（例題対比）確率の求め方

*** 学年 ***
中学１年中学２年中学３年
*** 単元 ***
式の計算連立方程式１次関数平行線と角円周角の定理確率

※中学２年生向け「確率」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　が現在地です．

↓確率の求め方-現在地
↓「かつ」「または」の確率
確率の入試問題

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（例題対比）== 確率の求め方 =

【赤玉白玉（くじ引き）の確率】
［例題１］
　赤玉2個，白玉3個，青玉4個の計9個の玉が入っている袋から玉を１個取り出すとき，赤玉が出る確率を求めなさい．
（答案）
　玉の取り出し方は9通り
　どの玉の取り出し方も同様に確からしい
　赤玉が出るのは2通り

p= .

29n …（答）

［問題１］
　赤玉2個，白玉2個，青玉3個の計7個の玉が入っている袋から玉を１個取り出すとき，白玉が出る確率を求めなさい．

__________採点するやり直す解説

全部で7個ある玉のうち白玉は2個ある．どの玉の出方も同様に確からしいから
$p=\frac{2}{7}$

［例題２］
　赤玉2個，白玉3個，青玉4個の計9個の玉が入っている袋から玉を１個取り出すとき，赤玉または白玉が出る確率を求めなさい．
（答案）
　玉の取り出し方は9通り
　どの玉の取り出し方も同様に確からしい
　赤玉または白玉が出るのは5通り

p= .

59n …（答）

［問題２］
　赤玉1個，白玉2個，青玉3個の計6個の玉が入っている袋から玉を１個取り出すとき，白玉または青玉が出る確率を求めなさい．

__________採点するやり直す解説

全部で6個ある玉のうち白または青の玉は5個ある．どの玉の出方も同様に確からしいから
$p=\frac{5}{6}$

［例題３］　【要注意】
　赤玉2個，青玉2個の計4個の玉が入っている袋から玉を同時に２個取り出すとき，赤玉と青玉が１個ずつ出る確率を求めなさい．
（答案１）
　赤玉を ①,②，青玉を ③,④ で表わすと
　２個取り出す取り出し方は
__________{①,②} , {①,③}, {①,④}
__________{②,③}, {②,④}
__________{③,④}
の6通り
そのうち赤玉と青玉が１個ずつ出るのは，黄色で示した4通り

p= .

46n = .

23n …（答）

※中学校の教科書では，「組合せ」という用語は表だって使われてはいませんが，この問題は「組合せ」の考え方をします．（手元の教科書で３社とも出ています．）
　全体の場合の数を組合せで数えるときは，条件に合う場合の数も組合せで数えることが重要です．このときは，
　（確率）=組合せ組合せになります．

（別の解説２）
　右図の４角形で頂点を結ぶ線で１組の数を考えると，{①,②}を１つと数えたら，{②,①}は同じものになるので重複して数えないことが重要．
　右図で１組の数を表わす線の数は6個で，そのうち赤青の組になっているのは黄色で示した4通りだから，上で示した答になる．

（別の解説３）

	①	②	③	④
①	×	○	○	○
②	×	×	○	○
③	×	×	×	○
④	×	×	×	×

　玉の「組合せ」を重複して数えないようにするためには，右のような表を作って数えるとよい．
（ア）
　同時に２つの玉を取り出すのだから，まず，右図ピンク色で示した対角線上の組合せは同じもの①と①の組を表わし，このような出方はない．
（イ）
　次に，右図灰色で示した左下の組合せ（例えば②と①の組）は右上に同じ組合せ（①と②）があるから重複して数えないようにする．
　このようにして，（ア）の対角線上を除く右上の部分だけを数えればよい．
　全部で6通りあり，そのうち赤青の組は4通りあるから

p= .

46n = .

23n …（答）

［問題３］
　赤玉2個，青玉2個の計4個の玉が入っている袋から玉を同時に２個取り出すとき，赤玉が２つ出る確率を求めなさい．

__________採点するやり直す解説

全部で6個ある玉のうち赤玉を①②，青玉を①②で示すと，2個取り出す時の玉の出方は{①，②},{①，①},{①，②},{②，①},{②，②},{①，②}の６通り．どの組の出方も同様に確からしいから
$p=\frac{1}{6}$

【さいころの確率】　※上の「組合せ」問題と異なり，２つのさいころを投げる問題では，２つのさいころには必ず区別があり，例えば1-1と同じ目が出ることもあり，また1-2と出ることと2-1と出ることは別の事柄として数える．
［例題４］
　２つのさいころを同時に投げるとき，出る目の数の和が8になる確率を求めなさい．

和	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10
5	6	7	8	9	10	11
6	7	8	9	10	11	12

（答案）
　（※　２つのさいころを投げるときの目の数の出方を考えるときは，右のような表を作るとよい．）
　目の数の出方は36通り（どの出方も同様に確からしい）
　そのうち目の和が8になるのは5通り

p= .

536nn …（答）

［問題４］
　２つのさいころを同時に投げるとき，出る目の数の和が7になる確率を求めなさい．

__________採点するやり直す解説

例題4の表を作ると，全部で36通りの出方のうち，出る目の和が7となるのは6通りあるから
$p=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$

［例題５］
　２つのさいころを同時に投げるとき，出る目の数の積が偶数になる確率を求めなさい．

積	1	2	3	4	5	6
1	1	2	3	4	5	6
2	2	4	6	8	10	12
3	3	6	9	12	15	18
4	4	8	12	16	20	24
5	5	10	15	20	25	30
6	6	12	18	24	30	36

（答案）
　（※　２つのさいころを投げるときの目の数の出方を考えるときは，右のような表を作るとよい．）
　目の数の出方は36通り（どの出方も同様に確からしい）
　そのうち目の積が偶数になるのは27通り

p= .

2736nn = .

34n …（答）

［問題５］
　２つのさいころを同時に投げるとき，出る目の数の積が10の倍数になる確率を求めなさい．

__________採点するやり直す解説

例題5の表を作ると，全部で36通りの出方のうち，出る目の積が10となるのは2通り，20となるのは2通り，30となるのは2通り，合計6通りあるから
$p=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$

［例題６］
　２つのさいころを同時に投げるとき，出る目の数の差が1になる確率を求めなさい．

差	1	2	3	4	5	6
1	0	1	2	3	4	5
2	1	0	1	2	3	4
3	2	1	0	1	2	3
4	3	2	1	0	1	2
5	4	3	2	1	0	1
6	5	4	3	2	1	0

（答案）
　（※　目の数の差は，大きい方から小さい方を引いたものとする．）
　目の数の出方は36通り（どの出方も同様に確からしい）
　そのうち目の差が1になるのは10通り
p= .

1036nn = .

518nn …（答）

［問題６］
　２つのさいころを同時に投げるとき，出る目の数の差が2になる確率を求めなさい．

__________採点するやり直す解説

例題6の表を作ると，全部で36通りの出方のうち，出る目の差が2となるのは8通りあるから
$p=\frac{8}{36}=\frac{2}{9}$

【硬貨の確率】　※２枚の硬貨を投げる問題では，どんなに正確に作られた硬貨でも硬貨には必ず区別があり，例えば表-裏と出ることは，裏-表と出ることとは別の事柄として数える．
［例題７］
　２枚の硬貨を同時に投げるとき，２枚とも表が出る確率を求めなさい．

硬貨A	硬貨B
表	表
表	裏
裏	表
裏	裏

（答案）
　硬貨の表裏の出方は4通り（どの出方も同様に確からしい）
　そのうち２枚とも表になるのは1通り

p= .

14n …（答）

［問題７］
　２枚の硬貨を同時に投げるとき，１枚は表でもう１枚は裏が出る確率を求めなさい．

__________採点するやり直す解説

例題7の表を作ると，全部で4通りの出方のうち，１枚は表でもう１枚は裏が出る出方は2通りあるから
$p=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

［例題８］
　３枚の硬貨を同時に投げるとき，２枚以上表が出る確率を求めなさい．

硬貨A	硬貨B	硬貨C
表	表	表
表	表	裏
表	裏	表
表	裏	裏
裏	表	表
裏	表	裏
裏	裏	表
裏	裏	裏

（答案）
　３枚の硬貨の表裏の出方は8通り（どの出方も同様に確からしい）
　そのうち２枚以上表が出るのは4通り

p= .

48n = .

12n …（答）

［問題８］
　３枚の硬貨を同時に投げるとき，ちょうど１枚だけ裏が出る確率を求めなさい．

__________採点するやり直す解説

例題8の表を作ると，全部で8通りの出方のうち，ちょうど１枚だけ裏が出る出方は3通りあるから
$p=\frac{3}{8}$

【少なくとも１つは … の確率】
［例題９］
　１つのさいころを２回投げるとき，少なくとも１回は３以上の目が出る確率を求めなさい．

	1	2	3	4	5	6
1	×	×	○	○	○	○
2	×	×	○	○	○	○
3	○	○	○	○	○	○
4	○	○	○	○	○	○
5	○	○	○	○	○	○
6	○	○	○	○	○	○

（答案）
　（少なくとも１つは … ）と表現されているとき，場合分けを簡単にするために，条件を満たさない場合を全体から引くとよい．
　すなわち，（少なくとも１つは … ）=（全体）-（２つとも … でない）
　目の出方は全部で36通り（どの出方も同様に確からしい）
　そのうち両方とも2以下となるのは右図×印の4通り
　条件に合うのは 36 - 4=32通り

p= .

3236nn = .

89n …（答）

［問題９］
　1つのさいころを２回投げるとき，少なくとも１回は１の目が出る確率を求めなさい．

__________採点するやり直す解説

例題9のように表を作ると右図のようになり，全部で36通りの出方のうち少なくとも１回は１の目が出るのは11通りあるから
$p=\frac{11}{36}$

	1	2	3	4	5	6
1	○	○	○	○	○	○
2	○	×	×	×	×	×
3	○	×	×	×	×	×
4	○	×	×	×	×	×
5	○	×	×	×	×	×
6	○	×	×	×	×	×

A	B	C	勝者
ぐ	ぐ	ぐ	0
ぐ	ぐ	ち	2
ぐ	ぐ	ぱ	1
ぐ	ち	ぐ	2
ぐ	ち	ち	1
ぐ	ち	ぱ	0
ぐ	ぱ	ぐ	1
ぐ	ぱ	ち	0
ぐ	ぱ	ぱ	2
ち	ぐ	ぐ	2
ち	ぐ	ち	1
ち	ぐ	ぱ	0
ち	ち	ぐ	1
ち	ち	ち	0
ち	ち	ぱ	2
ち	ぱ	ぐ	0
ち	ぱ	ち	2
ち	ぱ	ぱ	1
ぱ	ぐ	ぐ	1
ぱ	ぐ	ち	0
ぱ	ぐ	ぱ	2
ぱ	ち	ぐ	0
ぱ	ち	ち	2
ぱ	ち	ぱ	1
ぱ	ぱ	ぐ	2
ぱ	ぱ	ち	1
ぱ	ぱ	ぱ	0

【じゃんけんの確率】
［例題10］
　３人でジャンケンを１回するとき，勝者が１人に決まる確率を求めなさい．
（答案）
　手の出し方は全部で3×3×3=27通り（どの出し方も同様に確からしい）
　そのうち勝者が1人に決まるのは9通り

p= .

927nn = .

13n …（答）
（別解）
　Ａだけが勝つ勝ち方は3通り（残りの人の出し方は１通り），Ｂだけが勝つ勝ち方も3通り（残りの人の出し方は１通り），Ｃだけが勝つ勝ち方も3通り（残りの人の出し方は１通り）
　勝者が1人になるのはこれら9通り

p= .

927nn = .

13n …（答）

［問題10］
　３人で１回だけジャンケンをするとき，あいこになる確率を求めなさい．

__________採点するやり直す解説

例題10のように表を作ると右図のようになり全部で27通りのての出し方のうち「3人とも同じ手になってアイコになるのが3通り」「3人とも違う手を出してアイコになるのが6通り」，結局アイコになるのは合計9通りあるから
$p=\frac{9}{27}=\frac{1}{3}$

A	B	C	勝者
ぐ	ぐ	ぐ	0
ぐ	ぐ	ち	2
ぐ	ぐ	ぱ	1
ぐ	ち	ぐ	2
ぐ	ち	ち	1
ぐ	ち	ぱ	0
ぐ	ぱ	ぐ	1
ぐ	ぱ	ち	0
ぐ	ぱ	ぱ	2
ち	ぐ	ぐ	2
ち	ぐ	ち	1
ち	ぐ	ぱ	0
ち	ち	ぐ	1
ち	ち	ち	0
ち	ち	ぱ	2
ち	ぱ	ぐ	0
ち	ぱ	ち	2
ち	ぱ	ぱ	1
ぱ	ぐ	ぐ	1
ぱ	ぐ	ち	0
ぱ	ぐ	ぱ	2
ぱ	ち	ぐ	0
ぱ	ち	ち	2
ぱ	ち	ぱ	1
ぱ	ぱ	ぐ	2
ぱ	ぱ	ち	1
ぱ	ぱ	ぱ	0

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