■外分点の位置ベクトル、重心の位置ベクトル
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■[要点] 1 2点A,Bを結ぶ線分ABをm:nに外分する点Qの位置ベクトルは 2
△ABCの頂点A,B,Cの位置ベクトルを各々,,とするとき,△ABCの重心Gの位置ベクトルは |
■[解説] 1 m>n のとき,図アにより =- |
m<n のとき,図イにより =- AQ:QB=m:n だからAQ:AB=m:(n-m) AQ,ABは逆向きだから |
2 BCの中点Mの位置ベクトルは 次に,A(),M() を2:1に内分する点がGだから,
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三角形の重心は,元々は各頂点から対辺に引いた中線が交わる点として定義されるが,「中線の交点を求める」ためには,直線のベクトル方程式を学ぶ必要がある。 ここでは、三角形の重心の定義ではなく,定義から導かれる一つの性質:「重心は頂点と対辺を2:1に内分する」を用いて,重心を求める。 MからBNに平行線を引き,ACとの交点をPとすると, PN:NA=1:2だから, AG:GM=2:1 |
■[問題] △ABCの頂点の位置ベクトルを,,,ABを2:3に外分する点をP,BCを2:3に外分する点をQ,CAを2:3に外分する点をRとするとき,次の各ベクトルを,,で表せ。 (初めに問題を選び、次に選択肢を選びなさい。合っていれば消えます。なお、選択肢にはジョーカが含まれています。暗算は難しいので計算用紙を使いましょう。)
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解説 |