（例題対比）平行線と角

*** 学年 ***
中学１年中学２年中学３年
*** 単元 ***
式の計算連立方程式１次関数平行線と角円周角の定理確率

※中学２年生向け「平行線と角」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　が現在地です．

↓対頂角,同位角,錯角
↓同(2)

↓三角形の内角の和
↓外角
↓外角,多角形
↓練習問題(やさしい)-現在地

↓二等辺三角形の角
↓練習問題(1)
↓練習問題(2)

（例題対比）== 平行線と角 ==

【三角形の内角の和】
　三角形の内角の和は 180° に等しい．
∠x+∠y+∠z=180°※　この性質は右図のような「鋭角三角形」（３つの角が鋭角）だけでなく，「直角三角形（１つの角が直角）」「鈍角三角形（１つの角が鈍角）」についても成り立つ．

［例題１］

　右図の三角形において ∠x の大きさを求めなさい．
（答案）
____∠x+65°+70°=180°
____∠x=45° …（答）

［問題１］
(1)　右図の三角形において ∠x の大きさを求めなさい．
__________採点するやり直す解説

【四角形・五角形の内角の和】

○　四角形の内角の和は 360° に等しい．
○　五角形の内角の和は 540° に等しい．

※　四角形は右図のように２つの三角形に分けられるので，その内角の和は 180×2=360° になる．
　　五角形は３つの三角形に分けられるので，その内角の和は 180×3=540° になる．

［例題２］
　右図において ∠x の大きさを求めなさい．
（答案）
____85°+130°+75°+∠x=360°
____∠x=70° …（答）

［問題２］

(1)　右の四角形において ∠x の大きさを求めなさい．__________採点するやり直す解説

【対頂角】

　対頂角は等しい．
※　右図において ∠a=∠c , ∠b=∠dが成り立つ．

［例題３］
　　右図において ∠x の大きさを求めなさい．
（答案）
____∠x=65° …（答）

［問題３］

　右図において ∠x の大きさを求めなさい．
__________採点するやり直す解説

【同位角】

　平行線の同位角は等しい．
※　右図のように平行な２直線 m , n に他の１つの直線が交わっているとき，
________∠a=∠c , ∠b=∠d
________∠e=∠g , ∠f=∠h
が成り立つ．
（上に述べた「対頂角」の性質も使うと，さらに
________∠a=∠c=∠f=∠h , ∠b=∠d=∠e=∠g
も成り立つ．）

［例題４］
　　右図において m//n のとき ∠x の大きさを求めなさい．
（答案）
____∠x=70° …（答）

［問題４］

(1)　右図において m//n のとき ∠x の大きさを求めなさい．
__________採点するやり直す解説

【錯角】

　平行線の錯角は等しい．
※　右図のように平行な２直線 m , n に他の１つの直線が交わっているとき，
________∠a=∠d , ∠b=∠c
が成り立つ．

［例題５］

　右図において m//n のとき ∠x の大きさを求めなさい．
（答案）
　____∠x=72° …（答）

［問題５］

(1)　右図において m//n のとき ∠x の大きさを求めなさい．

__________採点するやり直す解説

【外角とは】

○　三角形の１つの内角 A に対する外角とは，その角の外側全部（ 360° - A ）のことではなく，右図のように延長線との間にできる角（ 180° - A ）のことをいう．

【三角形の外角】
○　三角形の１つの外角は，それに隣り合わない２つの内角の和に等しい．

　右図において外角 ∠d に隣り合う角は ∠c だから，隣り合わない角は ∠a と ∠b ⇒ ∠d=∠a+∠b が成り立つ．

［例題６］

　右図において ∠a=71° , ∠b=42° のとき ∠d を求めなさい．
（答案）
　∠d=∠a+∠b=113° …（答）

［問題６］

(1)　右図において ∠b=53° , ∠c=44° のとき，∠xを求めなさい．__________採点するやり直す解説

【多角形の外角の和】
○　多角形の外角の和は 360° に等しい．

（三角形，四角形，五角形，… のどれでも外角の和は 360° になる．）

※　右図のように集めてみると分かる．

［例題７］

　右図において ∠a=110° , ∠b=80°, ∠c=100° のとき ∠d を求めなさい．
（答案）
　110°+80°+100°+∠d=360°
　∠d=70° …（答）

［問題７］

(1)　右図において ∠a=105° , ∠b=75°, ∠c=105° のとき ∠d を求めなさい．
__________採点するやり直す解説

【２つの三角形】
○　図形の形に応じて，２つの三角形に分けて考えると分かることがある．

［例題８］

(1)　右図において ∠a=30° , ∠b=45°, ∠c=40° のとき ∠d を求めなさい．
（答案）
　左側の三角形の内角の和が 180° になることから，∠e=105°
　対頂角が等しいことから，∠f=105°
　右側の三角形の内角の和が 180° になることから，∠d=35°

(2)　右図において ∠a=70° , ∠b=20°, ∠c=30° のとき ∠d を求めなさい．
（答案）
　右のように２つの三角形に分けると，上の三角形について三角形の外角 ∠e がそれと隣合わない２つの内角の和に等しいことから，∠e=∠a+∠c=100°　さらに，下の三角形の外角 ∠d がそれと隣合わない２つの内角の和に等しいことから，∠d=∠e+∠b=120° …（答）

［問題８］

(1)　右図において ∠a=53° , ∠b=48°, ∠d=35° のとき ∠c を求めなさい．
__________採点するやり直す解説

【３つの三角形】
○　図形の形に応じて，３つの三角形に分けて考えると分かることがある．

［例題９］
(1)　右図において ∠a=62° , ∠b=43°, ∠c=34°, ∠d=65° のとき ∠e を求めなさい．
（答案）
　左下の三角形の内角の和が 180° になることから，∠f=75°
　次に，対頂角が等しいことから，∠p=75°
　同様にして，右下の三角形の内角の和が 180° になることから，∠g=81°
　次に，対頂角が等しいことから，∠q=81°
　上の三角形の内角の和が 180° になることから，∠e=24°

(2)　右図において ∠a=20° , ∠b=40°, ∠c=30°, ∠e=45° のとき ∠d を求めなさい．

（答案）
　水色で示した三角形の内角の和が 180° になることから，∠p=95°
　これにより，∠r=85°
　（「水色の三角形で，外角 ∠r は，それと隣り合わない２つの内角の和 ∠b+∠e に等しい」と考えてもよい．）
　同様にして，黄色で示した三角形の内角の和が 180° になることから，∠q=130°
　これにより，∠s=50°
　（「黄色の三角形で，外角 ∠s は，それと隣り合わない２つの内角の和 ∠a+∠c に等しい」と考えてもよい．）
　右下の三角形の内角の和が 180° になることから，∠d=45°

［問題９］

(1)　右図において ∠a=61° , ∠b=35°, ∠c=52°, ∠d=53° のとき ∠e を求めなさい．
__________採点するやり直す解説

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