■10進法

　小中学校以来使っている10進法は，右の例のように
たとえば，a×102+b×10+cをabcと書くものです．
　（10進法で表された数を10進数といいます．）

　10進法では，0,1,2,3,4,5,6,7,8,9の順に大きい数字を使い，9の次は新しい数字は使わずに１つ上の桁に1を書いて10とします．
■２進法

　コンピュータの内部で使われる２進法（on=1, off=0の区別しかないので，２種類の数字だけで表す）は，右の例のように
たとえば，a×22+b×2+cをabc(2)と書くものです．
　（２進法で表された数を２進数といいます．）

　２進法では，0,1の順に数字を使い，1の次は新しい数字は使わずに１つ上の桁に1を書いて10(2)とします．
　何進法で書かれているかを表すために末尾に小さくかっこうを付けて書きます．
101(2) → ２進法で書かれている数（２進数）
1201(3) → ３進法で書かれている数（３進数）
6107(8) → ８進法で書かれている数（８進数）
A1B3(16) → 16進法で書かれている数（16進数）

※　10進法で書かれているときだけは，末尾の(10)は省略できます．
578は578(10)のこと． → 10進法で書かれている数（10進数）

【例１】
　２進数で書かれた数字101(2)を10進数に直してください．
101(2)を10進数に直すには，1×22+0×2+1の計算を（普通に）10進法でやればよい．
（解答）
1×22+0×2+1=4+0+1=5
※　Excelではよく使われるｎ進数相互の間に変換関数が準備されています．［この頁の問題の検算に使えます］
　２進数（***）を10進数に直す関数は =BIN2DEC(***) です．（コンピュータ関連では，Exe to Binのtoを2で短縮してかつ空白文字を詰めるEXE2BINという面白い書き方があります．BIN2DEC は Binary to Decimal（２進数から10進数）の略でしょう．
【例】 BIN2DEC(11)=3, BIN2DEC(1010)=10
※　BIN2DEC(1203) のように２進数としては使用できない文字 2,3などを引数にすると #NUM!（定義域にない値を代入した）というエラーコードが返されます．

■３進法

　３進法は，右の例のように
たとえば，a×32+b×3+cをabc(3)と書くものです．
　（３進法で表された数を３進数といいます．）

　３進法では，0,1,2の順に数字を使い，2の次は新しい数字は使わずに１つ上の桁に1を書いて10(3)とします．

【例２】
　３進数で書かれた数字2102(3)を10進数に直してください．
2102(3)を10進数に直すには，2×33+1×32+0×;3+2の計算を（普通に）10進法でやればよい．
（解答）
2×33+1×32+0×3+2=54+9+0+2=65
■８進法

　８進法は，右の例のように
たとえば，a×82+b×8+cをabc(8)と書くものです．
　（８進法で表された数を８進数といいます．）

　８進法では，0,1,2,3,4,5,6,7の順に数字を使い，7の次は新しい数字は使わずに１つ上の桁に1を書いて10(8)とします．
※　Excelには８進数を10進数に変換する関数が準備されています．［この頁の問題の検算に使えます］
　８進数（***）を10進数に直す関数は =OCT2DEC(***) です．（Octal to Decimal）
【例】 OCT2DEC(7651)=4009
※　OCT2DEC(89) のように８進数としては使用できない文字 8,9などを引数にすると #NUM!（定義域にない値を代入した）というエラーコードが返されます．

■16進法

　16進法は，右の例のように
たとえば，x×162+y×16+zをxyz(16)と書くものです．
　（16進法で表された数を16進数といいます．）

　16進数を表すためには，「１文字で10,11,12,13,14,15を表す」必要があり，このためにA,B,C,D,E,Fを使います．（Aは10進数の10，Bは10進数の11，...，Fは10進数の15に対応しています．） 　16進法では，0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,Fの順に数字を使い，Fの次は新しい数字は使わずに１つ上の桁に1を書いて10(16)とします．
※　Excelには16進数を10進数に変換する関数が準備されています．［この頁の問題の検算に使えます］
　16進数（***）を10進数に直す関数は =HEX2DEC(***) です．（Hexadecimal to Decimal）
【例】 HEX2DEC("AB0E")=43790 ←単にAB0Eと書くと変数やセル番地と解釈されるので，HEX2DEC()に渡す引数には「16進数を表す文字列」であることを示すためにダブルクォートで囲んで代入します．もしくは，他のセルに書かれた文字を参照します．

【例３】
　16進数で書かれた数字5A8C(16)を10進数に直してください．
5A8C(16)を10進数に直すには，5×163+A×162+8×16+Cの計算を（普通に）10進法でやればよい．ただし，Aは10進数の10，Bは10進数の11，...，Fは10進数の15を表すものとする．）
（解答）
5×163+10×162+8×16+12
=20480+2560+128+12=23180

■ｎ進法

　ｎ進数を表すためには，「ｎ種類の文字」が必要です．
　数学としてもコンピュータ処理としても256進数，...，32768進法などでも可能ですが，コンピュータの画面上に表示するには”コンピュータの１バイトで何種類の文字が表せるか”という別の都合を考えなければなりません．また，+-*/().など演算に使われる文字は紛らわしいので避ける必要があります．このような訳で，コンピュータの画面上に簡単に表現できるのは，0,1,2,...,9までの10種類の文字，これに英大文字A,B,...Zの26文字，英小文字a,b,..,zの26文字を追加して62進数まででしょう．（大文字⇔小文字の区別がなければ36進数まで）
※コンピュータは内部的には２進数で処理されていますが，２進数を束にして扱うことにより，８進数，16進数，32進数，64進数などがよく使われます．今はコンピュータの時代なので，16進数，32進数，64進数などに出合う機会が多くなりました．
【10進数の例】
5×102+6×10+7を567と書く
9×103+8×102+0×10+7を9807と書く

　使える数字は，0,1,2,3,4,5,6,7,8,9の10種類
【２進数の例】
1×22+1×2+0を110(2)と書く
1×23+0×22+1×2+1を1011(2)と書く

　使える数字は，0,1の2種類


【問題１】　以下の問題では，正しい選択肢をクリックしてください．
　２進数で書かれた数字1011(2)を10進数に直してください． 　

19 211 319 421 529




【問題２】
　２進数で書かれた数字11100(2)を10進数に直してください． 　

17 214 328 435 542




【３進数の例】
2×32+1×3+0を210(3)と書く
1×33+2×32+1×3+0を1210(3)と書く

　使える数字は，0,1,2の3種類

【問題３】
　３進数で書かれた数字1220(3)を10進数に直してください． 　

117 251 373 491 5153




【８進数の例】
7×82+6×8+5を765(8)と書く
1×83+0×82+6×8+7を1067(8)と書く

　使える数字は，0,1,2,3,4,5,6,7の8種類

【問題４】
　８進数で書かれた数字120(8)を10進数に直してください． 　

110 266 380 4129 5640




【16進数の例】
7×162+A×16+Bを7AB(16)と書く
E×163+9×162+C×16+5をE9C5(16)と書く

　使える数字は，0,1,2,3,...,9,A,B,C,D,E,Fの16種類

※読者の質問として意外に多いのが F を16と思い込んでしまう場合です．16進数では最高で15を表す文字までしか使いません．Fは15に対応しています．


【問題５】
　16進数で書かれた数字C7(16)を10進数に直してください． 　

1167 2183 3199 4215





【問題６】
　16進数で書かれた数字FF(16)を10進数に直してください． 　

1238 2244 3255 4272




■10進数をｎ進数に直すには

○　10進法で表された数を２進法で表すには，次の関係を用いると便利です．
　まず
　10111(2)=1×24+0×23+1×22+1×2+1=16+4+2+1=23
　を例にとって考えます．
23=1×24+0×23+1×22+1×2+1
=2(1×23+0×22+1×21+1)+1
=2(2(1×22+0×21+1)+1)+1
=2(2(2(1×21+0)+1)+1)+1
=2(2(2(2(1)+0)+1)+1)+1
のように変形すると，
　１．右端の位の数は23を２で割ったときの余りです
　　2(2(2(2(1)+0)+1)+1)+1　　　・・・・・→　1
　２．このときの商　2(2(2(1)+0)+1)+1 ・・・→　1
　　をさらに２で割った余りは右から２つ目の位の数です．
　３．このときの商　2(2(1)+0)+1 ・・・・・・→　1
　　をさらに２で割った余りは右から３つ目の位の数です．
　４．このときの商　2(1)+0 ・・・・・・・・・→　0
　　をさらに２で割った余りは右から４つ目の位の数です．
　５．このときの商　1 　　　・・・・・・・・・→　1
　　をさらに２で割った余りは右から５つ目の位の数です．
○　10進法で表された数を３進法，４進法，...など一般にｎ進法に直すには，ここの解説の２に変えて３，４，...，ｎを使うとよい．

Excelで10進数を２進数，８進数，16進数に直すには，各々 =DEC2BIN(), =DEC2OCT(), =DEC2HEX() という関数が利用できます．
【例】
  • DEC2BIN(51)=110011
  • DEC2OCT(98)=142
  • DEC2HEX(123)=7B
［小さな添え字は付いていません］
○
≪10進数を２進数に直す方法≫
　２で割った余りを上から下へ，右から左に書く．
（下から上へ，左から右に書くと覚えてもよい）


○　暗算でするには
23=1×24+0×23+1×22+1×2+1
=1×16+0×8+1×4+1×2+1
のように書くと，
  • 16で取れるだけ取ってその係数にする（1）
  • 残りの7から8で取れるだけ取ってその係数にする（取れないので0）
  • 残りの7から4で取れるだけ取ってその係数にする（1）
  • 残りの3から2で取れるだけ取ってその係数にする（1）
  • 残りは1
※この「計算は必ず左から行う」

【例４】
　10進数で書かれた数字11を２進数に直してください．
（解答）
24=16, 23=8, 22=4, 21=2, 1を準備しておく
  • 16は入らないので8から始める
  • 8で取れるだけ取ってその係数にする（1）
  • 残りの3から4で取れるだけ取ってその係数にする（取れないので0）
  • 残りの3から2で取れるだけ取ってその係数にする（1）
  • 残りは1
したがって，1011(2)
【問題７】
　10進数で書かれた数字36を２進数に直してください． 　

11010(2) 21100(2) 311100(2) 4100100(2)



【問題８】
　10進数で書かれた数字27を２進数に直してください． 　

110011(2) 210101(2) 311011(2) 411100(2)



【問題９】
　10進数で書かれた数字70を３進数に直してください． 　

11122(3) 21222(3) 32112(3) 42121(3)



【問題10】
　10進数で書かれた数字135を８進数に直してください． 　

1207(8) 2217(8) 3307(8) 4317(8)



【問題11】
　10進数で書かれた数字188を16進数に直してください． 　

1AB(16) 2AC(16) 3BA(16) 4BC(16)



【問題12】
　10進数で書かれた数字755を16進数に直してください． 　

12E5(16) 22F3(16) 35E2(16) 45E3(16)




自由研究
　以下のツールでは，2進数から64進数までの数を相互に変換します．赤枠には2から64までの数字を書き込んでください．（例えば16進数は16進数と書き，G進数とは書きません．）
　各位の数は，
0123456789 ← 10文字
ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ ← 26文字
abcdefghijklmnopqrstuvwxyz ← 26文字
#% ← 2文字
の合計64文字までとし，英字の大文字と小文字を区別し，例えばAは１文字で10を表し，aは１文字で36を表すものとします．これで62文字まで表せますが，残り２文字をここでは#%とし，例えば，63を1つの文字で表すと%，62を1つ文字で表すと#とするので，4094=64×63+62を64進法で表すと，%#とする約束です．
進数の正の整数を
進数に 変換するやり直す
...メニューに戻る
■このサイト内のGoogle検索■

△このページの先頭に戻る△
【 アンケート送信 】
… このアンケートは教材改善の参考にさせていただきます

■この頁について，良い所，悪い所，間違いの指摘，その他の感想があれば送信してください．
○文章の形をしている感想は全部読ませてもらっています．
○感想の内で，どの問題がどうであったかを正確な文章で伝えていただいた改善要望に対しては，可能な限り対応するようにしています．（※なお，攻撃的な文章になっている場合は，それを公開すると筆者だけでなく読者も読むことになりますので，採用しません．）


質問に対する回答の中学版はこの頁，高校版はこの頁にあります