ベクトルの大きさ

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== ベクトルの大きさ（長さ）==

ベクトルの大きさとは……

○ベクトルは大きさと向きをもつ量です。これに対してベクトルの大きさ（長さ）は単なる１つの数です。
〇ベクトル $\vec{a}$ の大きさ(長さ)は，絶対値記号を用いて $\mid\vec{a}\mid$ で表します。

○ベクトル $\vec{a}$ の成分が $(a_1,\hspace{5}a_2)$ のとき，図のように三平方の定理を用いて計算すると，

$\mid\vec{a}\mid=\sqrt{a_1^2+ a_2^2}$

になります。
〇ベクトルの大きさは，ベクトルの始点から終点までの２点間の距離と同じです．

【例１】
　ベクトル $\vec{a}=(4,3)$ の大きさを求めてください．

（解答）
右図のように横の長さが4，縦の長さが3の直角三角形の斜辺の長さになるから
$|\vec{a}|=\sqrt{4^2+ 3^2}=\sqrt{25}=5$ …（答）

【例２】
　ベクトル $\vec{b}=(2,-2)$ の大きさを求めてください．

（解答）
右図のように横の長さが2，縦の長さが2（ｙ座標が-2のとき長さとしては2）の直角三角形になる．
公式を使って計算するときは，負の値でも２乗すると正になるから，気にせずそのまま計算したらよい．
$|\vec{b}|=\sqrt{2^2+ (-2)^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ …（答）

○２点 $A(a_1,\hspace{5}a_2),\hspace{5}B(b_1,\hspace{5}b_2)$ を結ぶベクトル $\vec{AB}$ の成分は，
$\vec{AB}=(b_1-a_1,\hspace{5}b_2-a_2)$
だから
$\mid\vec{AB}\mid=\sqrt{(b_1-a_1)^2+ (b_2-a_2)^2}$
になります．これは２点間の距離
$AB=\sqrt{(b_1-a_1)^2+ (b_2-a_2)^2}$
と同じです．

※ベクトルに絶対値も付けたら $\mid\vec{AB}\mid$ ，何も着てない裸の王様 $AB$ と同じ

【例３】
　２点 $A(2,-1),B(3,2)$ を結ぶベクトル $\vec{AB}$ の大きさを求めてください．

（解答）
$\vec{AB}=(3-2,2-(-1))=(1,3)$ だから $|\vec{AB}|=\sqrt{1^2+ 3^2}=\sqrt{10}$ …（答）

単位ベクトルとは……

○例えば，大きさが３のベクトルを３で割ると，大きさが１のベクトルになります(向きは変わりません)。大きさが５のベクトルを５で割ると大きさ１のベクトルになります(向きは変わりません)。

○一般に，ベクトル $\vec{a}$ をその大きさ $\mid\vec{a}\mid$ で割ったもの $\frac{\vec{a}}{\mid\vec{a}\mid}$ は， $\vec{a}$ と同じ向きで大きさ１のベクトルになります。
大きさ１のベクトルを単位ベクトルといいます。

※注意　高校には，ベクトルの割り算というものはありません。 $\frac{\vec{a}}{\mid\vec{a}\mid}$ は，ベクトルで割っているのでなく，記号 $\mid\vec{a}\mid$ は単なる数字なので，数字で割ることを表しています。数字で割ることは「ベクトルの実数倍」(大きさだけ変えて向きを変えない)で定義されています。

※向きをいろいろと考えると，大きさ1のベクトル：単位ベクトルは無数にあります。
※これに対して，ｘ軸，ｙ軸の正の向きの単位ベクトルは特に基本ベクトルと呼ばれます。基本ベクトルは，１つずつしかありません。

【例４】
　ベクトル $\vec{a}=(3,4)$ と同じ向きの単位ベクトルを求めてください．

（解答）
$|\vec{a}|=\sqrt{3^2+ 4^2}=5$ だから
$\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}=\frac{\vec{a}}{5}=\frac{1}{5}(3,4)=\Bigl(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\Bigr)$ …（答）
（参考）
ベクトル $\vec{a}$ と「方向」が同じでも「向き」が逆のベクトルは， $\Bigl(-\frac{3}{5},-\frac{4}{5}\Bigr)$ になります．
同一直線上にあれば「方向」が同じになりますが，あちら向きとこちら向きの違いがあります．このように「向き」が同じという指定は，「方向」が同じというよりも強い指定になります．

［要約］
○ $\vec{a}=(a_1,\hspace{5}a_2)$ のとき，
$\mid\vec{a}\mid=\sqrt{a_1^2+ a_2^2}$
○２点 $A(a_1,\hspace{5}a_2),\hspace{5}B(b_1,\hspace{5}b_2)$ を結ぶベクトル $\vec{AB}$ については，
$\vec{AB}=(b_1-a_1,\hspace{5}b_2-a_2)$
$\mid\vec{AB}\mid=\sqrt{(b_1-a_1)^2+ (b_2-a_2)^2}$
○ $\vec{a}$ と同じ向きの単位ベクトルは，
$\frac{\vec{a}}{\mid\vec{a}\mid}$

それぞれの問題に対応する答を下の選択肢から選びなさい。

【問題1】
(1) $A(-1,\hspace{5}1),\hspace{5}B(2,\hspace{5}-2)$ のとき， $\vec{AB}$ を求めよ．

解説やり直す

(−3, 3) (3, −3) (1, −1) (−1, 1)

ｘ成分，ｙ成分のそれぞれについて，(終点)−(始点)を計算します．
$\vec{AB}=(2-(-1),\hspace{5}-2-1)=(3,-3)$ …（答）

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(2) $P(3,\hspace{5}0),\hspace{5}Q(0,\hspace{5}3)$ のとき， $\vec{PQ}$ を求めよ．

解説やり直す

(−3, 3) (3, −3) (−3, −3) (3, 3)

ｘ成分，ｙ成分のそれぞれについて，(終点)−(始点)を計算します．
$\vec{PQ}=(0-3),\hspace{5}3-0)=(-3,3)$ …（答）

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【問題2】
(1) $\vec{a}=(-2,\hspace{5}3)$ のとき， $\mid\vec{a}\mid$ を求めよ．

解説やり直す

$-1$ $5$ $2\sqrt{2}$ $\sqrt{13}$

$\vec{a}=(a_1,\hspace{5}a_2)$ のとき， $\mid\vec{a}\mid=\sqrt{a_1^2+ a_2^2}$ を求めます．
$\mid\vec{a}\mid=\sqrt{(-2)^2+ 3^2}=\sqrt{13}$ …（答）

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(2) $\vec{b}=(-3,\hspace{5}4)$ のとき， $\mid\vec{b}\mid$ を求めよ．

解説やり直す

$1$ $5$ $2\sqrt{2}$ $\sqrt{13}$

$\vec{b}=(b_1,\hspace{5}b_2)$ のとき， $\mid\vec{b}\mid=\sqrt{b_1^2+ b_2^2}$ を求めます．
$\mid\vec{b}\mid=\sqrt{(-3)^2+ 4^2}=5$ …（答）

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(3) $A(3,\hspace{5}4),\hspace{5}B(5,\hspace{5}6)$ のとき， $\mid\vec{AB}\mid$ を求めよ．

解説やり直す

$1$ $5$ $2\sqrt{2}$ $\sqrt{13}$

$A(a_1,\hspace{5}a_2),\hspace{5}B(b_1,\hspace{5}b_2)$ に対して，
$\mid\vec{AB}\mid=\sqrt{(b_1-a_1)^2+ (b_2-a_2)^2}$ を求めます．
$\mid\vec{AB}\mid=\sqrt{(5-3)^2+ (6-4)^2}=\sqrt{4+ 4}$
$=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ …（答）

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(4) $A(-1,\hspace{5}1),\hspace{5}B(1,\hspace{5}2)$ のとき， $\mid\vec{AB}\mid$ を求めよ．

解説やり直す

$5$ $\sqrt{5}$ $2\sqrt{2}$ $\sqrt{13}$

$A(a_1,\hspace{5}a_2),\hspace{5}B(b_1,\hspace{5}b_2)$ に対して，
$\mid\vec{AB}\mid=\sqrt{(b_1-a_1)^2+ (b_2-a_2)^2}$ を求めます．
$\mid\vec{AB}\mid=\sqrt{(1-(-1))^2+ (2-1)^2}=\sqrt{4+ 1}=\sqrt{5}$ …（答）

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【問題3】
(1) $\vec{a}=(1,\hspace{5}1)$ と同じ向きの単位ベクトルを求めよ．

解説やり直す

$(\frac{1}{2},\hspace{5}\frac{1}{2})$ $(\frac{1}{2},\hspace{5}-\frac{1}{2})$ $(\frac{\sqrt{2}}{2},\hspace{5}\frac{\sqrt{2}}{2})$ $(\frac{\sqrt{2}}{2},\hspace{5}-\frac{\sqrt{2}}{2})$

初めに $\mid\vec{a}\mid$ を計算し，次にその数字で割ります．
$\mid\vec{a}\mid=\sqrt{1^2+ 1^2}=\sqrt{2}$
$\frac{\vec{a}}{\mid\vec{a}\mid}=\frac{(1,\hspace{5}1)}{\sqrt{2}}=(\frac{1}{\sqrt{2}},\hspace{5}\frac{1}{\sqrt{2}})=(\frac{\sqrt{2}}{2},\hspace{5}\frac{\sqrt{2}}{2})$ …（答）

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(2) $\vec{b}=(-1,\hspace{5}1)$ と逆向きの単位ベクトルを求めよ．

解説やり直す

$(\frac{1}{2},\hspace{5}\frac{1}{2})$ $(\frac{1}{2},\hspace{5}-\frac{1}{2})$ $(\frac{\sqrt{2}}{2},\hspace{5}\frac{\sqrt{2}}{2})$ $(\frac{\sqrt{2}}{2},\hspace{5}-\frac{\sqrt{2}}{2})$

初めに $\mid\vec{b}\mid$ を計算し，次にその数字で割り，さらに符号を変えます．
$\mid\vec{b}\mid=\sqrt{(-1)^2+ 1^2}=\sqrt{2}$
$\frac{\vec{b}}{\mid\vec{b}\mid}=\frac{(-1,\hspace{5}1)}{\sqrt{2}}=(-\frac{1}{\sqrt{2}},\hspace{5}\frac{1}{\sqrt{2}})=(-\frac{\sqrt{2}}{2},\hspace{5}\frac{\sqrt{2}}{2})$
の符号を変えると
$-\frac{\vec{b}}{\mid\vec{b}\mid}=(\frac{\sqrt{2}}{2},\hspace{5}-\frac{\sqrt{2}}{2})$ …（答）

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