■独立な試行の確率，反復試行の確率

問題１ ［独立な試行の確率］
[ 第1問 / 全4問中 ]

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(1)　さいころを２回投げるとき，１回目は３以下，２回目は３以上の目が出る確率を求めよ．

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問題２ ［反復試行の確率］
[ 第1問 / 全5問中 ]
(1)　硬貨を５枚投げるとき，４枚以上表が出る確率を求めよ．

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■解説
《要点》
【独立な試行の確率】
A , B が独立であるとき，A も B も起こる確率は
P(A)·P(B)
で求められる．

例１　さいころを２回投げて１回目に３以下，２回目に４以下の目が出る確率を求めるとき
　ここまでに習った考え方で，右の図1のように１回目，２回目の起こり得るすべての場合を N=36 と考えるときは，
　式１のように計算して，P = .1236nn = .13n とする．

　しかし，この問題では１回目に出る目は２回目に出る目に影響していないので，式２のように１回目に３以下となる確率（ .36n ）と２回目に４以下となる確率（ .46n ）の積でも求めることができる．
⇒　このように，A , B が独立であるとき，A も B も起こる確率は
P(A)·P(B)
で求められる．		 図１
　 1 2 3 4 5 6
1 ○ ○ ○ ○ 　 　
2 ○ ○ ○ ○ 　 　
3 ○ ○ ○ ○ 　 　
4 　 　 　 　 　 　
5 　 　 　 　 　 　
6 　 　 　 　 　 　
式1
式2

例題
　さいころを2回投げるとき２回とも偶数の目が出る確率は
　１回目に偶数(2 , 4 , 6)が出る確率は .12n，２回目に偶数(2 , 4 , 6)が出る確率は .12n

.12n×.12n=.14n
独立でない例　赤玉３個，白玉２個が入っている袋から，玉を１つずつ取り出し，取り出した玉は元に戻さない場合に，赤玉が２回出る確率を求めるとき（非復元抽出という）
　取り出した玉を元に戻さない場合は，１回目に起こったことは２回目の出方に影響する：

（ア）　１回目に赤玉が出たとき，袋の中は赤玉２個，白玉２個の計４個になるから，
　２回目に赤が出る確率は .24n

（イ）　１回目に白玉が出たとき，袋の中は赤玉３個，白玉１個の計４個になるから，
　２回目に赤が出る確率は .34n
⇒　このように取り出した玉を元に戻さないときは，１回目に A が起こることと２回目に B が起こることは独立ではない．

⇒　取り出した玉を元に戻すときは，「独立な試行の確率」が適用できるが，取り出した玉を元に戻さないときは「独立な試行の確率」が適用できない．		 図２
※　この問題を今までに習った方法で解くには，
１回目の玉の出方は5通り，そのそれぞれについて２回目の玉の出方は4通り → N=20 通り
　１回目に赤が出るのは3通り，その各々について２回目に赤が出るのは２通り → n=6 通り
p = .620nn = .310nn
とする．

※　この問題で，１回目に取り出した玉を元に戻すとき（復元抽出という．）は，１回目の玉と２回目の玉はお互いに影響されず，赤赤と出る確率は
p = .35n×.35n = .925nn

で求められる．
《要点》
【反復試行の確率】
１回の試行で事象 A が起こる確率が p のとき，この試行を n 回繰り返してA が r 回起こる確率は
nCr pr qn - r
ただし，q= 1 - p
（解説）
○　５回のうち A が３回起こる確率で調べると，
(1)　AAA——Aw——Aw となる場合 ⇒ pppqq=p3q2 だけでなく
A が起こる順序だけが異なり，A が合計３回となっているものはすべて当てはまる．このようなものは右のように(1)～(10)の10通りあるから，その確率は 10 p3q2 になる．

○　この係数10は次のようにして求められる：

ア）「同じものがあるときの順列」で考える場合
p が３個，q(=1 - p) が２個あるとき，これらを並べ替えてできる順列の総数は .5!3!2!nnn 通りあるから，

p3q2 は .5!3!2!nnn 回登場し，その和は， .5!3!2!nnnp3q2

ここで，.5!3!2!nnn=5C3 と書けるから，5C3p3q2
イ）「組合せ」で考える場合
p が３個，q(=1 - p) が２個あるとき，これらを並べ替えてできる順列は並び方の番号札①②③④⑤のうち p の行き先の番号札３個（組合せ）で決まる．
　たとえば， p の行き先の番号札が①③④のときは pqppq になる．p の行き先の番号札が①④⑤のときは pqqpp になる，など．
　このように考えれば，p ３個，q(=1 - p) ２個を並べ替えてできる順列の総数は，5C3 通りあるから，確率の合計は 5C3p3q2 になる．
○　一般に
　１回の試行で事象 A が起こる確率が p のとき，この試行を n 回繰り返してA が r 回起こる確率は，pr qn - r となる場合が，nCr 通りあることから，それらの合計は
nCr pr qn - r
で求められる． 		（５回のうち３回起こる確率）
　事象 A が起こる確率が p のとき，この試行を 5 回繰り返して A が 3 回起こる確率は，次の各場合を足せばよい．　
(1)　pppqq=p3q2
(2)　ppqpq=p3q2
(3)　ppqqp=p3q2
(4)　pqppq=p3q2
(5)　pqpqp=p3q2
(6)　pqqpp=p3q2
(7)　qpppq=p3q2
(8)　qppqp=p3q2
(9)　qpqpp=p3q2
(10) qqppp=p3q2
⇒上の各式を足したとき，p3q2 が10回登場するから，
回数が係数になって，和は 10 p3q2 になる．
例題
　硬貨を5回投げるとき表がちょうど3回出る確率は
　１回の試行で表が出る確率は p = .12n，表が出ない確率は q=1 - p = .12n だから

5回のうち表がちょうど3回出る確率は
5C3(.12n)3(.12n)2=10·.132nn = .516nn
例題
　さいころを6回投げるとき１の目がちょうど2回出る確率は
　１回の試行で１の目が出る確率は p = .16n，１の目
が出ない確率は q=1 - p = .56n だから

6回のうち１の目がちょうど2回出る確率は
6C2(.16n)2(.56n)4=15·.62546656nnnnn = .312515552nnnnn

■［個別の頁からの質問に対する回答］[独立な試行の確率，反復試行の確率について／16.10.10］
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