ベクトルの差

■ベクトルの差

== ベクトルの差 ==

【考え方１】･･･「ベクトルの差」は「逆ベクトルの和」と考える方法

　２つのベクトル，の差 −は、次の図のように、ベクトルにベクトルの逆ベクトル −を加えたものと定義します。

　[注意]　 − と　 −　は別のものです。(向きが逆になります。)

［要点]
「ベクトルの差は、逆ベクトルの和で定義する」

ベクトル $\vec{a}$ にベクトル $\vec{b}$ の逆ベクトル $-\vec{b}$ を「接ぎ木」のようにつないで， $\vec{a}$ の始点から $-\vec{b}$ の終点を結んだものを，ベクトルの差 $\vec{a}-\vec{b}$ と決める．

【例１】

右上の図において(1)の問題に対して， $\vec{a}-\vec{b}$ を作図するには，初めに(2)のように逆ベクトル $-\vec{b}$ を作り，次に(3)のように接ぎ木するとよい．

右下の図も同様

※ベクトルは「大きさ」と「向き」だけで決まるので，『どこに描いてあるか』は関係ない．そこで，(2)で逆ベクトル $-\vec{b}$ を作図してから(3)で接ぎ木するときに， $-\vec{b}$ を自由に平行移動できる．

【考え方２】･･･２つのベクトルの始点がそろっている場合

原点Oを始点とする２つのベクトル $\vec{OA}$ を $\vec{a}$ ， $\vec{OB}$ を $\vec{b}$ で表す場合，２点A, Bを結ぶベクトル $\vec{AB}$ は， $\vec{AB}=\vec{b}-\vec{a}$
で表される．
（解説）
$\vec{AB}=\vec{AO}+\vec{OB}=-\vec{a}+\vec{b}$
だから
$\vec{AB}=\vec{b}-\vec{a}$
になります．

【注意】
１．この関係は２つのベクトル $\vec{a},\vec{b}$ の始点がそろっている場合だけ成り立ち，右図のように始点がそろっていない場合には $\vec{AB}=\vec{b}-\vec{a}$ とはなりません．

２． $\vec{AB}=\vec{b}-\vec{a}$ です． $\vec{AB}=\vec{a}-\vec{b}$ ではありません．

危険な落とし穴
「漫然と矢印の流れに目がついて行くためか」
$\vec{AB}=\vec{a}-\vec{b}$ という間違いがビックリするほど多い！

覚え方としては

（終点）−（始点）

の形になると考えます．

【例２】

(1) 右図において２点A, Bを結ぶベクトル $\vec{AB}$ は， $\vec{b}-\vec{a}$ で表される．

(2) また２点A, Bを結ぶベクトル $\vec{AB}$ は， $\vec{q}-\vec{p}$ と表すこともできる．

(2)は次のように示すことができます．
$\vec{AB}=\vec{AC}+\vec{CB}=-\vec{p}+\vec{q}$
だから
$\vec{AB}=\vec{q}-\vec{p}$
※始点がそろっていれば，始点が原点以外の１点（C）であっても，（終点）−(始点)になります．

■問題１
右図の正六角形ABCDEFについて，次のベクトルに等しいものを選んでください．
（正しいものをクリック）

(1)　 $\vec{a}-\vec{b}$ 解説

$\vec{AB}$ $\vec{AC}$ $\vec{BA}$

$\vec{BC}$ $\vec{CA}$ $\vec{CB}$

これらの選択肢の中では $\vec{BA}$ に等しくなります．
$\vec{BA}=\vec{BO}+\vec{OA}=-\vec{b}+\vec{a}=\vec{a}-\vec{b}$

※ $\vec{a}-\vec{b}$ を（終点）−（始点）と読むと，
（終点）がAで（始点）がB，すなわち $\vec{BA}$ になります．

(2)　 $\vec{c}-\vec{b}$ 解説

$\vec{AB}$ $\vec{AC}$ $\vec{BA}$

$\vec{BC}$ $\vec{CA}$ $\vec{CB}$

これらの選択肢の中では $\vec{BC}$ に等しくなります．
$\vec{BC}=\vec{BO}+\vec{OC}=-\vec{b}+\vec{c}=\vec{c}-\vec{b}$

※ $\vec{c}-\vec{b}$ を（終点）−（始点）と読むと，
（終点）がCで（始点）がB，すなわち $\vec{BC}$ になります．

(3)　 $\vec{c}-\vec{a}$ 解説

$\vec{AB}$ $\vec{AC}$ $\vec{BA}$

$\vec{BC}$ $\vec{CA}$ $\vec{CB}$

これらの選択肢の中では $\vec{AC}$ に等しくなります．
$\vec{AC}=\vec{AO}+\vec{OC}=-\vec{a}+\vec{c}=\vec{c}-\vec{a}$

※ $\vec{c}-\vec{a}$ を（終点）−（始点）と読むと，
（終点）がCで（始点）がA，すなわち $\vec{AC}$ になります．

■問題２
右図の正六角形ABCDEFについて，次のベクトルに等しいものを選んでください．
（正しいものをクリック）

(1)　 $\vec{AC}$ 解説

$\vec{p}-\vec{q}$ $\vec{p}-\vec{r}$ $\vec{q}-\vec{p}$

$\vec{q}-\vec{r}$ $\vec{r}-\vec{p}$ $\vec{r}-\vec{q}$

これらの選択肢の中では $\vec{q}-\vec{p}$ に等しくなります．
$\vec{AC}=\vec{AO}+\vec{OC}=-\vec{p}+\vec{q}=\vec{q}-\vec{p}$
※ $\vec{AC}$ の（終点）はCで（始点）はA，だから $\vec{q}-\vec{p}$ と考えてもよい．

(2)　 $\vec{EA}$ 解説

$\vec{p}-\vec{q}$ $\vec{p}-\vec{r}$ $\vec{q}-\vec{p}$

$\vec{q}-\vec{r}$ $\vec{r}-\vec{p}$ $\vec{r}-\vec{q}$

これらの選択肢の中では $\vec{p}-\vec{r}$ に等しくなります．
$\vec{EA}=\vec{EO}+\vec{OA}=-\vec{r}+\vec{p}=\vec{p}-\vec{r}$

※ $\vec{EA}$ の（終点）はAで（始点）はE，だから $\vec{p}-\vec{r}$ と考えてもよい．

(3)　 $\vec{CE}$ 解説

$\vec{p}-\vec{q}$ $\vec{p}-\vec{r}$ $\vec{q}-\vec{p}$

$\vec{q}-\vec{r}$ $\vec{r}-\vec{p}$ $\vec{r}-\vec{q}$

これらの選択肢の中では $\vec{r}-\vec{q}$ に等しくなります．
$\vec{CE}=\vec{CO}+\vec{OE}=-\vec{q}+\vec{r}=\vec{r}-\vec{q}$
※ $\vec{CE}$ の（終点）はEで（始点）はC，だから $\vec{r}-\vec{q}$ と考えてもよい．