「かつ」「または」の確率

*** 学年 ***
中学１年中学２年中学３年
*** 単元 ***
式の計算連立方程式１次関数平行線と角円周角の定理確率

※中学２年生向け「確率」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　が現在地です．

↓確率の求め方
↓「かつ」「または」の確率 -現在地
確率の入試問題

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== 「かつ」「または」の確率 == ○　この頁では，「かつ」「または」「少なくとも１つ」という用語で表わされる確率を求める練習をします．

【例1】・・・「ＡかつＢ」「ＡもＢも」「両方とも」

　２つのさいころを同時に投げるとき，両方とも偶数の目が出る確率を求めなさい．

（答案）
　目の出方は全部で N=36通り．
　そのうち，両方とも偶数となるのは，次の図のようにn=9通り．

A＼B	1	2	3	4	5	6
1	×	×	×	×	×	×
2	×	○	×	○	×	○
3	×	×	×	×	×	×
4	×	○	×	○	×	○
5	×	×	×	×	×	×
6	×	○	×	○	×	○

　求める確率は p= .

nNn = .

936nn = .

14n

【例2】・・・「ＡまたはＢ」「少なくとも１つが」

　２つの10円硬貨を同時に投げるとき，少なくとも１つは表が出る確率を求めなさい．

［重要］
　数学用語で「ＡまたはＢが表」という場合，次の表で示すように「Ａが表でＢが裏」「Ａが裏でＢが表」の場合だけでなく「ＡもＢも表」の場合も含まれます．だめなのは「ＡもＢも裏」の場合だけです．

A＼B	表	裏
表	○	○
裏	○	×

　「ＡまたはＢが表」と同じ意味の言葉として「ＡＢの少なくとも一方が表」と言う言い方もあります．

※　日常用語で「または」というときは，「どちらか一方だけ」という意味に使われることが多く，数学用語の「または」と違う意味になります．
例　「コーヒーまたは紅茶が無料でもらえる」というとき
　日常用語　→　どちらか一方だけが無料でもらえる．
　数学用語　→　一方だけでも，両方でも無料でもらえる．
例　「○○県南部または北部に暴風警報が出たら休校」というとき
　日常用語　→　南部も北部も両方（県全部）に出たときは決まっていないと考える人もある．
　数学用語　→　南部も北部も両方（県全部）に出たときは休校

（答案）
「ＡまたはＢが表」「ＡＢの少なくとも１つが表」となるのは，上の表のように３つの場合があって（この問題では簡単であるが）一般に計算が複雑になることが多い．このような場合は，（全体=確率１）から（両方とも裏となる確率）を引くと求められる．

　求める確率は p=1 - .

14n = .

34n

⇒【重要】
少なくとも１つが～である確率＝１－（両方とも～でない確率）

（全体の場合の数）－（両方とも～でない場合の数）　を計算してから，あとで確率に直してもよい．

【例3】

　２つのさいころを同時に投げるとき，出た目の積が偶数となる確率を求めなさい．

　偶数×偶数＝偶数，偶数×奇数＝偶数，
　奇数×偶数＝偶数，奇数×奇数＝奇数
となることに注意すると，「目の積が偶数」となるのは「少なくとも一方が偶数」の場合で，だめなのは「両方とも奇数」の場合だけです．
（答案）

A＼B	1	2	3	4	5	6
1	×	○	×	○	×	○
2	○	○	○	○	○	○
3	×	○	×	○	×	○
4	○	○	○	○	○	○
5	×	○	×	○	×	○
6	○	○	○	○	○	○

　目の出方は全部で N=36通り．
　そのうち，目の積が奇数となるのはm=9通り．

　その確率は .

mNn = .

936nn = .

14n

　目の積が偶数となる確率は　p=1 - .

14n = .

34n

※　次のように「全体の場合の数 N」から「目の積が奇数になる場合の数」を引いてから，あとで確率の計算にしてもよい．（たぶん，中学生にはこちらの方が分かりやすい．）

　目の出方は全部で N=36通り．
　そのうち，目の積が奇数となるのは9通りだから，目の積が偶数となるのはn=36-9=27通り．

　求める確率は　p = .

nNn = .

2736nn = .

34n

※以下の問題では，正しい選択肢をクリックしてください．

【問1】　Ａ，Ｂ２つのさいころを同時に投げるとき，両方とも奇数の目が出る確率を求めなさい．（正しいものを選びなさい．）　

56n

..

512nn

.

(1)　両方とも奇数となるのは次の表の○印

Ａ＼Ｂ	1	2	3	4	5	6
1	○	×	○	×	○	×
2	×	×	×	×	×	×
3	○	×	○	×	○	×
4	×	×	×	×	×	×
5	○	×	○	×	○	×
6	×	×	×	×	×	×

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【問2】　Ａ，Ｂ２つのさいころを同時に投げるとき，少なくとも一方は奇数の目が出る確率を求めなさい．（正しいものを選びなさい．）　

56n

.

512nn

.

(2)　少なくとも一方が奇数となるのは次の表の○印

Ａ＼Ｂ	1	2	3	4	5	6
1	○	○	○	○	○	○
2	○	×	○	×	○	×
3	○	○	○	○	○	○
4	○	×	○	×	○	×
5	○	○	○	○	○	○
6	○	×	○	×	○	×

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【問3】　Ａ，Ｂ２つのさいころを同時に投げるとき，出た目の和が偶数となる確率を求めなさい．（正しいものを選びなさい．）　

56n

.

512nn

.

(3)　目の和が偶数となるのは，「偶数+偶数」の場合と「奇数+奇数」の場合がある．次の表の○印

Ａ＼Ｂ	1	2	3	4	5	6
1	○	×	○	×	○	×
2	×	○	×	○	×	○
3	○	×	○	×	○	×
4	×	○	×	○	×	○
5	○	×	○	×	○	×
6	×	○	×	○	×	○

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【問4】　Ａ，Ｂ２つのさいころを同時に投げるとき，少なくとも１つは５以上の目が出る確率を求めなさい．（正しいものを選びなさい．）　

56n

.

512nn

.

(4)　Ａが５以上またはＢが５以上（両方とも５以上でもよい）となるのは，次の表の○印

Ａ＼Ｂ	1	2	3	4	5	6
1	×	×	×	×	○	○
2	×	×	×	×	○	○
3	×	×	×	×	○	○
4	×	×	×	×	○	○
5	○	○	○	○	○	○
6	○	○	○	○	○	○

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【問5】　Ａ，Ｂ２つのさいころを同時に投げるとき，出た目がどちらも３で割り切れる確率を求めなさい．（正しいものを選びなさい．）　

56n

.

512nn

.

(5)　３で割り切れるのは３と６．次の表の○印

Ａ＼Ｂ	1	2	3	4	5	6
1	×	×	×	×	×	×
2	×	×	×	×	×	×
3	×	×	○	×	×	○
4	×	×	×	×	×	×
5	×	×	×	×	×	×
6	×	×	○	×	×	○

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【問6】　Ａ，Ｂ２つのさいころを同時に投げるとき，出た目の積が３で割り切れる確率を求めなさい．（正しいものを選びなさい．）　

56n

.

512nn

.

(6)　どちらか一方でも３で割り切れると目の積が３で割り切れる．次の表の○印

Ａ＼Ｂ	1	2	3	4	5	6
1	×	×	○	×	×	○
2	×	×	○	×	×	○
3	○	○	○	○	○	○
4	×	×	○	×	×	○
5	×	×	○	×	×	○
6	○	○	○	○	○	○

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