■期待値
問題 ［期待値］
[ 第1問 / 全6問中 ]

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賞金
(円)		 100 500 1000 計
本数 70 20 10 100
(1)　あるくじの賞金と本数が右のように決められているとき，このくじを１本引いたときの賞金の期待値を求めよ．

（円）
■解説
《要点》
変数 x1 x2 … xn 計
確率 p1 p2 … pn 1
【期待値】
(1)　初めに右のような表を作る．
(2)　変数×確率の積を作る．
xkpk

(3)　それらの合計が期待値
E=x1p1+x2p2+ ··· +xnpn
（解説）
　期待値とは，小中学校以来使っている用語で言えば，平均値のことである．
○
　右の例を一般化して，次の表から平均値（＝期待値）を求めるには次のようにすればよい．
変数 x1 x2 … xn 計
度数 f1 f2 … fn N
確率 .f1Nn .f2Nn … .fnNn 1
※ f は頻度（度数） frequency の頭文字

　得点合計は S=x1f1+x2f2+ ··· +xnfn
　期待値（＝平均値）は

____________E=.x1f1+x2f2+_···_+xnfnNnnnnnnnnnnnnnnnnnn

____________=x1.f1Nn+x2.f2Nn+…xn.fnNn

この式は確率 pk=.fkNn を用いて次のように書ける．

____________E=x1p1+x2p2+ ··· +xnpn

※　期待値は Expectation の頭文字をとって E で表わされることが多い． 		例　次の表はある試験を受けた40人の生徒の得点と人数の一覧表であるとする．
得点 X 10 20 30 40 50 計
人数 n 4 8 16 8 4 N=
40
確率 P .440nn .840nn .1640nn .840nn .440nn 1

○ この40人の得点の平均値は次のようにして求められる．
10点の人が4人いるから，これらの小計は 10+10+10+10=10×4
20点の人が8人いるから，これらの小計は 20+20+…+20=20×8
………
50点の人が4人いるから，これらの小計は 50+50+50+50=50×4
　合計は 10×4+20×8+30×16+40×8+50×4

　合計を総人数で割れば平均値になるから
　平均値は E=.10×4+20×8+30×16+40×8+50×440nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn


○　人数（度数）と確率には次の関係がある．
　人数を総人数Ｎで割ったものは確率になる．（相対度数とも呼ばれる．ただし，同様な確からしさは満たされているものとする．）
　たとえば･･･40人のうち4人が10点のとき，１人抽出された者が10点である確率は　.440nn

○　上の計算は人数 n を使って行ったが，この計算は確率 p を使えば次のように書ける．
E=10×.440nn+20×.840nn+30×.1640nn+40×.840nn+50×.440nn

⇒　まとめ：　得点1×確率1＋得点2×確率2＋得点3×確率3＋･･･　が平均値になる．
例題１
　あるくじの賞金と本数は右の表のようになっている．このくじを１本引くときの賞金の期待値を求めよ．

賞金(円) 10 20 30 40 計
本数 4 3 2 1 10
（答案）
○　単に平均値と考えるときは，次の計算になる．
合計は 10×4+20×3+30×2+40×1=200（円）
　　　平均値は .20010nnn=20（円）

○　期待値の計算では，まず次の表を作る．
賞金(円) 10 20 30 40 計
確率 .410nn .310nn .210nn .110nn 1
次に，変数×確率を足していく．
期待値 E=10×.410nn+20×.310nn+30×.210nn+40×.110nn=4+6+6+4=20（円）
例題２
　さいころを投げて出た目の10倍の金額をもらえることにしたとき，このさいころを１回投げたときにもらえる金額の期待値を求めよ．
（答案）
　表が書いてない　→　表を作る．
出た目 1 2 3 4 5 6 　
金額 10 20 30 40 50 60 計
確率 .16n .16n .16n .16n .16n .16n 1
次に，変数×確率を足していく．この問題では，変数は「出た目」ではなくその１0倍
期待値 E=10×.16n+20×.16n+30×.16n+40×.16n+50×.16n+60×.16n=35
例題３
　赤玉４個白玉３個の計７個が入っている袋から，３個の玉を同時に取り出すとき，出てくる赤玉の個数の期待値を求めよ． 		（答案）
　表が書いてない　→　表を作る．個々の確率は「気長に，ていねいに」計算する．･･･この数字を埋めるのが山場．
赤玉の個数 0 1 2 3 計
確率 .3C37C3nnn

=.135nn 		.4C1·3C27C3nnnnnn

=.1235nn 		.4C2·3C17C3nnnnnn

=.1835nn 		.4C37C3nnn

=.435nn 		1
次に，変数×確率を足していく．
期待値 E=0×.135nn+1×.1235nn+2×.1835nn+3×.435nn=.127nn
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■［個別の頁からの質問に対する回答］[期待値について／17.5.29］
期待値の問題(3)についてhelpの赤1、白1はなぜ6/10なのでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．計算の根拠はhelpに示した通りですが，6/10をなぜ3/5にしないのかという質問でしたら，約分してから通分するのなら何も触らない方が間違いが少ないからです．
■［個別の頁からの質問に対する回答］[期待値について／17.3.18］
訂正です。確率/期待値/問5 のhelpについて 『…100硬貨が裏、100円硬貨のうち1枚が表、1枚が裏→10円となる確率は…』とありますが、 正しくは、『…100硬貨が裏、【10】円硬貨のうち1枚が表、1枚が裏→10円となる確率は…』ではないでしょうか？ いつもお世話になっています。ありがとうございます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．入力ミスですので訂正しました．

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