【例題１】右の図のように，円Oの周上に点A, B, Cがある。 このとき，∠xの大きさを求めなさい。 （富山県2015年入試問題）
（解答）△OCAは，二等辺三角形だから２つの底角は等しい．（右図の緑で示した角x） 同様にして，△OABも二等辺三角形だから２つの底角は等しい．（右図の黄色で示した角37°） 次に，円周角は中心角の半分だから ∠ ∠x=18°…（答）
【要点】
一般に，高校入試問題では「円周角の定理」を覚えているだけでは，問題は解けません．この問題では，次の２つの定理を組み合わせて解いています．
(1) 二等辺三角形の２つの底角は等しい．(2) 円周角は中心角の半分になる．
特に，(1)を使って元の角xの代わりに，他の角∠BACで計算する方法が使えるようにしましょう．
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【問題１】
(1)右の図において，点A, B, Cは円周上の点である。∠xの大きさを求めなさい。 （栃木県2015年入試問題）
右図において，緑で示した２つの角は，二等辺三角形の底角だから等しい∠OAC=31° 黄色で示した２つの角も，二等辺三角形の底角だから等しい ∠OAB=17° 円周角は中心角の半分（中心角は円周角の２倍）だから ∠x=2×(31°+17°)=96°…（答） |
(2)右の図において，３点A, B, Cは円Oの周上の点である。∠ABO=25°, ∠BOC=134°のとき，∠xの大きさを求めなさい。 （秋田県2017年入試問題）
右図において，緑で示した２つの角は，二等辺三角形の底角だから等しい∠OAC=∠x 黄色で示した２つの角も，二等辺三角形の底角だから等しい ∠OAB=25° 円周角は中心角の半分（中心角は円周角の２倍）だから ∠x+25=67° ∠x=42°…（答） |
【例題２】右の図のような円があり，異なる３点A, B, Cは円周上の点である。線分AC上に，２点A, Cと異なる点Dをとる。また，２点B, Dを通る直線と円との交点のうち，点Bと異なる点をEとする。 ∠ABE=35°, ∠CDE=80°であるとき，∠BECの大きさは何度か。 （香川県2017年入試問題）
（解答）∠ABEと∠ACEは，一つの弧 次に，三角形の内角の和は180°だから 80°+35°+∠DEC=180° ∠DEC=65°…（答）
【要点】
一般に，高校入試問題では「円周角の定理」を覚えているだけでは，問題は解けません．この問題では，次の２つの定理を組み合わせて解いています．
(1) 一つの弧に対する円周角は等しい．(2) 三角形の内角の和は180°になる． |
【問題２】
(1)右の図のように，円周上に４点A, B, C, Dがあり，線分ACと線分BDの交点をEとします。∠ACD=35°, ∠AEB=95°のとき，∠BACの大きさは何度ですか。 （広島県2017年入試問題）
右図において，緑で示した２つの角は，一つの弧次に，三角形の内角の和は180°だから ∠BAC+35°+95°=180° ∠BAC=50°…（答） |
(1)右の図において，４点A, B, C, Dは円Oの周上にあり，線分AC, BDの交点をEとする。∠BEC=110°, ∠ACD=60°のとき，∠BACの大きさを求めなさい。 （山梨県2017年入試問題）
右図において，緑で示した２つの角は，一つの弧また，∠AEBは∠BECの補角だから ∠AEB=180°−110°=70° 次に，三角形の内角の和は180°だから ∠BAC+60°+70°=180° ∠BAC=50°…（答） |
【例題３】右の図Ⅰにおいて，ACが円Oの直径であるとき，∠xの大きさを求めなさい。 （鳥取県2015年入試問題）
（解答）右図のように線分CEをひくと∠CDBと∠CEBは，１つの弧
この問題では，線分ADをひいて，∠CDA=90°を利用してもよい
次に，∠CEAは，直径に対する円周角だから90°∠x+36°=90° ∠x=54°…（答）
【要点】
直径という条件の使い方：「円周角が90°になる」 |
【問題３】
(1)右の図Ⅰのような円において，∠ABCの大きさを求めよ。 （長崎県2015年入試問題）
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(2)図Ⅰのように，円Oの周上に３点A, B, Cがあり，BCは直径である。∠xの大きさは何度か，求めなさい。 （兵庫県2015年入試問題）
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(3)右の図のように，円Oの円周上に３つの点A, B, Cがあり，∠BOC=74°であるとき，∠xの大きさを答えなさい。 （新潟県2015年入試問題）
∠COAは，中心角∠COBに対応する円周角だから，その半分になる．
∠COA=37° △OABはOA=OBの二等辺三角形だから ∠x=∠COA=37°…（答） ※この問題は，直径の円周角が90°ということを使わなくても解けます． |
(4)右の図は，線分ABを直径とする半円で，２点C, Dは ∠BAE=37°, ∠AED=108°のとき，∠BFEの大きさを求めなさい。 （熊本県2015年入試問題）
円周角が90°という図を書けば，ABが直径という条件が使えます．
FからCDに平行な線を引けば，CD//ABという条件が使えます． 
（解答）
右図のように線分BEを引くと，∠AEBは直径ABに対応する円周角だから90°．したがって， ∠BED=18° 円周角は等しいから ∠BCD=18° 平行線の同位角は等しいから ∠BFG=18° また，平行線の同位角は等しいから ∠GFE=∠BAE=37° 以上から ∠BFE=37°+18°=55°…（答） |
(5)右の図において，線分ABは円Oの直径であり，２点C, Dは円Oの周上の点である。 このとき，∠ABCの大きさを求めなさい。 （神奈川県2015年入試問題）
円周角が90°という図を書けば，ABが直径という条件が使えます．
（解答）∠ACBは直径ABに対応する円周角だから90°． したがって， ∠BCD=25° 円周角は等しいから ∠BAD=25° 二等辺三角形の２つの底角は等しいから ∠ADO=25° 求める角度∠ABCは，円周角∠ADCに等しいから ∠ABC=25°+28°=53°…（答） |
(6)右の図のように，円Oの円周上に４点A, B, C, Dがあり，線分BDは円Oの直径です。 AC=AD, ∠AOB=66°のとき，∠BDCの大きさxを求めなさい。 （埼玉県2015年入試問題）
円周角が90°という図を書けば，BDが直径という条件が使えます．
（解答）∠ADOは中心角∠AOBに対応する円周角だから33° △ABDは直角三角形だから ∠ABD=90°−33°=57° 円周角は等しいから ∠ABD=∠ACD=57° 二等辺三角形の２つの底角は等しいから ∠ACD=∠CDA=57° ∠x=57°−33°=24°…（答） ※∠BCD=90°を使って解くこともできます． |
(7)右の図は，線分ABを直径とする半円で，点Cは， ∠BAD=28°であるとき，∠DCEの大きさを求めなさい。 （熊本県2017年入試問題）
（解答）∠ACBは直径に対応する円周角だから90° したがって ∠ABC=90°−28°=62° 次に，DC=BCだから，△DBCは直角二等辺三角形になり ∠CBD=45° ∠ABD=62°−45°=17° 弧 ∠DCE=17°…（答） |
(8)右の図のように，円Oの円周上に５つの点A, B, C, D, Eがあり，線分ACとBDは円の中心Oで交わっている。∠AED=134°であるとき，∠xの大きさを答えなさい。 （新潟県2017年入試問題）
（解答）∠AEDと∠ACDとは円に内接する四角形の向かい合う角だからそれらの和は180° ∠ACD=180°−134°=46° ∠BCDは直径に対応する円周角だから90° ∠x=90°−46°=44°…（答） （別解） ∠BEDは直径に対応する円周角だから90° ∠AEB=134°−90°=44° 同一の弧 ∠ACB=∠AEB=44°…（答） ※この問題を解く上で，BDが直径であることは重要であるが，ACが直径であることは使わなくても解ける． |
【問題４】
(1)右の図Ⅰにおいて，∠xの大きさを求めなさい。ただし，PA, PBは円Oの接線で，点A, Bはその接点である。また，点Cは円Oの周上の点である。 （鳥取県2017年入試問題）
∠AOBは∠ACBに対する中心角だから∠AOB=140° OA⊥AP, OB⊥BPであり，四角形の内角の和が360°になることから 140°+90°+90°+∠x=360° ∠x=40°…（答） |
(2)右の図のように，円周上に４点A, B, C, Dがあるとき，x=°である。 （岡山県2015年入試問題）
対頂角は等しいから∠DEC=80° 円周角は等しいから ∠ECB=∠x このxを用いて，四角形DECFの内角の和を求めると 80°+180°−∠x+180°−∠x+32°=360° 2∠x=112° ∠x=56°…（答） |
(3)図1のような円Oにおいて，線分ABは円Oの直径である。円Oの周上の点Cを通る接線と直線ABとの交点をDとする。∠ABC=25°のとき，∠BDCの大きさを求めよ。 （長崎県2017年入試問題）
半径OCは接線CDと垂直∠OCD=90° △OBCは二等辺三角形だから ∠BCO=25° △OBCの２つの内角の和は，１つの外角に等しいから ∠AOC=25°+25°=50° △OCDの内角の和は180°だから ∠BDC=40°…（答） |
【問題５】
(1)右の図で，∠a+∠b+∠c+∠d+∠eの大きさを求めなさい。 |
右図のように，円周角が等しいことを使って，緑色，黄色の角度|
(2)
右の図で，∠a+∠b+∠c+∠d+∠e+∠f+∠gの大きさを求めなさい。  （山梨県2015年入試問題）
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右図のように，円周角が等しいことを使って，緑色，黄色，水色，桃色の角度
(3)右の図のように，円に内接する五角形ABCDEがある。∠BAC=50°, ∠ACB=37°, AB=CDのとき，∠AEDの大きさを求めなさい。 （新潟県2000年入試問題）
まず，AB=CDから，弦の長さが等しいとき円周角は等しくなるから∠CAD=37° 次に，緑色，黄色，桃色の角度はそれぞれ円周角として等しい ∠BAC=∠BEC, ∠ACB=∠AEB, ∠CAD=∠CED, したがって ∠AED=37°+37°+50°=124°…（答） |
(4)図２で，円周上の12点は円周を12等分している。∠xの大きさを求めよ。 （奈良県2000年入試問題）
∠x自体は円周角ではないので，直接は求められませんが，三角形の残りの角が円周角として求まると，∠xを間接的に求めることができます．例えば，右図の１つの三角形△PGJにおいて，円周角∠LGJに対応する中心角∠LOJ=60°だから ∠LGJ=30° また，円周角∠BJGに対応する中心角∠BOG=150°だから ∠BJG=75° 次に，三角形△PGJの内角の和は180°だから ∠x+30°+75°=180° したがって ∠x=75°…（答） |
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※参考･･･角度を表す記号の書き方 中学校数学の教科書10冊を見て，角度を表す記号がどのように使われているか調べた． 1. まず，角度を表す定数は，図の中でも，文章や式の中でも，30°などと書き，∠30°，30などと書かれることはない．これについては，すべての教科書で一致している． 2. 次に，角度を表す未知数xの書き方は，次のように分かれる．
①「図の中ではxと書き，文章や式の中では「角x」または「∠x」などと書くもの
（同一の出版社が複数の教科書を出している場合，添え字で区別）
K社1，K社2，K社3，T社1，T社2，O社の6社
② (A)「図の中ではxと書き，文章や式の中では「角x」または「∠x」などと書く方法と
(B)「図の中ではx°と書き，文章や式の中では「角x」または「x」などと書く方法 を併用しているもの
（同一の出版社が複数の教科書を出している場合，添え字で区別）
T社，G社，S社，D社の４社
③ 高校では「図の中ではxと書き，文章や式の中でもxなどと書くことが多い．１年後にこうなるので，違いの正誤をあまり頑張っても，得られることが少ない．（∠ABCなどは，∠の記号を使う．）
以上の集計から，①の「図の中ではxと書き，文章や式の中では「角x」または「∠x」などと書くのが多数派のようなので，この教材でもそれにそろえた．ただし，2015年埼玉県，岡山県の入試問題は，著作権が当該教育委員会にあり，当教材は公開されている出版物の引用という立場なので，問題を改変することはできない．解説・解答のみ書き換えることができる．
例えば正弦定理は，例外なく次のように書き，「sin∠A」などはめったに書かない．
中高一貫の場合，中高で重複しやすい内容は１回で教えるから，高校と同じく，図の中でも，式の中でも単にxと書く場合が多いと想像できる．
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