== 3項間漸化式の一般項 ==

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の形の漸化式】

 定数係数の3項間漸化式が

の形で与えられているとき,
を満たす定数,を見つけると,数列は,
初項
公比
の等比数列になるので,
(I)まず2項間漸化式の一般項を求めることができます.
1組の定数,から得られる2項間漸化式から,さらに数列の一般項を求めることもできますが,通常の場合,次の(II)の手順で2組の定数,から得られる2項間漸化式から連立方程式を解く方が,手順としては簡単になります.
(II)
○上記の,が「2組求まる場合(2次方程式が異なる実数解を持つ場合)」は,その2組から元の数列の一般項を求めると簡単になります.
○上記の,が「1組の解しかない場合(2次方程式が重解を持つ場合)」は,やむを得ず,さらに2項間漸化式を解いて一般項を求めます.
(解説)
(初歩的な解説)
 3項間漸化式では,前の項と2つ前の項を使ってが定義されるので,初項だけでなく第2項も具体的な値として与えられていなければ数列を確定することはできません.
 したがって,3項間漸化式の問題では,漸化式以外に初項と第2項の値も使って問題を解きます.
 問題が
,
…(1)
であるとき,
…(2)
または
…(3)
のような変形に気付くと,各々数列,が等比数列となって,3項間漸化式の問題を2項間漸化式の問題に直すことができます.
(2) →
は公比の等比数列になるから
…(2’)
(3) →
は公比の等比数列になるから
…(3’)
(2’)(3’)を各々2項間漸化式として,さらに,元の数列の一般項を求めることもできますが,このように未知数2個に対する連立方程式が得られた場合は,これらの未知数について解くことができます.
この連立方程式はについて解いてもについても構いません.・・・について解けば直接的にの式が得られます.について解けば(他の普通の連立方程式とは違って)を代入した式が得られるので,元に戻す手順が1ステップ必要となります.
○(2’)(3’)をに対する連立方程式として解くと
(2’)−(3’)
…(答)
もちろん,についても解けますが,当然の結果が得られ,を求めるために1ステップが余計に必要になります.
(2’)×2−(3’)

…(答)
○(2’)または(3’)の1つだけを2項間漸化式として解く場合は
(2’)→
の階差数列が与えられていることになるから
のとき


これはの場合にも成り立つから
…(答)

(3’)→から求める場合は
は公比の等比数列であることを示しているから
…(答)