=== 読者が配色を変更したい場合 ===
◎外側の色を変えるには，次の色をクリック
◎内側の色を変えるには，次の色をクリック
◎標準文字色を変えるには，次の色をクリック

鼠

銀

黒

青

紺

茶

緑

桃

基　本：★☆☆

普　通：★★☆

やや難：★★★

→ スマホ用は別頁

高校数学 >> 高校数学Ⅱ・Ｂ>> 不等式と領域

【領域における最大・最小問題】
• 高校数学で扱う「領域における最大・最小問題」は，下記の例題１のように「領域がx, yの連立１次不等式で表され」「最大値・最小値を求めたい式がx, yの１次式で与えられる」ものが基本です．
　例えば，「x+yの最大値・最小値を求めなさい」という問題が与えられたとき，x+yという「式だけ」では図が対応しないが，x+y=kとおくと直線の「方程式」となって，グラフが描けます．
　このように，与えられた領域内でグラフを描いて，kの値が最大・最小となる点を探すというのが，この種の問題の解き方の流れです．

• 幾つか問題を解けばすぐ分かることですが「領域がx, yの連立１次不等式で表され」「最大値・最小値を求めたい式がx, yの１次式で与えられる」問題では，最大値・最小値は必ず多角形の頂点で求まります．
　一般に，n変数の連立不等式で定まる範囲内で，n変数で与えられる式の最大・最小を求める問題は「線形計画法の問題」と呼ばれ，解は領域を表す多角形の頂点から求まります．

【例題1】★☆☆
　x, yが3つの不等式$y\geqq -{\displaystyle \frac{5}{3}}x+5,y\geqq 3x-9,$
$y\leqq {\displaystyle \frac{1}{5}}x+5$を満たすとする．このとき，x+yの最小値はアであり，最大値はイである．

--図1--

--図2--

【問題1】★☆☆
　次の連立不等式
をみたすx, yの値に対して，x+yのとる値の最大値はコ，最小値はサである．

　条件を満たす領域は，右図の水色で示した部分（内部および周上）
　x+y=k
すなわち
　y=−x+k
とおくと，傾きが−1の直線になる．
3x+2y=12の傾き$-{\displaystyle \frac{3}{2}}$
2x+3y=18の傾き$-{\displaystyle \frac{2}{3}}$
と比較すると，傾き−1は，右下がりで，$-{\displaystyle \frac{3}{2}}$よりはゆるい傾斜で，$-{\displaystyle \frac{2}{3}}$よりは急な傾斜になっている． 　だから，k=x+yは，点(4, 0)で最小値4，点(6, 2)で最大値8をとる･･･（答） →解説を隠す←

• 下記の例題2のように「領域がx, yの連立１次不等式で表されるが」「最大値・最小値を求めたい式がx, yの２次式などで与えられる」ときには
(1) $x^2+y^2$の最大値・最小値 (2) xyの最大値・最小値

【例題2】★★☆
　実数x, yが3つの不等式
　　x−2y−1≦0, 2x+y−2≦0, 4x−3y+6≧0
を満たすとき，x2+y2の最大値，最小値を求めよ．

• x−2y−1=0と2x+y−2=0の交点は(1, 0)
• 2x+y−2=0と4x−3y+6=の交点は(0, 2)
• 4x−3y+6=0とx−2y−1=0の交点は(−3, −2)

【問題2】★☆☆
　x, yが3つの不等式$y\geqq -{\displaystyle \frac{5}{3}}x+5,y\geqq 3x-9,$
$y\leqq {\displaystyle \frac{1}{5}}x+5$を満たすとする． $x^2+y^2$ の最小値はウであり，そのときのx, yの値はx=エ，y=オである．

　条件を満たす領域は右図の水色で示した部分（内部および周上）
　$x^2+y^2=k$とおくと，kは原点(0, 0)からの距離の２乗を表す．
　この距離が最小となる点Dは，点と直線の距離の公式を用いて求められる．
最小値は${\displaystyle \frac{225}{34}}$ ･･･（答）
• x, yの値は，$y=-{\displaystyle \frac{5}{3}}x+5$と，原点を通りこれに垂直な直線$y={\displaystyle \frac{3}{5}}x$の交点であるから､連立方程式
$y=-{\displaystyle \frac{5}{3}}x+5$
$y={\displaystyle \frac{3}{5}}x$
を解くと得られる．$x={\displaystyle \frac{75}{34}},y={\displaystyle \frac{45}{34}}$･･･（答） →解説を隠す←

【問題3】★☆☆
　xy平面上の点A, B, Cの座標は，それぞれ (1, 1), (3, 1), (2, 3)である．三角形ABCの内部および境界で与えられる領域をDとする．以下の問いに答えよ．
(1) 領域Dを図示し，不等式を用いて表せ．
(2) 点(x, y)が領域D内を動くとき，4x+yの最大値と最小値を求めよ．
(3) 点(x, y)が領域D内を動くとき，$\sqrt{x^2+y^2}$の最大値と最小値を求めよ．

(1)
右図の青色で示した斜線部の内部および境界線上
(2)
　　4x+y=k
すなわち
　　y=−4x+k
とおくと，傾きが−4の直線（赤で示した直線）になる．

　そのうちで，点A(1, 1)を通るとき，最小値4x+y=5をとり，点B(3, 1)を通るとき，最大値4x+y=13をとる．
(3)

$\sqrt{x^2+y^2}=k$とおくと， kは原点からの距離を表すから，点A(1, 1)を通るとき，最小値 $\sqrt{2}$をとり，点C(2, 3)を通るとき， $\sqrt{13}$をとる．
→解説を隠す←

【問題4】★☆☆
　連立不等式y≦x−2, y≧2x−8, y≧0を満たす領域の点(x, y)についてx2+(y−4)2の最小値と最大値，およびそれらを与える(x, y)の値を求めよ．

　連立不等式の表す領域は，右図の水色で示した箇所
　x2+(y−4)2=kとおくと，kは
点(0, 4)からの距離の２乗を表す．
　右図の点Pは，点A(0, 4)を中心とする円と直線y=x−2すなわちx−y−2=0が接する場合の接点で
$AP={\displaystyle \frac{|0-4-2|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}}=3\sqrt{2}$
k=AP2=18･･･（最小値：答）
　右図の点Qは，２直線y=x−2, y=2x−8の交点(6, 4)で
k=AQ2=62=36
　右図の点Rは２直線y=2x−8, y=0の交点(4, 0)で
$k=A{R}^2=4^2+4^2=32$
AQ>ARだから，最大値はk=AQ2=62=36･･･（答）
→解説を隠す←

【問題5】★★☆
　実数x, yが3つの不等式
　　y≦2x, y≦−2x+4, y≧0
を満たすとき，x2+y2−4x+2yの最大値，最小値を求めよ．

　条件を満たす領域は右図の水色で示した部分（内部および周上）
　x2+y2−4x+2y=kとおくと
(x−2)2+(y+1)2=k+5だから，kは点(2, −1)からの距離の２乗（+5）
• 点(2, 0)において最小値−4をとる
• 点(1, 2)において，最大値5をとる･･･（答）
→解説を隠す←

【問題6】★★☆
　実数x, yが3つの不等式
　　y≦2, x+y≧2, x≦2
を満たすとき，${\displaystyle \frac{y+1}{x+2}}$がとる値の範囲を求めよ．

　条件を満たす領域は右図の水色で示した部分（内部および周上）
${\displaystyle \frac{y+1}{x+2}}=k$
すなわち
$y+1=k(x+2)$
とおくと，kは，点(−2, −1)を通る直線の傾き
• 点(2, 0)において最小値${\displaystyle \frac{1}{4}}$をとる
• 点(0, 2)において最大値${\displaystyle \frac{3}{2}}$をとる
${\displaystyle \frac{1}{4}}\leqq k={\displaystyle \frac{y+1}{x+2}}\leqq {\displaystyle \frac{3}{2}}$･･･（答） →解説を隠す←

【問題7】★★☆
　実数x, yが3つの不等式
　　y≦3x−2, 2y≧x+1, y≦−2x+8
を満たすとき，${\displaystyle \frac{y}{x^2}}$がとる値の範囲を求めよ．

　条件を満たす領域は右図の水色で示した部分（内部および周上）
${\displaystyle \frac{y}{x^2}}=k$
すなわち
$y=k{x}^2$
とおくと，kの値は
• 点(3, 2)において，最小値${\displaystyle \frac{2}{9}}$をとる．
• y=3x−2とy=kx2が接するとき，最大値をとる．
以上から，${\displaystyle \frac{2}{9}}\leqq k={\displaystyle \frac{y}{x^2}}\leqq {\displaystyle \frac{9}{8}}$･･･（答）
→解説を隠す←

【問題8】★★☆
　連立不等式$2x-y-2\geqq 0,x\leqq {\displaystyle \frac{5}{2}},y\geqq 1$ の表す領域をDとする．点P(x, y)が領域Dを動くとき,${\displaystyle \frac{y}{x^2}}$ の最大値と最小値を求めよ．また，それぞれの値を与える点Pの座標を求めよ．

　条件を満たす領域は右図の水色で示した部分（内部および周上）
　${\displaystyle \frac{y}{x^2}}=k$
すなわち
$y=k{x}^2$
とおくと，kの値は
• 点$C({\displaystyle \frac{5}{2}},1)$において，最小値${\displaystyle \frac{1}{({\displaystyle \frac{5}{2}}{)}^2}}={\displaystyle \frac{4}{25}}$をとる．
• y=2x−2とy=kx2が接するとき，最大値をとる．
以上から，点P(2, 2)において最大値${\displaystyle \frac{1}{2}}$をとる･･･（答） →解説を隠す←

【問題9】★★☆
　点(x, y)がx≧0, y≧0, 3≧x+y≧1を満たすとき，xy+2x+yの最大値と最小値を求めよ．

　条件を満たす領域は右図の水色で示した部分（内部および周上）
　xy+2x+y=k
とおくと
　(x+1)(y+2)=k+2
$y+2={\displaystyle \frac{k+2}{x+1}}$
$y={\displaystyle \frac{k+2}{x+1}}-2$
は，漸近線の方程式がx=−1, y=−2となる直角双曲線で
k+2の値，したがってkの値は，
(0, 1)のとき最小値1をとる．
(2, 1)のとき最大値7をとる．･･･（答）
→解説を隠す←

【問題10】★☆☆
　x, yが不等式x≧0, y≧0, 2x+3y≦18, x+3y≦15を同時に満たすとき，次の(1)～(3)に答えよ．
(1)(2)　略
(3) xyの最大値を求めよ．

条件を満たす領域は,右図の水色で示した部分（内部および周上）
この領域内において，xy=kすなわち
$y={\displaystyle \frac{k}{x}}$
のグラフを考える．
　xy=kと2x+3y=18が接するようなkの値を求める．
$2x+3{\displaystyle \frac{k}{x}}=18$
$2x^2-18x+3k=0$
$D^{\prime }=81-6k=0$
$k={\displaystyle \frac{27}{2}}$
xyの最大値は${\displaystyle \frac{27}{2}}$･･･（答） →解説を隠す←

• 下記の問題11のように，領域の境界線が２次曲線（円・放物線・双曲線など）で表されているときは，最大・最小となる点を求めるために，「判別式＝0」の関係がよく使われます．

【問題11】★☆☆
　実数x, yがx2+y2≦2を満たすとき，5x+yの最大値および最小値を求めなさい．

　条件を満たす領域は右図の水色で示した部分（内部および周上）
　5x+y=kすなわちy=−5x+kとおくと，傾きが−5の直線を表す．
　右図の領域の中で，kの値は，円と直線が接するときに最大および最小となる．
x2+y2=2
y=−5x+k
　この連立方程式から，yを消去して，xの２次方程式の判別式を求める．
最大値$2\sqrt{13}$，最小値$-2\sqrt{13}$･･･（答） →解説を隠す←

【問題12】★☆☆
　
(1) 領域Dの概形を図示せよ．
(2) 直線y=k(x+2)−2とDが共有点をもつときの直線の傾きkのとりうる値の範囲を求めよ．

(1)
　右図の右図の水色で示した部分（内部および周上）
　なお，２つの曲線は(±1, 0), (0, −1)の３点を共有点とするが，
−1<x<0, 0<x<1の区間で$y=x^2-1$の方が$x^2+y^2=1$の下半円よりも上側にあることは，次のようにして示せる．
(2)
y=k(x+2)−2は点(−2, −2)を通り，傾きkの直線だから，kのとりうる値の範囲は，右図のような２つの接線から求められる．
ア）y=k(x+2)−2とx2+y2=1の上半円が接する場合：最大値M
kx−y+(2k−2)=0と原点(0, 0)との距離が1になること
$d={\displaystyle \frac{|2k-2|}{\sqrt{k^2+1}}}=1$
$4k^2-8k+4=k^2+1$
$3k^2-8k+3=0$
$k={\displaystyle \frac{4\pm \sqrt{7}}{3}}$
このうちで大きい方が上半円との接点の傾きを表すから
$M={\displaystyle \frac{4+\sqrt{7}}{3}}$
イ）y=k(x+2)−2とy=x2−1が接する場合：最小値m
x2−1=k(x+2)−2
x2−kx+(1−2k)=0
$D=k^2-4(1-2k)=0$
$k^2+8k-4=0$
$k=-4\pm \sqrt{20}=-4\pm 2\sqrt{5}$
図から考えて，符号が正の方を選ぶと
$m=-4\pm \sqrt{20}=-4+2\sqrt{5}$
以上から，$-4+2\sqrt{5}\leqq k\leqq {\displaystyle \frac{4+\sqrt{7}}{3}}$･･･（答） →解説を隠す←

【問題13】★★☆
　xy平面上で，連立不等式
y≧0, x+y≦4, 3x+y≦6, y−2x≦6
が表す領域をDとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)　領域Dを図示せよ．
(2)　点(x, y)が領域D上の点全体を動くとき，x+2yの最大値とそのときのx, yの値を求めよ．また，x+2yの最小値とそのときのx, yの値を求めよ．
(3)　点(x, y)が領域D上の点全体を動くとき，3x2−2yの最大値とそのときのx, yの値を求めよ．また，3x2−2yの最小値とそのときのx, yの値を求めよ．

(1) 右図の水色で示した部分
（内部および周上）
(2)
x+2y=kとおくと，$y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+{\displaystyle \frac{k}{2}}$ は傾きが$-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ の直線だから，Mで示した点$(-{\displaystyle \frac{2}{3}},{\displaystyle \frac{14}{3}})$ で最大値$-{\displaystyle \frac{2}{3}}+2\times {\displaystyle \frac{14}{3}}={\displaystyle \frac{26}{3}}$ をとる．
　また,mで示した点(−3, 0)で最小値−3をとる．
(3)
3x2−2y=kとおくと，$y={\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^2-{\displaystyle \frac{k}{2}}$は，$y={\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^2$のグラフを上下に移動したもので，
• 点(−3, 0)で最大値k=3x2−2y=27をとる
• 直線x+y=4と3x2−2y=kが接するとき，最小値をとる．
よって，$(-{\displaystyle \frac{1}{3}},{\displaystyle \frac{13}{3}})$ のとき，最小値$-{\displaystyle \frac{25}{3}}$をとる
→解説を隠す←

【問題14】★★★
(1) 座標平面上の点(x, y)と点(a, b)を結ぶ線分の傾きを求めよ．ただし，x≠aとする．
(2) 次の連立不等式の表す領域Dを図示せよ．
x2+y2≦1, y≧x2−1
(3) (2)の領域D内の点(x, y)に対して${\displaystyle \frac{4y-7}{x-3}}$が最大となる(x, y)を求めよ．

(1)
${\displaystyle \frac{y-b}{x-a}}$
(2)
右図の水色で示した部分（内部および周上）
(3)
${\displaystyle \frac{4y-7}{x-3}}=4\times {\displaystyle \frac{y-{\displaystyle \frac{7}{4}}}{x-3}}$
と変形できるから，領域Dにおいて，点$(3,{\displaystyle \frac{7}{4}})$を通る直線で傾きが最大となるものを探せばよい．
(解法1)･･･微分を習っている場合
接点の座標を(p, p2−1)とおいて，接線が点$(3,{\displaystyle \frac{7}{4}})$を通るようなpの値を求めるとよい．
だから，(p, p2−1)における接線の方程式は
この接線が点$(3,{\displaystyle \frac{7}{4}})$を通るためには (解法2)･･･接する条件を判別式で求める場合
$y-{\displaystyle \frac{7}{4}}=m(x-3)$
$y=x^2-1$
が接するようにmの値を定める．
このときの接点(x, y)を求める
→解説を隠す←

【問題15】★☆☆
　薬品AとBを合成して製品XとYを作る．Xを1トン作るにはAが2トンとBが3トン，Yを1トン作るにはAが3トンとBが1トン必要である．また，1日に使用できる薬品A, Bの量は，それぞれ18トン，13トンであり，XとYの1日の最大生産量は，4トンと5トンである．さらに，XとYの1トンあたりの価格は，30万円と50万円であるとし，1日にそれぞれxトンとyトン生産するものとする．
(1)　上記の条件をxとyの連立不等式として表せ．
(2)　(1)の領域を図示せよ．
(3)　1日に生産される製品XとYの合計金額をSとするとき，Sをxとyで表せ．
(4)　Sの最大値とそのときのXとYの生産量を求めよ．

→解説を隠す←

	P成分	Q成分	R成分	価格
薬品A	3mg	1mg	5mg	35円
薬品B	1mg	2mg	15mg	20円

薬品A，BをそれぞれA，Bgとるとすれば
　これを満たす領域は，右図の黄色で示した箇所の内部および周上
　1日あたりの費用をk円とすると
　　k=35A+20B
→傾き$m=-{\displaystyle \frac{35}{20}}=-1.75$
　ここで，傾きは

だから，領域内を通る直線k=35A+20Bでkが最小となるのは，赤丸で示した点
　3A+B=0.9, A+2B=1.2の交点の座標はA=0.12(g), B=0.54(g)･･･（答）
　このとき，最小値はk=35A+20B=15（円）･･･（答） →解説を隠す←

【問題17】★☆☆
　二種類の食品Ａ，Ｂの100g当たりの栄養素含有率は下表の通りである．

	糖　質	蛋白質	脂　質
Ａ Ｂ	20g 10g	5g 10g	3g 3g

　食品ＡとＢを組み合せて糖質を40g以上，蛋白質を20g以上とる必要がある．一方，脂質摂取量は最小に押さえたい．このような条件下で脂質は何グラムとることになるか．

　Ａ，Ｂを各々a, b(g)とるとすると
→解説を隠す←