■(例題対比)確率の求め方 ![]() [例題1] 赤玉2個,白玉3個,青玉4個の計9個の玉が入っている袋から玉を1個取り出すとき,赤玉が出る確率を求めなさい. (答案) 玉の取り出し方は9通り どの玉の取り出し方も同様に確からしい 赤玉が出るのは2通り p= ![]() |
[問題1] 赤玉2個,白玉2個,青玉3個の計7個の玉が入っている袋から玉を1個取り出すとき,白玉が出る確率を求めなさい. 採点する やり直す 解説 全部で7個ある玉のうち白玉は2個ある.どの玉の出方も同様に確からしいから
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![]() 赤玉2個,白玉3個,青玉4個の計9個の玉が入っている袋から玉を1個取り出すとき,赤玉または白玉が出る確率を求めなさい. (答案) 玉の取り出し方は9通り どの玉の取り出し方も同様に確からしい 赤玉または白玉が出るのは5通り p= ![]() |
[問題2] 赤玉1個,白玉2個,青玉3個の計6個の玉が入っている袋から玉を1個取り出すとき,白玉または青玉が出る確率を求めなさい. 採点する やり直す 解説 全部で6個ある玉のうち白または青の玉は5個ある.どの玉の出方も同様に確からしいから |
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![]() 赤玉2個,青玉2個の計4個の玉が入っている袋から玉を同時に2個取り出すとき,赤玉と青玉が1個ずつ出る確率を求めなさい. (答案1) 赤玉を ①,②,青玉を ③,④ で表わすと 2個取り出す取り出し方は {①,②} , {①,③}, {①,④} {②,③}, {②,④} {③,④} の6通り そのうち赤玉と青玉が1個ずつ出るのは,黄色で示した4通り p= ![]() ![]() ※中学校の教科書では,「組合せ」という用語は表だって使われてはいませんが,この問題は「組合せ」の考え方をします.(手元の教科書で3社とも出ています.) 全体の場合の数を組合せで数えるときは,条件に合う場合の数も組合せで数えることが重要です.このときは, ![]() 右図の4角形で頂点を結ぶ線で1組の数を考えると,{①,②}を1つと数えたら,{②,①}は同じものになるので重複して数えないことが重要. 右図で1組の数を表わす線の数は6個で,そのうち赤青の組になっているのは黄色で示した4通りだから,上で示した答になる. 右に続く→ |
→続き (別の解説3)
(ア) 同時に2つの玉を取り出すのだから,まず,右図ピンク色で示した対角線上の組合せは同じもの①と①の組を表わし,このような出方はない. (イ) 次に,右図灰色で示した左下の組合せ(例えば②と①の組)は右上に同じ組合せ(①と②)があるから重複して数えないようにする. このようにして,(ア)の対角線上を除く右上の部分だけを数えればよい. 全部で6通りあり,そのうち赤青の組は4通りあるから p= ![]() ![]() [問題3] 赤玉2個,青玉2個の計4個の玉が入っている袋から玉を同時に2個取り出すとき,赤玉が2つ出る確率を求めなさい. 採点する やり直す 解説 全部で6個ある玉のうち赤玉を①②,青玉を①②で示すと,2個取り出す時の玉の出方は{①,②},{①,①},{①,②},{②,①},{②,②},{①,②}の6通り.どの組の出方も同様に確からしいから |
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【さいころの確率】 ※上の「組合せ」問題と異なり,2つのさいころを投げる問題では,2つのさいころには必ず区別があり,例えば1-1と同じ目が出ることもあり,また1-2と出ることと2-1と出ることは別の事柄として数える. [例題4] 2つのさいころを同時に投げるとき,出る目の数の和が8になる確率を求めなさい.
(※ 2つのさいころを投げるときの目の数の出方を考えるときは,右のような表を作るとよい.) 目の数の出方は36通り(どの出方も同様に確からしい) そのうち目の和が8になるのは5通り p= ![]() |
[問題4] 2つのさいころを同時に投げるとき,出る目の数の和が7になる確率を求めなさい. 採点する やり直す 解説 例題4の表を作ると,全部で36通りの出方のうち,出る目の和が7となるのは6通りあるから |
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[例題5] 2つのさいころを同時に投げるとき,出る目の数の積が偶数になる確率を求めなさい.
(※ 2つのさいころを投げるときの目の数の出方を考えるときは,右のような表を作るとよい.) 目の数の出方は36通り(どの出方も同様に確からしい) そのうち目の積が偶数になるのは27通り p= ![]() ![]() |
[問題5] 2つのさいころを同時に投げるとき,出る目の数の積が10の倍数になる確率を求めなさい. 採点する やり直す 解説 例題5の表を作ると,全部で36通りの出方のうち,出る目の積が10となるのは2通り,20となるのは2通り,30となるのは2通り,合計6通りあるから |
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[例題6] 2つのさいころを同時に投げるとき,出る目の数の差が1になる確率を求めなさい.
(※ 目の数の差は,大きい方から小さい方を引いたものとする.) 目の数の出方は36通り(どの出方も同様に確からしい) そのうち目の差が1になるのは10通り p= ![]() ![]() |
[問題6] 2つのさいころを同時に投げるとき,出る目の数の差が2になる確率を求めなさい. 採点する やり直す 解説 例題6の表を作ると,全部で36通りの出方のうち,出る目の差が2となるのは8通りあるから |
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【硬貨の確率】 ※2枚の硬貨を投げる問題では,どんなに正確に作られた硬貨でも硬貨には必ず区別があり,例えば表-裏と出ることは,裏-表と出ることとは別の事柄として数える. [例題7] 2枚の硬貨を同時に投げるとき,2枚とも表が出る確率を求めなさい.
硬貨の表裏の出方は4通り(どの出方も同様に確からしい) そのうち2枚とも表になるのは1通り p= ![]() |
[問題7] 2枚の硬貨を同時に投げるとき,1枚は表でもう1枚は裏が出る確率を求めなさい. 採点する やり直す 解説 例題7の表を作ると,全部で4通りの出方のうち,1枚は表でもう1枚は裏が出る出方は2通りあるから |
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[例題8] 3枚の硬貨を同時に投げるとき,2枚以上表が出る確率を求めなさい.
3枚の硬貨の表裏の出方は8通り(どの出方も同様に確からしい) そのうち2枚以上表が出るのは4通り p= ![]() ![]() |
[問題8] 3枚の硬貨を同時に投げるとき,ちょうど1枚だけ裏が出る確率を求めなさい. 採点する やり直す 解説 例題8の表を作ると,全部で8通りの出方のうち,ちょうど1枚だけ裏が出る出方は3通りあるから |
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【少なくとも1つは … の確率】 [例題9] 1つのさいころを2回投げるとき,少なくとも1回は3以上の目が出る確率を求めなさい.
(少なくとも1つは … )と表現されているとき,場合分けを簡単にするために,条件を満たさない場合を全体から引くとよい. すなわち,(少なくとも1つは … )=(全体)-(2つとも … でない) 目の出方は全部で36通り(どの出方も同様に確からしい) そのうち両方とも2以下となるのは右図×印の4通り 条件に合うのは 36 - 4=32通り p= ![]() ![]() |
[問題9] 1つのさいころを2回投げるとき,少なくとも1回は1の目が出る確率を求めなさい. 採点する やり直す 解説 例題9のように表を作ると右図のようになり,全部で36通りの出方のうち少なくとも1回は1の目が出るのは11通りあるから
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[例題10] 3人でジャンケンを1回するとき,勝者が1人に決まる確率を求めなさい. (答案) 手の出し方は全部で3×3×3=27通り(どの出し方も同様に確からしい) そのうち勝者が1人に決まるのは9通り p= ![]() ![]() (別解) Aだけが勝つ勝ち方は3通り(残りの人の出し方は1通り),Bだけが勝つ勝ち方も3通り(残りの人の出し方は1通り),Cだけが勝つ勝ち方も3通り(残りの人の出し方は1通り) 勝者が1人になるのはこれら9通り p= ![]() ![]() |
[問題10] 3人で1回だけジャンケンをするとき,あいこになる確率を求めなさい. 採点する やり直す 解説 例題10のように表を作ると右図のようになり全部で27通りのての出し方のうち「3人とも同じ手になってアイコになるのが3通り」「3人とも違う手を出してアイコになるのが6通り」,結局アイコになるのは合計9通りあるから
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