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※中学２年生向け「円周角の定理，接弦定理」について，このサイトには次の教材があります． この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください． が現在地です．  ...（携帯版）メニューに戻る...(ＰＣ版)メニューに戻る |
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【円周角の定理】一つの弧に対する「円周角」の大きさは，「中心角」の半分になります． 
（証明）１ 右のようにＡＣが中心を通るとき OC=OB=（半径）だから△ＯＢＣは二等辺三角形になる． 二等辺三角形の２つの底角は等しいから∠B=∠C…(1) 「三角形の外角は，それと隣り合わない２つの内角の和に等しい」（重要定理）から， △OBCにおいて∠BOCの外角∠BOAは残り２つの角の和∠B+∠Cに等しいから ∠BOA=∠B+∠C…(2) ⇒ (1)(2)より∠BOA=2×∠C
すなわち「中心角は円周角の２倍になる」
「円周角は中心角の半分になる」 
２ 右図のように∠ACBの中に円の中心があるときAO=CO(=半径)だから△AOCは二等辺三角形になり
∠ACO=∠CAO
∠AOD=∠ACO+∠CAO =2×∠ACO
同様にして
だから，両辺をそれぞれ足すと∠BOD=2×∠BCO ∠AOB=2×∠ACO+2×∠BCO =2×(∠ACO+∠BCO) =2×∠ACB
すなわち「中心角は円周角の２倍になる」
「円周角は中心角の半分になる」 
３ 右の図のように∠ACBの外に円の中心があるとき差で示します．
∠BOD=2×∠BCO
∠AOD=2×∠ACO だから，両辺をそれぞれ引くと ∠BOA=2×∠BCO−2×∠ACO =2×(∠BCO−∠ACO) =2×∠BCA
すなわち「中心角は円周角の２倍になる」
「円周角は中心角の半分になる」 【具体例】 
右図は上の証明で１の場合の例です中心角92°が書いてあって，円周角が書いてないときは，92°÷2=46°で円周角が求まります． 円周角46°が書いてあって，中心角が書いてないときは，46°×2=92°で中心角が求まります． 
右図は上の証明で２の場合の例ですこの場合も，中心角と円周角のいずれか一方が分かれば他方が求まります． 
右図は上の証明で３の場合の例ですこの場合にも円周角の定理が成り立ちます． 「中心角と円周角の対応」が，すぐに分かるように，目を慣らしておくことが大切です． 
◎右図のように中心角が180°のとき（中心を通る直線になるとき，すなわち直径になるとき）は特に重要です．○直径は180°という角度になるということをしっかりと覚えましょう． ○また 「直径の上に立つ円周角は直角になる」 は重要定理ですからすぐに使えるように覚えておきましょう． 
◎右図のように中心角が180°以上の場合に，「どこが中心角なのか」目の錯角で戸惑うことがありますので，幾つか見て慣れておくことが大切です． 
この場合でも，「中心角=2×円周角」は，同様にして証明できます．AO=CO(=半径)だから△AOCは二等辺三角形になり
∠ACO=∠CAO
同様にして，BO=CO(=半径)だから△BOCは二等辺三角形になり∠AOD=∠ACO+∠CAO =2×∠ACO
∠BCO=∠CBO
両辺をそれぞれ足すと∠BOD=∠BCO+∠CBO =2×∠BCO
∠BOA=2×∠BCA
ただし，∠BOAは図のように，優角（180°よりも大きい角）の方とする |
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