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■（例題対比）確率の求め方

【赤玉白玉（くじ引き）の確率】
［例題１］
　赤玉2個，白玉3個，青玉4個の計9個の玉が入っている袋から玉を１個取り出すとき，赤玉が出る確率を求めなさい．
（答案）
　玉の取り出し方は9通り
　どの玉の取り出し方も同様に確からしい
　赤玉が出るのは2通り
p= .29n …（答）
［問題１］
　赤玉2個，白玉2個，青玉3個の計7個の玉が入っている袋から玉を１個取り出すとき，白玉が出る確率を求めなさい．

__________.nn

__________採点する やり直す
［例題２］
　赤玉2個，白玉3個，青玉4個の計9個の玉が入っている袋から玉を１個取り出すとき，赤玉または白玉が出る確率を求めなさい．
（答案）
　玉の取り出し方は9通り
　どの玉の取り出し方も同様に確からしい
　赤玉または白玉が出るのは5通り
p= .59n …（答）
 ［問題２］
　赤玉1個，白玉2個，青玉3個の計6個の玉が入っている袋から玉を１個取り出すとき，白玉または青玉が出る確率を求めなさい．

__________.nn

__________採点する やり直す
［例題３］　【要注意】
　赤玉2個，青玉2個の計4個の玉が入っている袋から玉を同時に２個取り出すとき，赤玉と青玉が１個ずつ出る確率を求めなさい．
（答案１）
　赤玉を ①,②，青玉を ③,④ で表わすと
　２個取り出す取り出し方は
__________{①,②} , {①,③}, {①,④}
__________{②,③}, {②,④}
__________{③,④}
の6通り
そのうち赤玉と青玉が１個ずつ出るのは，黄色で示した4通り
p= .46n = .23n …（答）

※中学校の教科書では，「組合せ」という用語は表だって使われてはいませんが，この問題は「組合せ」の考え方をします．（手元の教科書で３社とも出ています．）
　全体の場合の数を組合せで数えるときは，条件に合う場合の数も組合せで数えることが重要です．このときは，
　
（確率）=組合せ組合せ
になります．
（別の解説２）
　右図の４角形で頂点を結ぶ線で１組の数を考えると，{①,②}を１つと数えたら，{②,①}は同じものになるので重複して数えないことが重要．
　右図で１組の数を表わす線の数は6個で，そのうち赤青の組になっているのは黄色で示した4通りだから，上で示した答になる． 右に続く→
→続き
（別の解説３）
　 ① ② ③ ④
① × ○ ○ ○
② × × ○ ○
③ × × × ○
④ × × × ×
　玉の「組合せ」を重複して数えないようにするためには，右のような表を作って数えるとよい．
（ア）
　同時に２つの玉を取り出すのだから，まず，右図ピンク色で示した対角線上の組合せは同じもの①と①の組を表わし，このような出方はない．
（イ）
　次に，右図灰色で示した左下の組合せ（例えば②と①の組）は右上に同じ組合せ（①と②）があるから重複して数えないようにする．
　このようにして，（ア）の対角線上を除く右上の部分だけを数えればよい．
　全部で6通りあり，そのうち赤青の組は4通りあるから
p= .46n = .23n …（答）


［問題３］
　赤玉2個，青玉2個の計4個の玉が入っている袋から玉を同時に２個取り出すとき，赤玉が２つ出る確率を求めなさい．

__________.nn

__________採点する やり直す
【さいころの確率】　※上の「組合せ」問題と異なり，２つのさいころを投げる問題では，２つのさいころには必ず区別があり，例えば1-1と同じ目が出ることもあり，また1-2と出ることと2-1と出ることは別の事柄として数える．
［例題４］
　２つのさいころを同時に投げるとき，出る目の数の和が8になる確率を求めなさい．
和 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
（答案）
　（※　２つのさいころを投げるときの目の数の出方を考えるときは，右のような表を作るとよい．）
　目の数の出方は36通り（どの出方も同様に確からしい）
　そのうち目の和が8になるのは5通り

p= .536nn …（答）
 ［問題４］
　２つのさいころを同時に投げるとき，出る目の数の和が7になる確率を求めなさい．

__________.nn

__________採点する やり直す
［例題５］
　２つのさいころを同時に投げるとき，出る目の数の積が偶数になる確率を求めなさい．
積 1 2 3 4 5 6
1 1 2 3 4 5 6
2 2 4 6 8 10 12
3 3 6 9 12 15 18
4 4 8 12 16 20 24
5 5 10 15 20 25 30
6 6 12 18 24 30 36
（答案）
　（※　２つのさいころを投げるときの目の数の出方を考えるときは，右のような表を作るとよい．）
　目の数の出方は36通り（どの出方も同様に確からしい）
　そのうち目の積が偶数になるのは27通り

p= .2736nn = .34n …（答）
 ［問題５］
　２つのさいころを同時に投げるとき，出る目の数の積が10の倍数になる確率を求めなさい．

__________.nn

__________採点する やり直す
［例題６］
　２つのさいころを同時に投げるとき，出る目の数の差が1になる確率を求めなさい．
差 1 2 3 4 5 6
1 0 1 2 3 4 5
2 1 0 1 2 3 4
3 2 1 0 1 2 3
4 3 2 1 0 1 2
5 4 3 2 1 0 1
6 5 4 3 2 1 0
（答案）
　（※　目の数の差は，大きい方から小さい方を引いたものとする．）
　目の数の出方は36通り（どの出方も同様に確からしい）
　そのうち目の差が1になるのは10通り
p= .1036nn = .518nn …（答）
 ［問題６］
　２つのさいころを同時に投げるとき，出る目の数の差が2になる確率を求めなさい．

__________.nn

__________採点する やり直す
【硬貨の確率】　※２枚の硬貨を投げる問題では，どんなに正確に作られた硬貨でも硬貨には必ず区別があり，例えば表-裏と出ることは，裏-表と出ることとは別の事柄として数える．
［例題７］
　２枚の硬貨を同時に投げるとき，２枚とも表が出る確率を求めなさい．
硬貨A 硬貨B
表 表
表 裏
裏 表
裏 裏
（答案）
　硬貨の表裏の出方は4通り（どの出方も同様に確からしい）
　そのうち２枚とも表になるのは1通り
p= .14n …（答）

 ［問題７］
　２枚の硬貨を同時に投げるとき，１枚は表でもう１枚は裏が出る確率を求めなさい．

__________.nn

__________採点する やり直す
［例題８］
　３枚の硬貨を同時に投げるとき，２枚以上表が出る確率を求めなさい．
硬貨A 硬貨B 硬貨C
表 表 表
表 表 裏
表 裏 表
表 裏 裏
裏 表 表
裏 表 裏
裏 裏 表
裏 裏 裏
（答案）
　３枚の硬貨の表裏の出方は8通り（どの出方も同様に確からしい）
　そのうち２枚以上表が出るのは4通り

p= .48n = .12n …（答）
 ［問題８］
　３枚の硬貨を同時に投げるとき，ちょうど１枚だけ裏が出る確率を求めなさい．

__________.nn

__________採点する やり直す
【少なくとも１つは … の確率】
［例題９］
　１つのさいころを２回投げるとき，少なくとも１回は３以上の目が出る確率を求めなさい．
　 1 2 3 4 5 6
1 × × ○ ○ ○ ○
2 × × ○ ○ ○ ○
3 ○ ○ ○ ○ ○ ○
4 ○ ○ ○ ○ ○ ○
5 ○ ○ ○ ○ ○ ○
6 ○ ○ ○ ○ ○ ○
（答案）
　（少なくとも１つは … ）と表現されているとき，場合分けを簡単にするために，条件を満たさない場合を全体から引くとよい．
　すなわち，（少なくとも１つは … ）=（全体）-（２つとも … でない）
　目の出方は全部で36通り（どの出方も同様に確からしい）
　そのうち両方とも2以下となるのは右図×印の4通り
　条件に合うのは 36 - 4=32通り

p= .3236nn = .89n …（答）
 ［問題９］
　1つのさいころを２回投げるとき，少なくとも１回は１の目が出る確率を求めなさい．

__________.nn

__________採点する やり直す
A B C 勝者
ぐ ぐ ぐ 0
ぐ ぐ ち 2
ぐ ぐ ぱ 1
ぐ ち ぐ 2
ぐ ち ち 1
ぐ ち ぱ 0
ぐ ぱ ぐ 1
ぐ ぱ ち 0
ぐ ぱ ぱ 2
ち ぐ ぐ 2
ち ぐ ち 1
ち ぐ ぱ 0
ち ち ぐ 1
ち ち ち 0
ち ち ぱ 2
ち ぱ ぐ 0
ち ぱ ち 2
ち ぱ ぱ 1
ぱ ぐ ぐ 1
ぱ ぐ ち 0
ぱ ぐ ぱ 2
ぱ ち ぐ 0
ぱ ち ち 2
ぱ ち ぱ 1
ぱ ぱ ぐ 2
ぱ ぱ ち 1
ぱ ぱ ぱ 0
【じゃんけんの確率】
［例題10］
　３人でジャンケンを１回するとき，勝者が１人に決まる確率を求めなさい．
（答案）
　手の出し方は全部で3×3×3=27通り（どの出し方も同様に確からしい）
　そのうち勝者が1人に決まるのは9通り

p= .927nn = .13n …（答）
（別解）
　Ａだけが勝つ勝ち方は3通り（残りの人の出し方は１通り），Ｂだけが勝つ勝ち方も3通り（残りの人の出し方は１通り），Ｃだけが勝つ勝ち方も3通り（残りの人の出し方は１通り）
　勝者が1人になるのはこれら9通り

p= .927nn = .13n …（答）
 ［問題10］
　３人で１回だけジャンケンをするとき，あいこになる確率を求めなさい．

__________.nn

__________採点する やり直す
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