規則性を見つける

*** 学年 ***
中学１年中学２年中学３年
*** 単元 ***
正負の数文字と式方程式不等式座標
比例と反比例平面図形・空間図形 *ナンプレ

※中学１年生向け「文字と式」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　が現在地です．

↓文字を使った式(1)
↓同(2)
↓同(3)
↓同(4)
↓同(入試問題)

↓一次式の計算(1)
↓同(2)
↓同(3)
↓同(4)

↓規則性を見つける-現在地

↓文章題(1)
↓同(2)
↓図形
↓速さ･時間･距離(1)
↓速さ･時間(2)

↓関係を表す式(1)
↓同(2)
同(3)図形

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== 規則性を見つける ==

【例題】
　次の数字は，簡単な規則で並んでおり，第n番目の数がnの１次式で表されます．
3, 5, 7, 9, 11, ... (1) nの１次式は次のうちのどの式になりますか．

2n 2n+1 2n−1
3n 3n+1 3n+2

(2) 第10番目の数はいくらになりますか．

（解答）
(1) 次のような表を作ります．

n	1	2	3	4	5
?	3	5	7	9	11

　与えられた式の中でn=1のときに式の値が3となるのは，2n+1と3nですから，これらのどちらかが答えで，他の式は答えになりません．
　さらに，n=2のときに式の値が5となるのは2n+1だけです．
　（2n+1にn=1, 2, 3, 4, 5を順に代入すると3, 5, 7, 9, 11になることを確かめることができます．）
　以上により，2n+1が答です．

(2) (1)の結果から第n番目の数が2n+1という式で表されることがわかったので，nに10を代入すると，第10番目の数は
2×10+1=21 になります．

【問題１】
　次の数字は，簡単な規則で並んでおり，第n番目の数がnの１次式で表されます．
1, 3, 5, 7, 9, ... (1) nの１次式は次のうちのどの式になりますか．解説

2n 2n+1 2n−1
3n 3n+1 3n−2

(2) 第20番目の数は次のうちどの数になりますか．解説

19 20 21 39 40 41

(1) 次のような表を作ります．

n	1	2	3	4	5
?	1	3	5	7	9

　与えられた式の中でn=1のときに式の値が1となるのは，2n−1と3n−2ですから，これらのどちらかが答えで，他の式は答えになりません．
　さらに，n=2のときに式の値が3となるのは2n−1だけです．
　（2n−1にn=1, 2, 3, 4, 5を順に代入すると1, 3, 5, 7, 9になることを確かめることができます．）
　以上により，2n−1が答です．

(2) (1)の結果から第n番目の数が2n−1という式で表されることがわかったので，nに20を代入すると，第20番目の数は
2×20−1=39 になります．
1,3,5,7,9, 11,13,15,17,19, 21,23,25,27,29, 31,33,35,37,39のように全部書いていく方法も最後の切り札として考えられますが，この方法では第100番とか第200番のように大きな番号になったときに困りますので，なるべく「文字を使った式」と「式の値」で考えるのが数学的な考え方です．

【問題２】
　次の数字は，簡単な規則で並んでおり，第n番目の数がnの１次式で表されます．
1, 4, 7, 10, 13, ... (1) nの１次式は次のうちのどの式になりますか．解説

2n 2n+1 2n−1
3n 3n+1 3n−2

(2) 第15番目の数は次のうちどの数になりますか．解説

23 24 25 43 44 45

(1) 次のような表を作ります．

n	1	2	3	4	5
?	1	4	7	10	13

　与えられた式の中でn=1のときに式の値が1となるのは，2n−1と3n−2ですから，これらのどちらかが答えで，他の式は答えになりません．
　さらに，n=2のときに式の値が4となるのは3n−2だけです．
　（3n−2にn=1, 2, 3, 4, 5を順に代入すると1, 4, 7, 10, 13になることを確かめることができます．）
　以上により，3n−2が答です．

(2) (1)の結果から第n番目の数が3n−2という式で表されることがわかったので，nに15を代入すると，第20番目の数は
3×15−2=43 になります．

【問題３】
　次の数字は，簡単な規則で並んでおり，第n番目の数の分母は3ですが分子はnの１次式になります．（約分できる分数でも約分する前の形で書いています．）