内積を用いるベクトル方程式

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***ベクトルの内積***
/ベクトル内積の定義/ベクトル内積（成分）/ベクトルのなす角（成分から）/ベクトルのなす角（成分から）/|ベクトル|の変形/ベクトル方程式(内積)が表す図形/（各駅停車）ベクトルの内積/Excelを用いた内積の計算/ベクトルの内積と相関係数
/***空間ベクトル***
/空間座標.空間ベクトル(1)/空間座標.空間ベクトル(2)/空間における直線の方程式/空間における平面の方程式/空間における平面と直線/

== 内積を用いたベクトル方程式 ==

※直線の方程式は，「方向ベクトル」で表す方法と，「法線ベクトル」で表す方法があります。この頁では「法線ベクトル」で表す方法を取り扱っています．

［要点］

○平面上において点Aを通り法線ベクトル

\vec{n}

に垂直な直線の方程式は，

\vec{n} \cdot (\vec{p} - \vec{a}) = 0

…(1)

※　「法」という言葉は，縦の関係に使われます。
「法面工事中」「法令」などの法は縦の関係です。

※　数学では，接線と法線が分かればOKです。

[解説]
(1)←

\vec{A P} ⊥ \vec{n}

ならばPはAを通り

\vec{n}

に垂直な直線上にあります。
　また，Aを通り

\vec{n}

に垂直な直線上にあれば，

\vec{A P} ⊥ \vec{n}

が成り立ちます。
　２つのベクトルが垂直（直角）となる条件は (内積)＝0 の関係で表せるので，以上の関係は

\vec{n} \cdot \vec{A P} = 0

すなわち

\vec{n} \cdot (\vec{p} - \vec{a}) = 0

…(1)
で表せます．

（ここで，

は

です．直線の中に埋まっている

のことではないので注意しましょう。）

【例１】
点

A (\vec{a})

を通り，ベクトル

\vec{O A}

に垂直な直線のベクトル方程式を求めてください．

\vec{A P} ⊥ \vec{a}

となればよいから

\vec{a} \cdot (\vec{p} - \vec{a}) = 0

…（答）
展開して次の形で答えてもよい

\vec{p} \cdot \vec{a} = \vec{a} \cdot \vec{a}

…（答）

【例２】
２点

A (\vec{a})

，

B (\vec{b})

を結ぶ線分ABの垂直二等分線のベクトル方程式を求めてください．

ABの中点

M (\frac{\vec{a} + \vec{b}}{2})

を通り，ベクトル

\vec{A B} = \vec{b} - \vec{a}

に垂直な直線になるから，

(\vec{b} - \vec{a}) \cdot (\vec{p} - \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}) = 0

…（答）

○平面上において点Cを中心とする半径rの円の方程式は，

| \vec{p} - \vec{c} | = r

…(2)
又は

(\vec{p} - \vec{c}) \cdot (\vec{p} - \vec{c}) = r^{2}

…(2')

(2)←
　定点C，定数rに対して，CP=rを満たす点はCからの距離がrですから，半径rの円周上にあります。Cを中心とする半径rの円周上にあれば，CP=rです。
　これをベクトルの大きさ|　|で表すと，

| \vec{p} - \vec{c} | = r

…(2)
２乗すれば，同じものの内積になりますので(2’)と書くこともできます。

【例３】
点

A (\vec{a})

を中心とする半径３の円のベクトル方程式を求めてください．

| \vec{p} - \vec{a} | = 3

…（答）

【例４】
２点

A (\vec{a})

，

B (\vec{b})

を直径の両端とする円のベクトル方程式を求めてください．

ABの中点

C (\frac{\vec{a} + \vec{b}}{2})

を中心とする半径

\frac{| \vec{A B} |}{2} = \frac{| \vec{b} - \vec{a} |}{2}

の円だから，

| \vec{p} - \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} | = \frac{| \vec{b} - \vec{a} |}{2}

…（答4.1）

※この問題には，次のような別解があります．
右図のように，∠APB=90°となれば点Pはその円周上にあるから

\vec{A P} ⊥ \vec{B P}

を式で表せばよい．

(\vec{p} - \vec{a}) \cdot (\vec{p} - \vec{b}) = 0

…（答4.2）
（点PがAやBに一致するときもこれで成り立つ．）
これら２つの式が同じものであることは，次のように示すことができます．

(4.1)→

(\vec{p} - \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}) (\vec{p} - \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}) = \frac{(\vec{b} - \vec{a}) (\vec{b} - \vec{a})}{4}

\vec{p} \vec{p} - \vec{p} (\vec{a} + \vec{b}) + \frac{\vec{a} \vec{a} + 2 \vec{a} \vec{b} + \vec{b} \vec{b}}{4} = \frac{\vec{a} \vec{a} - 2 \vec{a} \vec{b} + \vec{b} \vec{b}}{4}

\vec{p} \vec{p} - \vec{p} (\vec{a} + \vec{b}) + \vec{a} \vec{b} = 0

(\vec{p} - \vec{a}) (\vec{p} - \vec{b}) = 0

→(4.2)
逆の変形もできます．

【問題】（ややむずかしい）
　平面上に原点と異なる２点M，Nがあるとき，次の方程式で表される点Pが表す図形を答なさい。
○初めに問題を選び，続いて選択肢の図形［赤で示した部分］を選びなさい。
○問題を選択して反転している間に「ヒント」ボタンを押すと下にヒントが出ます。

== 問題1 ==

== 選択肢 ==

ヒント

== 問題2 ==

== 選択肢 ==

ヒント

== 問題3 ==

== 選択肢 ==

ヒント

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