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中学2年生向け「確率」について,このサイトには次の教材があります.
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(例題対比)== 確率の求め方 =

【赤玉白玉(くじ引き)の確率】
[例題1]
 赤玉2個,白玉3個,青玉4個の計9個の玉が入っている袋から玉を1個取り出すとき,赤玉が出る確率を求めなさい.
(答案)
 玉の取り出し方は9通り
 どの玉の取り出し方も同様に確からしい
 赤玉が出るのは2通り
p= .29n …(答)
[問題1]
 赤玉2個,白玉2個,青玉3個の計7個の玉が入っている袋から玉を1個取り出すとき,白玉が出る確率を求めなさい.

__________.nn

__________採点する やり直す
[例題2]
 赤玉2個,白玉3個,青玉4個の計9個の玉が入っている袋から玉を1個取り出すとき,赤玉または白玉が出る確率を求めなさい.
(答案)
 玉の取り出し方は9通り
 どの玉の取り出し方も同様に確からしい
 赤玉または白玉が出るのは5通り
p= .59n …(答)
[問題2]
 赤玉1個,白玉2個,青玉3個の計6個の玉が入っている袋から玉を1個取り出すとき,白玉または青玉が出る確率を求めなさい.

__________.nn

__________採点する やり直す
[例題3] 【要注意】
 赤玉2個,青玉2個の計4個の玉が入っている袋から玉を同時に2個取り出すとき,赤玉と青玉が1個ずつ出る確率を求めなさい.
(答案1)
 赤玉を ,,青玉を , で表わすと
 2個取り出す取り出し方は
__________{,} , {,}, {,}
__________{,}, {,}
__________{,}
の6通り
そのうち赤玉と青玉が1個ずつ出るのは,黄色で示した4通り
p= .46n = .23n …(答)

※中学校の教科書では,「組合せ」という用語は表だって使われてはいませんが,この問題は「組合せ」の考え方をします.(手元の教科書で3社とも出ています.)
 全体の場合の数を組合せで数えるときは,条件に合う場合の数も組合せで数えることが重要です.このときは,
 
(確率)=組合せ組合せ
になります.
(別の解説2)
 右図の4角形で頂点を結ぶ線で1組の数を考えると,{,}を1つと数えたら,{,}は同じものになるので重複して数えないことが重要.
 右図で1組の数を表わす線の数は6個で,そのうち赤青の組になっているのは黄色で示した4通りだから,上で示した答になる.
(別の解説3)
 
×
× ×
× × ×
× × × ×
 玉の「組合せ」を重複して数えないようにするためには,右のような表を作って数えるとよい.
(ア)
 同時に2つの玉を取り出すのだから,まず,右図ピンク色で示した対角線上の組合せは同じものの組を表わし,このような出方はない.
(イ)
 次に,右図灰色で示した左下の組合せ(例えばの組)は右上に同じ組合せ()があるから重複して数えないようにする.
 このようにして,(ア)の対角線上を除く右上の部分だけを数えればよい.
 全部で6通りあり,そのうち赤青の組は4通りあるから
p= .46n = .23n …(答)


[問題3]
 赤玉2個,青玉2個の計4個の玉が入っている袋から玉を同時に2個取り出すとき,赤玉が2つ出る確率を求めなさい.

__________.nn

__________採点する やり直す

【さいころの確率】 ※上の「組合せ」問題と異なり,2つのさいころを投げる問題では,2つのさいころには必ず区別があり,例えば1-1と同じ目が出ることもあり,また1-2と出ることと2-1と出ることは別の事柄として数える.
[例題4]
 2つのさいころを同時に投げるとき,出る目の数の和が8になる確率を求めなさい.
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
(答案)
 (※ 2つのさいころを投げるときの目の数の出方を考えるときは,右のような表を作るとよい.)
 目の数の出方は36通り(どの出方も同様に確からしい)
 そのうち目の和が8になるのは5通り

p= .536nn …(答)
[問題4]
 2つのさいころを同時に投げるとき,出る目の数の和が7になる確率を求めなさい.

__________.nn

__________採点する やり直す
[例題5]
 2つのさいころを同時に投げるとき,出る目の数の積が偶数になる確率を求めなさい.
1 2 3 4 5 6
1 1 2 3 4 5 6
2 2 4 6 8 10 12
3 3 6 9 12 15 18
4 4 8 12 16 20 24
5 5 10 15 20 25 30
6 6 12 18 24 30 36
(答案)
 (※ 2つのさいころを投げるときの目の数の出方を考えるときは,右のような表を作るとよい.)
 目の数の出方は36通り(どの出方も同様に確からしい)
 そのうち目の積が偶数になるのは27通り

p= .2736nn = .34n …(答)
[問題5]
 2つのさいころを同時に投げるとき,出る目の数の積が10の倍数になる確率を求めなさい.

__________.nn

__________採点する やり直す
[例題6]
 2つのさいころを同時に投げるとき,出る目の数の差が1になる確率を求めなさい.
1 2 3 4 5 6
1 0 1 2 3 4 5
2 1 0 1 2 3 4
3 2 1 0 1 2 3
4 3 2 1 0 1 2
5 4 3 2 1 0 1
6 5 4 3 2 1 0
(答案)
 (※ 目の数の差は,大きい方から小さい方を引いたものとする.)
 目の数の出方は36通り(どの出方も同様に確からしい)
 そのうち目の差が1になるのは10通り
p= .1036nn = .518nn …(答)
[問題6]
 2つのさいころを同時に投げるとき,出る目の数の差が2になる確率を求めなさい.

__________.nn

__________採点する やり直す

【硬貨の確率】 ※2枚の硬貨を投げる問題では,どんなに正確に作られた硬貨でも硬貨には必ず区別があり,例えば表-裏と出ることは,裏-表と出ることとは別の事柄として数える.
[例題7]
 2枚の硬貨を同時に投げるとき,2枚とも表が出る確率を求めなさい.
硬貨A 硬貨B
(答案)
 硬貨の表裏の出方は4通り(どの出方も同様に確からしい)
 そのうち2枚とも表になるのは1通り
p= .14n …(答)

[問題7]
 2枚の硬貨を同時に投げるとき,1枚は表でもう1枚は裏が出る確率を求めなさい.

__________.nn

__________採点する やり直す
[例題8]
 3枚の硬貨を同時に投げるとき,2枚以上表が出る確率を求めなさい.
硬貨A 硬貨B 硬貨C
(答案)
 3枚の硬貨の表裏の出方は8通り(どの出方も同様に確からしい)
 そのうち2枚以上表が出るのは4通り

p= .48n = .12n …(答)
[問題8]
 3枚の硬貨を同時に投げるとき,ちょうど1枚だけ裏が出る確率を求めなさい.

__________.nn

__________採点する やり直す
【少なくとも1つは … の確率】
[例題9]
 1つのさいころを2回投げるとき,少なくとも1回は3以上の目が出る確率を求めなさい.
  1 2 3 4 5 6
1 × ×
2 × ×
3
4
5
6
(答案)
 (少なくとも1つは … )と表現されているとき,場合分けを簡単にするために,条件を満たさない場合を全体から引くとよい.
 すなわち,(少なくとも1つは … )=(全体)-(2つとも … でない)

 目の出方は全部で36通り(どの出方も同様に確からしい)
 そのうち両方とも2以下となるのは右図×印の4通り
 条件に合うのは 36 - 4=32通り

p= .3236nn = .89n …(答)
[問題9]
 1つのさいころを2回投げるとき,少なくとも1回は1の目が出る確率を求めなさい.

__________.nn

__________採点する やり直す
A B C 勝者
0
2
1
2
1
0
1
0
2
2
1
0
1
0
2
0
2
1
1
0
2
0
2
1
2
1
0
【じゃんけんの確率】
[例題10]
 3人でジャンケンを1回するとき,勝者が1人に決まる確率を求めなさい.
(答案)
 手の出し方は全部で3×3×3=27通り(どの出し方も同様に確からしい)
 そのうち勝者が1人に決まるのは9通り

p= .927nn = .13n …(答)
(別解)
 Aだけが勝つ勝ち方は3通り(残りの人の出し方は1通り),Bだけが勝つ勝ち方も3通り(残りの人の出し方は1通り),Cだけが勝つ勝ち方も3通り(残りの人の出し方は1通り)
 勝者が1人になるのはこれら9通り

p= .927nn = .13n …(答)
[問題10]
 3人で1回だけジャンケンをするとき,あいこになる確率を求めなさい.

__________.nn

__________採点する やり直す

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