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高校数学 >> 高校数学Ⅱ・Ｂ>> ベクトルの内積,空間ベクトル

【要点】
$\mid \overrightarrow{a}\mid$を変形するには$|\overrightarrow{a}{|}^2=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{a}$とする。

*** この公式はなぜ必要なのか？ ***

$\mid \overrightarrow{a}{\mid }^2=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{a}$

(1)　ベクトルの関係式から$\mid \overrightarrow{a}\mid$を求めるとき，
(2)　$\mid \overrightarrow{a}\mid$が与えられていて，他のものを求めるとき

$\mid \overrightarrow{a}\mid$の形のままでは，変形に不便なので，まず，$\mid \overrightarrow{a}{\mid }^2=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{a}$を使って，$\mid \overrightarrow{a}\mid$を内積などに関連づけします。

＃＃危険な落とし穴＃＃
　同じベクトルの内積は，同じものを２回書く
$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{a}$
　これに対して，$\mid \overrightarrow{a}\mid$は単なる数字なので2乗でも３乗でもできる．割り算もできる．
$\mid \overrightarrow{a}{\mid }^2$
ベクトル$\overrightarrow{a}$の掛け算($\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{a}$)や2乗の記号(${\overrightarrow{a}}^2$)は，高校では習わないベクトルの外積の記号になってしまうので，間違って書いてはいけない

よい子の皆さんが，誘惑されそうな「落とし穴」ばっかりじゃないか！

【例】
$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=1,|\overrightarrow{b}|=2,|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{5}$のとき$|\overrightarrow{a}|$を求めてください．

$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}{|}^2=5$

←展開ができる

$(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\cdot (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})=5$
$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{a}-2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{b}=5$

←与えられた条件
$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=1,|\overrightarrow{b}|=2$が使える

←$\mid \overrightarrow{a}{\mid }^2$が分かれば$\mid \overrightarrow{a}\mid$が分かる

$\mid \overrightarrow{a}\mid =\sqrt{3}$…(答)

≪１≫

$\mid \overrightarrow{a}\mid =2,\mid \overrightarrow{b}\mid =3,\mid \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\mid =3$のとき，
$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$=

$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}{|}^2=9$…(1)
また，$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}{|}^2=(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$
$=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{a}+2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{b}$$=|\overrightarrow{a}{|}^2+2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}{|}^2$
$=4+2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+9=13+2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$…(2)
(1)(2)より，
$9=13+2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$
$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=-2$

≪２≫

$\mid \overrightarrow{a}\mid =3,\mid \overrightarrow{b}\mid =2,\mid \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\mid =\sqrt{7}$のとき，
$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$のなす角θは，θ=°

$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}{|}^2=7$…(1)
また，$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}{|}^2=(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\cdot (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})$
$=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{a}-2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{b}$$=|\overrightarrow{a}{|}^2-2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}{|}^2$
$=4-2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+9=13-2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$…(2)
(1)(2)より，
$7=13-2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$
$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=3$
これを用いて
${\displaystyle \cos \theta =\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}}$
${\displaystyle \theta ={60}^{\circ }}$

≪３≫

${\displaystyle \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=4,\mid \overrightarrow{a}{\mid }^2+\mid \overrightarrow{b}{\mid }^2=17}$のとき，
$\mid \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\mid$=，$\mid \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\mid$=

$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}{|}^2=(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$
$=|\overrightarrow{a}{|}^2+|\overrightarrow{b}{|}^2+2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$
$=17+8=25$
だから
$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=5$
同様にして
$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}{|}^2=(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\cdot (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})$
$=|\overrightarrow{a}{|}^2+|\overrightarrow{b}{|}^2-2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$
$=17-8=9$
だから
$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=3$