== ベクトルのなす角

■[要点]

○　→aw· →bw=|→aw||→bw|cosθ を用いれば
→aw· →bw の値　　|→aw| , |→bw| , cosθ の値 により，→aw· →bw の値を求めることができる．
○　さらに，cosθ =.→aw·→bw|→aw||→bw|nnnnn のように変形すれば，

cosθ の値　　→aw· →bw , |→aw| , |→bw| の値 により，cosθ の値を求めることができる．
○　さらに，cosθ = 1 , ..√3√ni2nnn , ..√2√ni2nnn , .12n , 0 ,−.12n ,−..√3√ni2nnn , -1 のときは，筆算で角度 θ まで求められる．
これ以外の値については，通常（三角関数表や電卓がないとき），cosθ の値は求まるが， θ までは求まらない．


○　ベクトルの垂直条件(直交条件)
→aw≠→0w , →bw≠→0w のとき，
→aw· →bw=0　←→　→aw⊥→bw
理由　　→aw· →bw=0←→cosθ=0←→θ=90°
※垂直(直角，90°)は１つの角度に過ぎないが，実際に出会う問題は垂直条件(直交条件)を求めるものの方が多い
■［例題］
 (1)
→aw=(.√3√ni, 1) ，→bw=(0 , 2) のとき →aw , →bw のなす角θ を求めなさい。		 答案例
|→aw|=.√(.√3√ni)2+12√nnnnnnnni=2
|→bw|=.√02+22√nnnnni=2
→aw· →bw=.√3√ni·0+1·2=2 		だから， cosθ = .12n
θ=60°
…(答)
(2)
→aw=(1 , 2) ，→bw=(−1 , 3) のとき →aw , →bw のなす角θ を求めなさい． 		答案例
|→aw|=.√12+22√nnnnni=.√5√ni
|→bw|=.√(−1)2+32√nnnnnnnni=.√10√nni
→aw· →bw=1·(−1)+2·3=5 		だから， cosθ = .1.√2√ninnn
θ=45°
…(答)
(3)
→aw=(1 , 1) ，→bw=(1 , 2) のとき →aw , →bw のなす角をθ とするとき，
cosθ の値を求めなさい．
（ →aw , →bw のなす角の余弦を求めなさい．） 		答案例
|→aw|=.√12+12√nnnnni=.√2√ni
|→bw|=.√12+22√nnnnni=.√5√ni
→aw· →bw=1·1+1·2=3 		だから， cosθ = .3.√10√nninnn
…(答)
(4)
→aw=(1 , 2) ，→bw=(t , 1) のとき →aw , →bw が垂直となるように定数 t の値を定めなさい． 		答案例
→aw· →bw=1·t+2·1=t+2=0 より t=−2
…(答)
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■［個別の頁からの質問に対する回答］[ベクトルのなす角について／17.1.8］
図形など図があればもっといいと思う
＝＞［作者］：連絡ありがとう．現在筆者は次のように整理しています．
(1) 高校数学で習うベクトルには，図形で表される「矢印ベクトル」と成分で表示される「成分ベクトル」とがあります．ベクトルのなす角というのは図形的な意味ですが，実際には成分計算だけでできることに慣れるというのが第１の目標です．
(2) ３次元，４次元，５次元･･･今日では中学生でも多次元のデータを扱っていますが，そう言わないだけです．
生徒名x（国語）y（数学）z（英語）
a232
b523
c314
d352
e･････････
f445
左の表で生徒ごとの３教科の得点傾向が似ているかどうかを判断するには，行ベクトルなどの個人ごとの「３次元ベクトルのなす角」が小さいかどうかで見るのが１つの方法です．また，教科ごとの得点傾向が似ているかどうかを判断するには，列ごとに見たベクトルなどの「６次元ベクトルのなす角」が小さいかどうかになります（左の表で６次元というのは縦に６個の数字が並んでいるから：６人だから）.
このようにして，実生活で扱うデータのほとんどは多次元ベクトルに対応しており，図を使わずに大きな数値の表だけを見て「ベクトルのなす角」という夢を見る能力が必要となります．（この頁参照）
(3) ご質問の頁は２次元ベクトルを扱っていますので，図を描こうと思えば描けますが，図があっても問題が解けるわけではありません．次のような意味合いで，１つや２つは図があってもよいとは思います．
　3.1) 答が２つあって迷うような場合とか，方程式で求めた値に対して実際には図が描けないような場合に，図で検証することができる．
　3.2) 文字ばかりの教材では暑苦しいが，ワンポイントの図があればリラックスでき，結果的に学習が進む．

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