2次関数ののグラフと直線

大きな区分

現在地と前後の項目

2次関数の最大・最小/2次関数の最大・最小2/2次関数の最大・最小3/2次関数の最大・最小4/定義域や関数が変化するときの最大最小1/定義域や関数が変化するときの最大最小2/条件付最大最小問題/ｘ軸との共有点の個数(文字係数)1/ｘ軸との共有点の個数(文字係数)2/２次関数のグラフと直線(文字係数)/[センター] 通る点→係数の決定/（例題対比）[文字係数]放物線の頂点/文字係数2/[センター] 3/[センター]文字係数→最大値の最小値/[センター] 共有点の個数/[センター]99.1.1/交点と定数の大小1/交点と定数の大小2/交点と定数の大小3/絶対値付き関数のグラフ/２次関数のセンター試験問題/

== 2次関数のグラフと直線（文字係数） ==※このページは，2次不等式を学んでからすること

採点結果の
絵の意味

正解

，不正解

※解答入力は「半角数字」でなければなりません
1
　放物線 $y = x^{2} + k x + 3$ と直線 y=x+1のグラフが接するとき定数kの値はk=

x^{2} + k x + 3 = x + 1

すなわち

x^{2} + (k - 1) x + 2 = 0

について

D = b^{2} - 4 a c

= (k - 1)^{2} - 8

= k^{2} - 2 k - 7 = 0

を解きます

この2次方程式の左辺は，因数分解できないので，解の公式を使います．

k = 1 \pm 2 \sqrt{2}

2
　放物線 $y = x^{2} - 2 k x - k + 2$ が x軸と相異なる２点で交わるような定数 kの値の範囲は， k＜［ア］，k＞［イ］

x^{2} - 2 k x - k + 2 = 0

について

b^{' 2} - a c

= k^{2} - (- k + 2)

= k^{2} + k - 2 > 0

を解きます

(k+2)(k−1)>0より
k<−2, 1<k

3
　放物線 $y = 2 x^{2} + 3$ が直線 y=4x+k と共有点を持たないような定数kの値の範囲は，k＜［ア］

2 x^{2} + 3 = 4 x + k

すなわち

2 x^{2} - 4 x + (- k + 3) = 0

D^{'} = b^{' 2} - a c

= 4 - 2 (- k + 3) < 0

を解きます

4 + 2 k - 6 < 0

より
k<1

４
　放物線 $y = x^{2} + k x + k (k + 1)$ とx軸が接するとき定数kの値は
k=

x^{2} + k x + k (k + 1) = 0

D = b^{2} - 4 a c

= k^{2} - 4 k (k + 1) = 0

を解きます

- 3 k^{2} - 4 k = 0

3 k^{2} + 4 k = 0

k (3 k + 4) = 0

より

k = 0, - \frac{4}{3}

５
　放物線 $y = x^{2} + 2 x + k$ が直線 y=x+1 と相異なる2点で交わるような定数kの値の範囲は

x^{2} + x + k - 1 = 0

について

b^{2} - 4 a c

= 1 - 4 (k - 1) > 0

を解きます

1 - 4 k + 4 > 0

4k<5
より

k < \frac{5}{4}

６
　放物線 $y = 2 x^{2} + 4 (k + 1) x + 2 k^{2} + 5 k - 1$ のグラフがx軸と共有点を持つような定数kの値の範囲はk≦［ア］

D = b^{2} - 4 a c = 0

←→共有点1個

D = b^{2} - 4 a c > 0

←→共有点2個
をまとめると

D = b^{2} - 4 a c ≧ 0

←→共有点を持つ

D^{'} = 2^{2} (k + 1)^{2} - 2 (2 k^{2} + 5 k - 1) ≧ 0

4 k^{2} + 8 k + 4 - 4 k^{2} - 10 k + 2 ≧ 0

2k≦6
より
k≦3

７
　

x^{2} + 2 k x + 3 k

が実数xのどのような値に対しても，つねに2より大きくなるような定数kの値の範囲は，
［ア］＜k＜［イ］

つねに

x^{2} + 2 k x + 3 k > 2

←→つねに

x^{2} + 2 k x + (3 k - 2) > 0

←→ $y = x^{2} + 2 k x + (3 k - 2)$ がx軸と共有点を持たない
←→

D^{'} = b^{' 2} - a c = k^{2} - (3 k - 2) < 0

D^{'} = k^{2} - (3 k - 2) < 0

(k−1)(k−2)<0
1<k<2

８
　放物線 $y = x^{2} - k x + k - 1$ がどんなxの値に対しても直線 y=x−2 の上側にあるような定数kの値の範囲は，［ア］＜k＜［イ］

つねに

x^{2} - k x + k - 1 > x - 2

←→つねに

x^{2} - (k + 1) x + (k + 1) > 0

←→

y = x^{2} - (k + 1) x + (k + 1)

が x軸と共有点を持たない
←→

D = b^{2} - 4 a c

= (k + 1)^{2} - 4 (k + 1) < 0

(k + 1) (k - 3) < 0

−1<k<3

９
　どんな $x$ の値についても，つねに $kx^2-2kx\gt x^2-2k$ となるような定数 $k$ の値の範囲は， $k$ ＞［ア］

つねに

(k - 1) x^{2} - 2 k x + 2 k > 0

←→k−1>0かつD’<0…(1)
またはk−1=0かつ−2k=0かつ−2k>0…(2)
(2)は解なし

D’<0より

k^{2} - 2 k (k - 1) < 0

k^{2} - 2 k > 0

k<0, k>2
k>1だからk>2

10
不等式

k x^{2} + 2 k x + 2 k - 6 > 0

も

k x^{2} + 2 k x + 2 k - 6 < 0

も解を持つような定数kの値の範囲は，［ア］＜k＜［イ］

正負になる←→x軸と交わる
←→k≠0かつD’>0…(1)
または
k=0かつ2k≠0…(2)
(2)は解なし

(1)よりk≠0かつ

k^{2} - k (2 k - 6) > 0

- k^{2} + 6 k > 0

より

k^{2} - 6 k < 0

k(k−6)<0
0<k<6
これはk≠0を満たすから0<k<6

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