← PC用は別頁

== 「掃き出し法」で不定，不能になる場合 ==

○　この頁では，連立方程式の「掃き出し法」による解き方のうちで，不定，不能となる場合を扱います．
　係数行列が正則である場合（det(A)≠0であるとき．すなわち，A−1が存在するとき）
A=
の方程式に左からA−1を掛けることにより，直ちに
=A−1
という解がただ１つ存在することが分かります．
　これに対して，この頁で扱う問題は，係数行列が正則でない場合（det(A)=0であるとき．すなわち，A−1が存在しないとき）で，解が存在しない場合と不定解となる場合に分かれます．
○　【例１】･･･解なしとなる場合
　次のような連立方程式は，zにどのような値を与えても成立しません．
　したがって，この連立方程式は「解なし」（不能）となります．
1x+2z=3…(1)
1y+4z=5…(2)
0z=6…(3)
　未知数y, zの立場を入れ替えると，次の連立方程式は，yにどのような値を与えても成立しません．
　したがって，この連立方程式は「解なし」（不能）となります．
1x+2z=3…(1)
0y=5…(2)
1z=6…(3)
　xについても同様です．
　これらを行列の形（拡大係数行列）で考えると，次のように「係数行列のある行がすべて0で，かつ，右辺の定数項が0でない」場合には，連立方程式は解なしになるということです．
a
d
0
b
e
0
c
f
0
 p
q
r



r≠0
a
0
g
b
0
h
c
0
i
 p
q
r


q≠0
○　【例２】･･･不定解となる場合
　次のような連立方程式では，(3)式はzにどのような値を与えても成立します．
1x+2z=3…(1)
1y+4z=5…(2)
0z=0…(3)
　zの値は任意の数ですが，これをtとおくと，(1)(2)によりx, yの値はそのzの値で表されることになります．
x=3−2t
y=5−4t
z=t
↑自由に決められる変数が１個あるときは，１個の媒介変数を使って表される不定解となります．
この場合，必ずしもzを媒介変数にしなくても，例えばxを媒介変数にすることもできます．
x=t
y=−1+2t
z=−
　さらに，次のような連立方程式は，y, zにどのような値を与えても成立します．
1x+2y+3z=4…(1)
0y=0…(2)
0z=0…(3)
　y, zの値は任意の数ですが，これをs, tとおくと（y, zは互いに等しくなくてもよいから，別々の文字で表す），(1)によりxの値はそのy, zの値で表されることになります．
x=4−2s−3t
y=s
z=t
↑自由に決められる変数が２個あるときは，２個の媒介変数を使って表される不定解となります．
　上の不定解の場合を行列の形（拡大係数行列）で考えると，次のように「係数行列のある行がすべて0で，かつ，右辺の定数項が0である」場合には，連立方程式は不定解になるということです．
1
0
0
0
1
0
c
f
0
 p
q
0

　元の連立方程式を考えると，上の例は，次の形の不定解を持つことになります．
x=p−ct
y=q−ft
z=t
　また，次のような場合には，２つの媒介変数で表示されることになります．
1
0
0
b
0
0
c
0
0
 p
0
0

x=p−bs−ct
y=s
z=t


【要約】
　連立方程式を掃き出し法で解いて行くと，対角線上に1ができるが，その途中経過で「左辺の係数が全部0」となる場合が起ったら
○　右辺の定数項が0でない　⇒　解なし
○　右辺の定数項が0　⇒　不定解　⇒　媒介変数を用いて表す

　以下において，連立方程式と同様に，１行目を(1)，２行目を(2)，..などと表す．
　また，繁雑になるのを避けるため，書き換えた式を再び(1)(2)(3)と振り直すものとする．
【例題１】
　次の連立方程式の解を掃き出し法で求めてください．
.x+3y+3z=−11…(1)
−2x−4y−2z=14…(2)
.x+y.−z=−2…(3)
（解答）
　連立方程式を拡大係数行列で表すと，次のようになる．
1
−2
1
3
−4
1
3
−2
−1
 −11
14
−2
(2)−(1)×(−2)
(3)−(1)により
1
0
0
3
2
−2
3
4
−4
 −11
−8
9
(2)÷2により
1
0
0
3
1
−2
3
2
−4
 −11
−4
9
(1)−(2)×3
(3)−(2)×(−2)により
1
0
0
0
1
0
−3
2
0
 1
−4
1
(3)により，「解なし」
【例題２】
　次の連立方程式の解を掃き出し法で求めてください．
.x+2y+3z=−1…(1)
3x+6y+9z=−1…(2)
.x+2y+z=−9…(3)
（解答）
　連立方程式を拡大係数行列で表すと，次のようになる．
1
3
1
2
6
2
3
9
1
 −1
−1
−9
(2)−(1)×3
(3)−(1)により
1
0
0
2
0
0
3
0
−2
 −1
2
−8
(2)により「解なし」
【例題３】
　次の連立方程式の解を掃き出し法で求めてください．
2x−y+3z=7…(1)
x−2y+3z=8…(2)
x+3y−2z=−7…(3)
（解答）
　連立方程式を拡大係数行列で表すと，次のようになる．
2
1
1
−1
−2
3
3
3
−2
 7
8
−7
(1)(2)を入れ替える
1
2
1
−2
−1
3
3
3
−2
 8
7
−7
(2)−(1)×2
(3)−(1)
1
0
0
−2
3
5
3
−3
−5
 8
−9
−15
(2)÷3
1
0
0
−2
1
5
3
−1
−5
 8
−3
−15
(1)−(2)×(−2)
(3)−(2)×5
1
0
0
0
1
0
1
−1
0
 2
−3
0
(3)によりzは任意（=tとおく）
x=2−t
y=−3+t
z=t
【例題４】
　次の連立方程式の解を掃き出し法で求めてください．
3x+2y+5z=11…(1)
x−5y+13z=−19…(2)
2x+3y.=14…(3)
（解答）
　連立方程式を拡大係数行列で表すと，次のようになる．
3
1
2
2
−5
3
5
13
0
 11
−19
14
(1)(2)を入れ替える
1
3
2
−5
2
3
13
5
0
 −19
11
14
(2)−(1)×3
(3)−(1)×2
1
0
0
−5
17
13
13
−34
−26
 −19
68
52
(2)÷17
1
0
0
−5
1
13
13
−2
−26
 −19
4
52
(1)−(2)×(−5)
(3)−(2)×13
1
0
0
0
1
0
3
−2
0
 1
4
0
(3)によりzは任意（=tとおく）
x=1−3t
y=4+2t
z=t

○以下，正しい番号を選択してください．
　なお，s, tは各々任意の数を表すものとします．
○各々の問題は，暗算ではできません．各自計算用紙を使ってください．
［問題１］
連立方程式の拡大係数行列が次の形になるとき，この連立方程式の解として正しいものを選んでください．

1
0
0
0
1
0
−1
−1
0
 1
2
3

1解なし
2 x=1+t
y=2+t
z=t
3 x=1−t
y=2−t
z=t
4 x=t
y=2t
z=3t

［問題２］
連立方程式の拡大係数行列が次の形になるとき，この連立方程式の解として正しいものを選んでください．

1
0
0
−2
0
0
3
0
0
 4
5
0

1解なし
2 x=4−3t
y=5
z=0
3 x=4t
y=5t
z=0
4 x=4+2s−3t
y=5t
z=0

［問題３］
連立方程式の拡大係数行列が次の形になるとき，この連立方程式の解として正しいものを選んでください．

1
0
0
0
1
0
2
5
0
 −4
3
0

1解なし
2 x=−4−2t
y=3−5t
z=t
3 x=−4t
y=3t
z=0
4 x=−4t
y=3t
z=t

［問題４］
連立方程式の拡大係数行列が次の形になるとき，この連立方程式の解として正しいものを選んでください．

1
0
0
−1
0
0
2
0
0
 3
0
0

1解なし
2 x=3t
y=0
z=0
3 x=3t
y=s
z=t
4 x=3+s−2t
y=s
z=t

［問題５］
次の連立方程式の解を掃き出し法で求めてください．

.x+2y+3z=2…(1)
4x+5y+6z=8…(2)
.y+2z=0…(3)

1解なし
2 x=2+t
y=−2+t
z=t
3 x=2+t
y=−2t
z=t
4 x=2t
y=−2+t
z=t

［問題６］
次の連立方程式の解を掃き出し法で求めてください．

.x+2y+z=2…(1)
2x+3y+2z=4…(2)
6x+5y+6z=12…(3)

1解なし
2 x=2−t
y=0
z=t
3 x=2−t
y=s
z=t
4 x=2−t
y=t
z=t

［問題７］
次の連立方程式の解を掃き出し法で求めてください．

.x+2y+2z=1…(1)
.2x−2y−3z=7…(2)
−3x+6y+8z=−13…(3)

1解なし
2
x=−
y=−−t
z=t
3
x=+
y=−−t
z=t
4
x=+
y=−+t
z=t


...（携帯版）メニューに戻る

...（PC版）メニューに戻る