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■センター試験問題 場合の数・確率
【センター試験 2006年度：数学Ｉ・Ａ（本試験） 第４問】
袋A, B, C, Dがあり，それぞれに４枚のカードが入っている．各袋のカードには，１から４までの番号がつけられてる．袋A, B, C, Dからカードを１枚ずつ取り出し，出た数をそれぞれa, b, c, dとする． (1) a, b, c, dの最大の数が３以下である場合はアイ通りあり，最大の数が４である場合はウエオ通りある． (2) a, b, c, dについて，a<b<cとなる場合はカキ通りある． (3) 出た数a, b, c, dによって，次のように得点を定める．
a≦b≦c≦dのときは，(d−a+1)点
それ以外のときは，0点
(i) 得点が1点となる確率は
 クケコであり，得点が4点となる確率は サシスセである．
(ii) 得点の期待値はソタチツテ点である．アHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G イHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G ウHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G エHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G オHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G カHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G キHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G クHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G ケHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G コHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G |
サHELP↓ − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G シHELP↓ − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G スHELP↓ − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G セHELP↓ − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G ソHELP↓ − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G タHELP↓ − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G チHELP↓ − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G ツHELP↓ − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G テHELP↓ − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G |
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【センター試験 2007年度：数学Ｉ・Ａ（本試験） 第４問】
１辺の長さ１の正六角形があり，その頂点の１つをAとする．一つのさいころを３回投げ，点Pを次の(a)，(b)，(c)にしたがって，この正六角形の辺上を反時計回りに進める．
(a) 頂点Aから出発して，１回目に出た目の数の長さだけ点Pを進める．
(b) １回目で点Pがとまった位置から出発して，２回目に出た目の数の長さだけ点Pを進める． (c) ２回目で点Pがとまった位置から出発して，３回目に出た目の数の長さだけ点Pを進める． (1) ３回進めたとき，点Pが正六角形の辺上を１周して，ちょうど頂点Aに到達する目の出方はアイ通りである． ３回進める間に，点Pが１回も頂点Aにとまらない目の出方はウエオ通りである． (2) ３回進める間に，点Pが３回とも頂点Aにとまる確率は カキクケであり，ちょうど２回だけ頂点Aにとまる確率は コサシである．３回進める間に，点Pがちょうど１回だけ頂点Aにとまる 確率は スセソタである．(3) ３回進める間に，点Pが頂点Aにとまる回数の期待値は は チツ回である．
アHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G イHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G ウHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G エHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G オHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G カHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G キHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G |
クHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G ケHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G コHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G サHELP↓ − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G シHELP↓ − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G スHELP↓ − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G セHELP↓ − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G ソHELP↓ − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G タHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G チHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G ツHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G |
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【センター試験 2008年度：数学Ｉ・Ａ（本試験） 第４問】
さいころを３回投げ，次の規則にしたがって文字の列を作る．ただし，何も書かれていないときや文字が１つだけのときも文字の列と呼ぶことにする． １回目は次のようにする．
(1) 文字の列がAAAとなるさいころの目の出方はア通りである． 文字の列がABとなるさいころの目の出方はイ通りである． (2) 文字の列がAとなる確率は ウエオであり，何も書かれていない文字の列となる確率は カキクである．
(3) 文字の列の字数が３となる確率はケコサであり，字数が２となる確率は シスセである．また，文字の列の字数の期待値は ソタチである．ただし，何も書かれていないときの字数は０とする． アHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G イHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G ウHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G エHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G オHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G カHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G キHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G クHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G |
ケHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G コHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G サHELP↓ − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G シHELP↓ − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G スHELP↓ − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G セHELP↓ − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G ソHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G タHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G チHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G |
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【センター試験 2009年度：数学Ｉ・Ａ（本試験） 第４問】
さいころを繰り返し投げ，出た目の数を加えていく．その合計が４以上になったところで投げることを終了する．
(1) １の目が出たところで終了する目の出方はア通りである．
(2) 投げる回数が１回で終了する確率は２の目が出たところで終了する目の出方はイ通りである． ３の目が出たところで終了する目の出方はウ通りである． ４の目が出たところで終了する目の出方はエ通りである． オカであり，２回で終了する確率は キクケである．終了するまでに投げる回数が最も多いのはコ回であり，投げる回数がコ回で終了する確率 は サシスセである．終了するまでに投げる回数の期待値は ソタチツテトである．
アHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G イHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G ウHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G エHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G オHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G カHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G キHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G クHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G ケHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G コHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G |
サHELP↓ − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G シHELP↓ − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G スHELP↓ − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G セHELP↓ − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G ソHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G タHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G チHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G ツHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G テHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G トHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G |
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【センター試験 2010年度：数学Ｉ・Ａ（本試験） 第４問】
袋の中に赤玉５個，白玉５個，黒玉１個の合計11個の玉が入っている．赤玉と白玉にはそれぞれ１から５までの数字が一つずつ書かれており，黒玉には何も書かれていない．なお，同じ色の玉には同じ数字は書かれていない．この袋から同時に５個の玉を取り出す． ５個の玉の取り出し方はアイウ通りある． 取り出した５個の中に同じ数字の赤玉と白玉の組が２組あれば得点は２点，１組だけあれば得点は１点，１組もなければ得点は０点とする． (1) 得点が０点となる取り出し方のうち，黒玉が含まれているのはエオ通りであり，黒玉が含まれていないのはカキ通りである． 得点が１点となる取り出し方のうち，黒玉が含まれているのはクケコ通りであり，黒玉が含まれていないのはサシス通りである． (2) 得点が１点である確率は セソタチであり，２点である確率は ツテトである．また，得点の期待値は ナニヌネである．アHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G イHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G ウHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G エHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G オHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G カHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G キHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G クHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G ケHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G コHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G サHELP↓ − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G シHELP↓ − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G スHELP↓ − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G |
セHELP↓ − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G ソHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G タHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G チHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G ツHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G テHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G トHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G ナHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G ニHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G ヌHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G ネHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G |
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【センター試験 2011年度：数学Ｉ・Ａ（本試験） 第４問】
１個のさいころを投げるとき，４以下の目が出る確率p は アイ
であり，５以上の目が出る確率qはウエである．以下では，１個のさいころを８回繰り返して投げる．
(1) ８回の中で４以下の目がちょうど３回出る確率は
はオカp3q5である． 第１回目に４以下の目が出て，さらに次の７回の中で４以下の目がちょうど２回出る確率はキクp3q5である． 第１回目に５以上の目が出て，さらに次の７回の中で４以下の目がちょうど３回出る確率はケコp3q5である． (2) 次の0～7のうちオカに等しいものはサとシである．ただし，サ とシは解答の順序を問わない． 07C2×7C3 18C1×8C2 27C2+7C3 38C1+8C2 47C4×7C5 58C6×8C7 67C4+7C5 78C6+8C7 (3) 得点を次のように定める． ８回の中で４以下の目がちょうど３回出た場合，
n=1,2,3,4,5,6について，第n回目に初めて４以下の目が出たとき，得点はn点とする．
また，４以下の目が出た回数がちょうど３回とならないときは，得点を0点とする．
このとき，得点が６点となる確率はpスqセであり，得点が３点となる確率はソタpスqセである．また，得点の期待値 チツテトナニである．
アHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G イHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G ウHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G エHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G オHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G カHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G キHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G クHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G |
ケHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G コHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G ※問題文では「サとシは解答の順序を問わない」となっていますが，コンピュータで採点する都合上，ここではサ<シとなるように答えてください．
サHELP↓− ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G シHELP↓ − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G スHELP↓ − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G セHELP↓ − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G ソHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G タHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G チHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G ツHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G テHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G トHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G ナHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G ニHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G |
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【センター試験 2012年度：数学Ｉ・Ａ（本試験） 第４問】
１から９までの数字が一つずつ書かれた９枚のカードから５枚のカードを同時に取り出す．このようなカードの取り出し方は
得点が0点となる確率はアイウ通りある． (1) 取り出した５枚のカードの中に５と書かれたカードがある取り出し方はエオ通りであり，５と書かれたカードがない取り出し方はカキ通りである． (2) 次のように得点を定める．
クケである．得点が1点となる確率は コサシスで，得点が2点となる確率はセソタ，得点が3点となる確率は チツである．また，得点の期待値は テトである．アHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G イHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G ウHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G エHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G オHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G カHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G キHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G |
クHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G ケHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G コHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G サHELP↓ − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G シHELP↓ − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G スHELP↓ − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G セHELP↓ − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G ソHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G タHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G チHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G ツHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G テHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G トHELP − ± 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G |