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【例２】
（解答）(a+b)x−2a−2bを因数分解してください． このままでは同じものがないように見えますが (a+b)x−2(a+b)と変形すると(a+b)が２回登場しますので，(a+b)=Aとおきます． Ax−2A 共通因数Aでくくります A(x−2) Aを元に戻すと (a+b)(x−2)…（答） |
見かけ上は共通因数がないように見えますが，少し変形すれば作ることができます．
3(x+2y)−a(x+2y)と変形します． (x+2y)をAとおくと 3A−aA 共通因数Aでくくります (3−a)A Aを元に戻すと (3−a)(x+2y)…（答） |
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引かれる式と引く式を入れ換えたものは，全く別のものではなくて符号が変わるだけであることに注意しましょう．
【重要】
そこで，a(x−y)−(x−y)と変形します．y−x=−(x−y) x−y=−(y−x) −a(x−y)+(y−x)でもよい (x−y)をAとおくと aA−A 共通因数Aでくくります (a−1)A
ax−xのような式をxでくくると−1が登場することに注意してください
Aを元に戻すとすなわちax−x=ax−1x=(a−1)xです． (a−1)(x−y)…（答） |
(a+b)をAとおくと
A2+A 共通因数Aでくくります A(A+1)
x2+xのような式をxでくくると+1が登場することに注意してください
Aを元に戻すとすなわちx2+x=x2+1x=x(x+1)です． (a+b)(a+b+1)…（答） |
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【例３】
（解答）(a+b)2−2(a+b)−8を因数分解してください． (a+b)が２回登場しますので，(a+b)=Aとおきます． A2−2A−8 Aの２次式として因数分解し，積が−8和が−2となる２つの数を探すと−4と2だから (A−4)(A+2) Aを元に戻すと (a+b−4)(a+b+2)…（答） |
(x−2y)が２回登場しますので，(x−2y)=Aとおきます．
A2+A−6 Aの２次式として因数分解し，積が−6和が1となる２つの数を探すと3と−2だから (A+3)(A−2) Aを元に戻すと (x−2y+3)(x−2y−2)…（答） |
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引き算の順序を入れ換えると符号が変わるから
(b−a)=−(a−b) 元の問題は (a−b)2−(a−b)−2になります そうすると(a−b)が２回登場しますので，(a−b)=Aとおきます． A2−A−2 Aの２次式として因数分解し，積が−2和が1となる２つの数を探すと1と−2だから (A+1)(A−2) Aを元に戻すと (a−b+1)(a−b−2)…（答） |
見かけ上は共通因数がないように見えますが，少し変形すれば作ることができます．
−8x−12y=−4(2x+3y) 元の問題は (2x+3y)2−4(2x+3y)+4になります そうすると(2x+3y)が２回登場しますので，(2x+3y)=Aとおきます． A2−4A+4 Aの２次式として因数分解し，積が−4和が4となる２つの数を探すと−2と−2（この因数分解は積と和から考えてもできますが，a2−2ab+b2=(a−b)2の公式で考えてもよい） (A−2)(A−2)=(A−2)2 Aを元に戻すと (2x+3y−2)2…（答） |
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因数分解といえるためには「一番大きな区切りが積の形」になっていなければなりません．
(x+y)(x+y−1)←これは因数分解と言える
そこで，元の問題は，そのままでは因数分解できているとは言えませんので，一度展開してから全体を因数分解します．(x+y)(x+y−1)−2←これは因数分解と言えない 他の例 a(x+y)←これは因数分解と言える a(x+y)+1←これは因数分解と言えない ただし，全くバラバラにしてしまうと見通しが効かなくなりますので，２回登場するx+yをAとおきます． A(A−1)−2=A2−A−2 Aの２次式として因数分解し，積が−2和が−1となる２つの数を探すと−2と1 (A−2)(A+1) Aを元に戻すと (x+y−2)(x+y+1)…（答） |
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【例４】
（解答）(a+b)2−(x+y)2を因数分解してください． (a+b)2=(a+b)(a+b)では(a+b)２回登場すると数えます．同様に，(x+y)2=(x+y)(x+y)では(x+y)２回登場すると数えます． そこで「文字を２つ使って」(a+b)=A, (x+y)=Bとおきます． A2−B2 ２乗－２乗の因数分解公式 a2−b2=(a+b)(a−b) が使えるから (A+B)(A−B) A, Bを元に戻すと ((a+b)+(x+y))((a+b)−(x+y)) =(a+b+x+y)(a+b−x−y)…（答） |
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引き算の順序を入れ換えると符号が変わるから
(y−x)=−(x−y) 元の問題は (a+b)(x−y)+(x−y)になります (x−y)は２回登場しますので，(x−y)=Aとおきます．(a+b)は１回しか登場しないので特に置き換えなくてもできます．（置き換えてもよい） (a+b)A+A 共通因数Aでくくると (a+b+1)A
ax+xのような式をxでくくると1が登場することに注意してください
Aを元に戻すとすなわちax+x=ax+1x=(a+1)xです． (a+b+1)(x−y)…（答）
(a+b), (x−y)が２回ずつ登場するので「文字を２つ使って」(a+b)=A, (x−y)=Bとおきます．
A(B+1)+A(B−2) 共通因数Aでくくると A(B+1+B−2)=A(2B−1) A, Bを元にすと (a+b)(2x−2y−1)…（答） |
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