ベクトルの内積

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現在地と前後の項目

***ベクトルの内積***
/ベクトル内積の定義/ベクトル内積（成分）/ベクトルのなす角（成分から）/ベクトルのなす角（成分から）/|ベクトル|の変形/ベクトル方程式(内積)が表す図形/（各駅停車）ベクトルの内積/Excelを用いた内積の計算/ベクトルの内積と相関係数
/***空間ベクトル***
/空間座標.空間ベクトル(1)/空間座標.空間ベクトル(2)/空間における直線の方程式/空間における平面の方程式/空間における平面と直線/

ベクトルの内積

［解説］
●　ベクトルのなす角

２つのベクトル

\vec{a}, \vec{b}

の始点を原点Oに重ねて，

\vec{O A} = \vec{a}, \vec{O B} = \vec{b}

とするとき，∠AOB=θをベクトルの

\vec{a}, \vec{b}

のなす角という。ただし，0°≦θ≦180°とする。

●　ベクトルの内積の定義

２つのベクトル

\vec{a} = (a_{1}, a_{2}), \vec{b} = (b_{1}, b_{2})

のなす角をθとするとき，ベクトル

\vec{a}, \vec{b}

の内積

\vec{a} \cdot \vec{b}

を次の式で定義する。

\vec{a} \cdot \vec{b} =∣ \vec{a} ∣ \cdot ∣ \vec{b} ∣ \cos θ

・・・(1)

\vec{a} \cdot \vec{b} = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}

・・・(2)

上の定義において，(1)は矢印で表される図形ベクトルに対応し，(2)は成分表示に対応します．

∣ \vec{a} ∣, ∣ \vec{b} ∣

のようにそれぞれのベクトル

\vec{a}, \vec{b}

の左右を絶対値記号で囲んだものは，ベクトルの大きさ（長さ）を表します．

高校の教科書では，初めに矢印を使ってベクトルを図形的に導入しますので，(1)を定義として(2)を結果とします．
しかし，このページの少し後の方（※）に書いていますように，成分で表したベクトルを先に習った場合，(2)を定義として(1)をその性質とすることもできます．

1. 　図形で表されたベクトルの内積

図1

【例】
●図1の場合

∣ \vec{a} ∣= 2, ∣ \vec{b} ∣= 3

と読み取ります．

次に，これら２つのベクトルの始点が重なっていることを確かめます．

始点が重なった状態で，２つのベクトルのなす角はθ=60°だから

\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \times 3 \times \cos 60^{\circ}

とします．

数学Ⅰで習った三角比の値

\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}

を使って，結果を次のようにまとめます．

\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \times 3 \times \cos 60^{\circ} = 6 \times \frac{1}{2} = 3

図2

●図2の場合

∣ \vec{a} ∣= 1, ∣ \vec{b} ∣= 2

と読み取ります．

次に，これら２つのベクトルの始点が重なっていることを確かめます．

始点が重なった状態で，２つのベクトルのなす角はθ=90°だから

\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \times 2 \times \cos 90^{\circ}

とします．

数学Ⅰで習った三角比の値

\cos 90^{\circ} = 0

を使って，結果を次のようにまとめます．

\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \times 2 \times \cos 90^{\circ} = 2 \times 0 = 0

この例では，

∣ \vec{a} ∣= 1, ∣ \vec{b} ∣= 2

の値は全く利用されていません．
すなわち，

\cos 90^{\circ} = 0

だから，２つのベクトルの大きさ（長さ）が何であっても，垂直な２つのベクトルの内積は０になります．
この結果は，ベクトルを習うときに何度も登場します．

図3

●図3の場合

∣ \vec{a} ∣= 2, ∣ \vec{b} ∣= 1

と読み取ります．

次に，これら２つのベクトルの始点が重なっていることを確かめます．

この問題で２つのベクトルのなす角は0°だと考えてはいけません．ここまでの例で，始点を確かめる話は，何の役に立っているのか？と疑問に思う人もあるかもしれませんが，始点を重ねると２つのベクトルのなす角が180°だと分かります．

始点が重なった状態で，２つのベクトルのなす角はθ=180°だから

\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \times 1 \times \cos 180^{\circ}

とします．

数学Ⅰで習った三角比の値

\cos 180^{\circ} = - 1

を使って，結果を次のようにまとめます．

\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \times 1 \times (- 1) = - 2

一般に，

\vec{a}, \vec{b}

が零ベクトルでないとき，

∣ \vec{a} ∣, ∣ \vec{b} ∣

は大きさ（長さ）だから，つねに

∣ \vec{a} ∣> 0, ∣ \vec{b} ∣> 0

が成り立ちますが，

90^{\circ} < θ ≦ 180^{\circ}

のとき

\cos θ < 0

だから

\vec{a} \cdot \vec{b} =∣ \vec{a} ∣ \cdot ∣ \vec{b} ∣ \cdot \cos θ < 0

になります．
すなわち，２つのベクトルのなす角が90°よりも大きいとき（鈍角のとき），内積は負の値になります．

≪例≫
　図形で表されたベクトルの内積を求めるには，

(1) ２つのベクトル

\vec{a}, \vec{b}

の大きさ（=長さ）

| \vec{a} |

と

| \vec{b} |

を求める
(2) ２つのベクトル

\vec{a}, \vec{b}

のなす角θを求めて

\cos θ

を求める
(3) 定義に従って，

\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cos θ

に当てはめる

これだけです．
　ただし，２つのベクトルのなす角を求めるときに，上で述べた図1～図3のように始点がそろっているときはそのまま測れますが，次の図4～図6のように始点がそろっていないときは

「始点がそろうように移動させてから測ること」
「角度は0°≦θ≦180°で求めること」

に注意が必要です．

図4

(1)

| \vec{a} | = 2

，

| \vec{b} | = 4

(2)

\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}

(3)

\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cos θ

= 2 \times 4 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 4 \sqrt{2}

…（答）

図5

(1)

| \vec{a} | = 2

，

| \vec{b} | = 2

(2)

\cos 120^{\circ} = - \frac{1}{2}

(3)

\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cos θ

= 2 \times 2 \times (- \frac{1}{2}) = - 2

…（答）

図6

(1)

| \vec{a} | = 2, | \vec{b} | = 2

(2)

\cos 90^{\circ} = 0

(3)

\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cos θ = 0

…（答）

《問題》=== 図形で表されたベクトルの内積 ===
　左から問題を選び，次にその答を右から選びなさい．なお，次の余弦の値を参考にしてよい．

［ルール］
○「左から問題を一つクリック」し，続けて「右からその答をクリック」すると消えます．間違えば消えません．
○間違った場合，下に参考答案が出ます．

2 成分で表されたベクトルの内積

≪定義≫
　成分で表されたベクトルの内積を求めるには，

(1) ２つのベクトル

\vec{a} = (a_{1}, a_{2}), \vec{b} = (b_{1}, b_{2})

の対応するx成分同士，y成分同士の積を求める

a_{1} \times b_{1}, a_{2} \times b_{2}

(2) それらの和を求める

\vec{a} \cdot \vec{b} = a_{1} \times b_{1} + a_{2} \times b_{2}

これだけです．

≪例≫

\vec{a} = (3, 4), \vec{b} = (6, - 5)

のとき

\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \times 6 + 4 \times (- 5) = 18 - 20 = - 2

\vec{a} = (2, \sqrt{3}), \vec{b} = (\sqrt{3}, - 4)

のとき

\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \times \sqrt{3} + \sqrt{3} \times (- 4) = 2 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} = - 2 \sqrt{3}

＃＃簡単な話に見えますが，間違う生徒は多い＃＃
◎内積の正しい計算（相方と掛け合う）

\vec{a} =

(1, 2)，

\vec{b} =

(3, 4)のとき

\vec{a} \cdot \vec{b} =

1×3+2×4

××内積の間違った計算（自家受粉になっている）

\vec{a} =

(1, 2)，

\vec{b} =

(3, 4)のとき

\vec{a} \cdot \vec{b} =

1×2+3×4

《問題》=== 成分で表されたベクトルの内積 ===
　次の２つのベクトルの内積

\vec{a} \cdot \vec{b}

を求めなさい．
（正しいものを下から選べ）

正しいと思う選択肢をクリック（タップ）すれば，採点結果と解説が出ます．解答しなければ解説は出ません．

(1)　

\vec{a} = (1, - 2), \vec{b} = (3, 1)

解説
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \times 3 + (- 2) \times 1 = 3 - 2 = 1

→解説を隠す←

(2)　

\vec{a} = (0, 4), \vec{b} = (2, - 1)

解説
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \times 2 + 4 \times (- 1) = 0 - 4 = - 4

→解説を隠す←

(3)　

\vec{a} = (2, 3), \vec{b} = (- 3, 2)

解説
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \times (- 3) + 3 \times 2 = - 6 + 6 = 0

→解説を隠す←

(4)　

(\sqrt{2}, 1), \vec{b} = (\sqrt{2}, 2)

解説
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

\vec{a} \cdot \vec{b} = \sqrt{2} \times \sqrt{2} + 1 \times 2 = 2 + 2 = 4

→解説を隠す←

(5)　

\vec{a} = (- 1, 2), \vec{b} = (2, 0)

解説
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

\vec{a} \cdot \vec{b} = (- 1) \times 2 + 2 \times 0 = - 2 + 0 = - 2

→解説を隠す←

※少々込み入った話…たぶんためになるが，混乱しそうなら読み飛ばしてもよい
≪なぜベクトルの内積を

\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cos θ

と定義するのか?≫

　この話は，高校の数学の教科書を何冊か見ても明確に書かれたものはなく，自分が高校で教えていたときも踏み込んでしまうと相手によっては余計に混乱してしまうおそれのであえて触れなかった．
　はじめて習うときには，「なぜ

\sin θ

でなくて

\cos θ

なのか」「そもそもなぜそのように定義するのか」「そんな不自然な定義をしてどんな使い道があるのか」など疑問を持つことがある．（この段階ではまだエネルギーや力積は習っていない）
　筆者が高校生のときは，頭ごなしに

\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cos θ

だと言われると，わだかまりがあって勉強がしばらく停滞した覚えがあるので，高２段階でそれなりに納得のいく説明を試みる．

　本当は，成分表示

\vec{a} = (a, b), \vec{b} = (c, d)

において，

\vec{a} \cdot \vec{b} = a \times c + b \times d

（積の和）…(1)
のように定義すると，３次元になっても，４次元になっても，いろいろと使えるので(1)になるようにしたいというのが本音です．そこで，(1)になるようにするには

\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cos θ

…(2)
のように定義する必要があるのです．

　まず，

\vec{a} = (a, b)

のとき，右図のように直角三角形を書いて三平方の定理を思い出すと分かるように，

| \vec{a} | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

…(3)

| \vec{a} |^{2} = a^{2} + b^{2}

…(4)

　次に，右図のような三角形について余弦定理を思い出すと

z^{2} = x^{2} + y^{2} - 2 x y \cos θ

…(5)
だから

| \vec{a} - \vec{b} |^{2} = | \vec{a} |^{2} + | \vec{b} |^{2} - 2 | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cos θ

…(6)
これを(5)を使って成分で表すと

(a - c)^{2} + (b - d)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2}

- 2 \sqrt{a^{2} + b^{2}} \sqrt{c^{2} + d^{2}} \cos θ

簡単にすると

a c + b d = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \sqrt{c^{2} + d^{2}} \cos θ

…(7)
(3)を用いて(7)の右辺を表すと

a c + b d = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cos θ

…(8)

　以上のように，ベクトルの内積を(1)のように成分で定義すると，(2)のように

\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cos θ

になるのです．

　教科書では，通常，内積について(2)のように図形的に定義し，成分に直す方法は後から教えるので，上のような説明を行う機会は少ない．
　ベクトルを図形から定義すれば，数学・理科以外での使い道が分からなくなるが，成分で定義すれば列になったデータは何でもベクトルと見なせる．今日では，生徒は４次元，５次元どころか数十，数百次元のデータでも普通に処理しており，それがベクトルで，各成分の積の和が内積なのだと言えばもっと関心を持ってもらえるかもしれない．

	価格	個数
商品1	54	57
商品2	86	86
商品3	108	50
商品4	270	31
商品5	367	40
商品6	540	18
	合計	48644

左の表において，
価格は(縦に読む)6次元のベクトル，
個数は(縦に読む)6次元のベクトルで，
その内積(積の和：Excelで言えば=SUMPRODUCT( ))が合計の売上高を表します．
※統計では，数学とはちょっと違って「上端の表題をベクトルの名前」とし，特に→を付けずに日本語漢字，ひらがな何でもありで「ベクトルの名前」に使います．
この例では(価格)·(個数)は内積になり，¥48,644です．

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質問に対する回答の中学版はこの頁，高校版はこの頁にあります

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ベクトルの内積について／17.5.18］

a,bの文字が大きくて見づらいです
＝＞［作者］：連絡ありがとう．その頁は毎週3000人以上の人が見る人気の頁で，悪い評価は少ないです．文字が小さくて見づらいという意見は他の頁では時々ありますが，文字が大きくて見づらいとは？･･･作業時間に余裕ができたら考えます．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ベクトルの内積について／17.1.16］

いやー時代が変わりましたね。素晴らしいの一言です。私は第２世代ベビーブームの薬剤師です。人生をやり直した気持ちでやってみました。今後もっともっと素晴らしいサイトを構築してくださいませ。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ベクトルの内積について／16.11.15］

左と右から選んで消していく問題について、誤タップから選択を消す方法がないので、再度タップすると選択中の赤枠が消えるなどあると使いやすい。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．問題の選び直し（=いわゆる迷い箸のようなもの）については考えておきます．