規則性を見つける

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■規則性を見つける

【例題】
　次の数字は，簡単な規則で並んでおり，第n番目の数がnの１次式で表されます．
3, 5, 7, 9, 11, ... (1) nの１次式は次のうちのどの式になりますか．

2n 2n+1 2n−1
3n 3n+1 3n+2

(2) 第10番目の数はいくらになりますか．

（解答）
(1) 次のような表を作ります．

n	1	2	3	4	5
?	3	5	7	9	11

　与えられた式の中でn=1のときに式の値が3となるのは，2n+1と3nですから，これらのどちらかが答えで，他の式は答えになりません．
　さらに，n=2のときに式の値が5となるのは2n+1だけです．
　（2n+1にn=1, 2, 3, 4, 5を順に代入すると3, 5, 7, 9, 11になることを確かめることができます．）
　以上により，2n+1が答です．

（→続き）
(2) (1)の結果から第n番目の数が2n+1という式で表されることがわかったので，nに10を代入すると，第10番目の数は
2×10+1=21 になります．

【問題１】
　次の数字は，簡単な規則で並んでおり，第n番目の数がnの１次式で表されます．
1, 3, 5, 7, 9, ... (1) nの１次式は次のうちのどの式になりますか．解説

2n 2n+1 2n−1
3n 3n+1 3n−2

(2) 第20番目の数は次のうちどの数になりますか．解説

19 20 21 39 40 41

(1) 次のような表を作ります．

n	1	2	3	4	5
?	1	3	5	7	9

　与えられた式の中でn=1のときに式の値が1となるのは，2n−1と3n−2ですから，これらのどちらかが答えで，他の式は答えになりません．
　さらに，n=2のときに式の値が3となるのは2n−1だけです．
　（2n−1にn=1, 2, 3, 4, 5を順に代入すると1, 3, 5, 7, 9になることを確かめることができます．）
　以上により，2n−1が答です．

(2) (1)の結果から第n番目の数が2n−1という式で表されることがわかったので，nに20を代入すると，第20番目の数は
2×20−1=39 になります．
1,3,5,7,9, 11,13,15,17,19, 21,23,25,27,29, 31,33,35,37,39のように全部書いていく方法も最後の切り札として考えられますが，この方法では第100番とか第200番のように大きな番号になったときに困りますので，なるべく「文字を使った式」と「式の値」で考えるのが数学的な考え方です．

【問題２】
　次の数字は，簡単な規則で並んでおり，第n番目の数がnの１次式で表されます．
1, 4, 7, 10, 13, ... (1) nの１次式は次のうちのどの式になりますか．解説

2n 2n+1 2n−1
3n 3n+1 3n−2

(2) 第15番目の数は次のうちどの数になりますか．解説

23 24 25 43 44 45

(1) 次のような表を作ります．

n	1	2	3	4	5
?	1	4	7	10	13

　与えられた式の中でn=1のときに式の値が1となるのは，2n−1と3n−2ですから，これらのどちらかが答えで，他の式は答えになりません．
　さらに，n=2のときに式の値が4となるのは3n−2だけです．
　（3n−2にn=1, 2, 3, 4, 5を順に代入すると1, 4, 7, 10, 13になることを確かめることができます．）
　以上により，3n−2が答です．

(2) (1)の結果から第n番目の数が3n−2という式で表されることがわかったので，nに15を代入すると，第20番目の数は
3×15−2=43 になります．

【問題３】
　次の数字は，簡単な規則で並んでおり，第n番目の数の分母は3ですが分子はnの１次式になります．（約分できる分数でも約分する前の形で書いています．）

.

43n , .

53n , .

63n , .

73n , .

83n , ...

(1) 第n番目の数をnの式で表すと次のうちのどの式になりますか．解説

.

.

(2) 第10番目の数は次のうちどの数になりますか．解説

.

(1) 次のような表を作ります．

n	1	2	3	4	5
?	.43n	.53n	.63n	.73n	.83n

　与えられた式の中でn=1のときに式の値が.

43nとなり，

n=2のときに式の値が.

53nとなるのは.

n+33nnnだけです．

　（n=1, 2, 3, 4, 5を順に代入したときも確かめることができます．）
　以上により，.

n+33nnnが答です．

(2) (1)の結果から第n番目の数が.

n+33nnnという式で表される

ことがわかったので，nに10を代入すると，第10番目の数は

.

10+33nnnn=.

133nn

になります．

【問題４】
　次の数字は，簡単な規則で並んでおり，第n番目の数の分子は7ですが分母はnの１次式になります．

.

72n , .

74n , .

76n , .

78n , .

710nn , ...

(1) 第n番目の数をnの式で表すと次のうちのどの式になりますか．解説

.

.

(2) 第100番目の数は次のうちどの数になりますか．解説

.

(1) 次のような表を作ります．

n	1	2	3	4	5
?	.72n	.74n	.76n	.78n	.710nn

　与えられた式の中でn=1のときに式の値が.

72nとなり，

n=2のときに式の値が.

74nとなるのは.

72nnnだけです．

　（n=1, 2, 3, 4, 5を順に代入したときも確かめることができます．）
　以上により，.

72nnnが答です．

(2) (1)の結果から第n番目の数が.

72nnnという式で表される

ことがわかったので，nに100を代入すると，第100番目の数は

.

7200nnn

になります．

【問題５】
　次の数字は，簡単な規則で並んでおり，第n番目の数の分母と分子はそれぞれnの１次式になります．

.

94n , .

169nn , .

2314nn , .

3019nn , .

3724nn , ...

(1) 第n番目の数をnの式で表すと次のうちのどの式になりますか．解説

.

.

(2) 第100番目の数は次のうちどの数になりますか．解説

.

(1) 分母と分子を別々に考えます．分母については

n	1	2	3	4	5
?	4	9	14	19	24

　分母を表す式は，5n−1で合います．
　分子も同様にして合うものを探すと

n	1	2	3	4	5
?	9	16	23	30	37

　分子を表す式は，7n+2で合います．

　これらを組み合わせると，第n番目の数は.

7n+25n−1nnnnになります．

(2) (1)の結果から第n番目の数が.

7n+25n−1nnnnという式で表される

ことがわかったので，nに100を代入すると，第100番目の数は

.

702499nnn

になります．

.

【問題６】
　次の数字は，簡単な規則で並んでおり，第n番目の数の分母と分子はそれぞれnの１次式になります．

.

34n , .

57n , .

710nn , .

913nn , .

1116nn , ...

(1) 第n番目の数をnの式で表すと次のうちのどの式になりますか．解説

.

2n−13n−1nnnn

.

(2) .

2740nnは第何番目の数ですか．解説

12 13 14 26 27 28

(1) 分母と分子を別々に考えます．分母については

n	1	2	3	4	5
?	4	7	10	13	16

　分母を表す式は，3n+1で合います．
　分子も同様にして合うものを探すと

n	1	2	3	4	5
?	3	5	7	9	11

　分子を表す式は，2n+1で合います．

　これらを組み合わせると，第n番目の数は.

2n+13n+1nnnnになります．

(2) (1)の結果から第n番目の数が.

2n+13n+1nnnnという式で表される

ことがわかったので，3n+1=40, 2n+1=27からn=13が求まります．

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