることを表しています.
図7
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以下,正しい番号を選択してください.
[問題1]
次の各行列は,拡大係数行列で表された連立方程式を掃き出し法によって解く過程を示したものです.(ア),(イ),(ウ)に入るものを各々右の選択肢から選んでください.
(ア) 1−2/3 2−1/3 31/3 42/3 解説
(2)−(1)×2により1−2/3×2=−1/3
(イ) 1−7 2−5 3−3 4−1 解説
(3)−(2)×1/3により−10/3−(−7)×1/3=−1
(ウ) 11 22 33 44 解説
(1)−(3)×5により2−0×5=2
[問題2]
次の各行列は,拡大係数行列で表された連立方程式を掃き出し法によって解く過程を示したものです.(エ),(オ),(カ)に入るものを各々右の選択肢から選んでください.
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(エ)
1−4/3
2−2/3
32/3
44/3
解説
(1)÷3により4/3
(オ) 1−5/3 2−2/3 31/3 44/3 解説
(3)−(2)×4/3により7/3−3×4/3=−5/3
(カ) 1−1 21 32 43 解説
(1)−(3)×(−2)により2−0×(−2)=2
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[問題3]
次の各行列は,拡大係数行列で表された連立方程式を掃き出し法によって解く過程を示したものです.(キ),(ク),(ケ)に入るものを各々右の選択肢から選んでください.
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(キ)
1−7
2−5
3−3
4−1
解説
(3)−(1)×6により−1−1×6=−7
(ク) 10 21 32 43 解説
(3)−(2)×9により−25−(−3)×9=2
(ケ) 10 21 32 43 解説
(2)−(3)×(−3)により−1−1×(−3)=2
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