ベクトルの平行条件，垂直条件

== ベクトルの平行条件，垂直条件 ==

【ベクトルの平行条件】
２つのベクトル $\vec{a}\ne 0$ ， $\vec{b}\ne 0$ について
$\vec{a}$ と $\vec{b}$ が平行（ $\vec{a}//\vec{b}$ ）
となるための必要十分条件は
$\vec{a}=t\vec{b}$ となる実数 $t$ が存在すること
（ $\vec{b}=s\vec{a}$ となる実数 $s$ が存在することと言っても同じ）

「存在すること」という表現が分かりにくいとき，「t（またはs）が求まればよい」と考えればよい。

（解説）

【例１】
$\vec{a}=(x,-4)$ と $\vec{b}=(-3,6)$ が平行となるように定数 $x$ の値を定めてください．

（解答）
$\vec{a}=t\vec{b}$ （tは実数）
より
(x, −4)=t(−3, 6)
成分に分けると

x=−3t…(1)
−4=6t…(2)
(2)より $t=-\frac{2}{3}$
これを(1)に代入するとx=2…（答）

→右上に続く

【例２】
ベクトル $\vec{a}=(3,-4)$ と同じ向きで大きさが１のベクトルの成分を求めてください．

（解答）
求めるベクトルを $\vec{b}=(x,y)$ とおく

$\vec{b}=t\vec{a}\hspace{4}(t\gt 0)$ …(1)
$|\vec{b}|=1$ …(2)
が条件になる．
(1)から(x, y)=t(3, −4) → x=3t, y=−4t
これを(2)に代入すると
$\sqrt{(3t)^2+ (-4t)^2}=1$
$25t^2=1$
$t=\pm \frac{1}{5}$
(1)によりt>0だから
$t=\frac{1}{5}$
$\vec{b}=(x,y)=(\frac{3}{5},-\frac{4}{5})$ …（答）

【ベクトルの垂直条件】
２つのベクトル $\vec{a}\ne 0$ ， $\vec{b}\ne 0$ について
$\vec{a}$ と $\vec{b}$ が垂直（ $\vec{a}\perp\vec{b}$ ）
となるための必要十分条件は
$\vec{a}\cdot \vec{b}=0$ となること

※　垂直，直交，直角，90° 垂直である，垂直になる
直交する(直角に交わる)
直角，直角になる
90°になる，・・・
・・・・言い回しは少しずつ異なりますが，同じ意味。

【例３】
$\vec{a}=(x,-4)$ と $\vec{b}=(-3,6)$ が垂直になるように定数 $x$ の値を定めてください．

（解答）
$\vec{a}\cdot \vec{b}=-3x-24=0$
より
x=−8…（答）

【問題】　次の空欄を埋めなさい。
(1)　 $\vec{b}=t\vec{a}$ となるように成分の値を定める．
$(6, k)=t(2,-3)$ より

6=2t
k=−3t
t=3, k=−9
(2)　 $\vec{a}\cdot \vec{b}=0$ となるように成分の値を定める．
12−3k=0よりk=4

(1)　 $t\vec{a}=\vec{b}$ となるように成分の値を定める．
$t(2, -1)=(k, k+ 3)$ より

2t=k
−t=k+3
t=−1, k=−2
(2)　 $\vec{a}\cdot \vec{b}=0$ となるように成分の値を定める．
2k−(k+3)=0よりk=3
$(\vec{a}+ \vec{b})\cdot(k\vec{a}- \vec{b})=0$ となるようにkの値を定める．
$\vec{a}+ \vec{b}=(3,0)$
$k\vec{a}- \vec{b}=(k,k)-(2,-1)=(k-2,k+1)$
だから
3(k-2)=0
k=2

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■［個別の頁からの質問に対する回答］[ベクトルの平行条件，垂直条件について／18.7.29］

例２は25t^2ではなく5t^2ではありませんか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう． $\sqrt{25t^2}=1$ だから $25t^2=1$ です．1段階省略がありますが，瞬間の暗算ということです．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[ベクトルの平行条件，垂直条件について／17.6.27］

正解はいいものの、途中式は欲しいですね。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．ヒントというボタンを押したときに表示されるものを途中式というのではないのか？他にどんな途中式があるのか？