指数方程式

大きな区分

現在地と前後の項目

負の指数の定義1/負の指数の定義2/指数法則/指数計算(積，商) /有効数字の表し方 /累乗根1/累乗根2/分数の指数1/分数の指数2/指数と大小比較　/ｎ乗比較　/a^x+a^-xの値/指数関数のグラフ/指数方程式1/指数方程式2/指数不等式/指数が対数のもの/対数の定義/対数計算1/対数計算2　/対数計算3/底の変換公式1/底の変換公式2/対数方程式/対数不等式/常用対数/センター問題2006-2009/指数･対数（入試問題）/センター問題指数･対数(2013～)/

== 指数方程式 == ■解説・・・指数方程式の解き方

［要点］
１　a^x=a^y　の形にできれば　x=y　です。(a≠1)
２　a^x=b　の形ならば　x=log_ab　＜･･･対数を習ってから
３　a^x=t （＞0）とおくと，tの方程式にできるものがあります。

●１の解説：
　右のグラフは，関数　y=a^x　を表わしたものです。a>1,0<a<1のいずれの場合においても

ｐ≠ｑならばａ^ｐ≠ａ^ｑです。だから，（対偶により）ａ^ｐ＝ａ^ｑならばｐ＝ｑです。　（指数関数が等しい　→　指数が等しい）

●２の解説：
　「指数形式の書き方」と「対数形式の書き方」の読みかえ方の約束です。
　　例　２^３＝8 と書くことを対数の形式では３＝log_２8 と書きます。
　　例　log₁₀100=2 とは 10²=100 のことです。

●３の解説：
　a^x=t　とおくと簡単に解けることがあります。この置き換えを用いる場合，右のグラフのようにa^xが正の値だけを取ることに注意することが大切です。

a^x=t　とおくと　ｔ＞0　です!!。(ｘはマイナスでも可)

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●１の例
　２^2x-4＝２^2-x　→　2x-4=2-x　
　これで指数は外れましたので、あとは単なる１次方程式です。
　3x=6　より　x=2・・・答

●２の例
　２^ｘ＝３　→(右辺が２^○の形にならない)→　ｘ=log₂3・・・答

●３の例
　4^x-2^x-2=0　→　2^x=t (ただしt>0) とおくとt²-t-2=0
　→　(t-2)(t+1)=0　→　ｔ=2，-1　ここでt>0だからt=2
　→　2^x=2　より　x=1　・・・答

■問題・・・次の方程式を解きなさい。１ 9^3x=27^x-1 x=	[ヒント] (3²)^3x=(3³)^x-1 ==> 3^6x=3^3x-3 ==> 6x=3x-3
２ x=	[ヒント] (2^1/2)^x=2² ==> 2^x/2=2² ==> x/2=2
３ x=	[ヒント] (3^-1)^1-x=(3²)^x ==> 3^x-1=3^2x ==>x-1=2x
４ x=	[ヒント] 2^x-3=(2^-2)^x ==> 2^x-3=2^-2x ==> x-3=-2x
５ --※対数を習ってからする問題３^ｘ＝５（解答を１つ選びなさい。） x=log₃5，　x=log₅3，　x=-log₃5，　x=-log₅3	[ヒント] 対数の定義
６--※対数を習ってからする問題　２＝３^－ｘ（解答を１つ選びなさい。） x=log₂3，　x=log₃2，　x=-log₂3，　x=-log₃2	[ヒント] 対数の定義
７ 9^x-4・3^x+3=0 （解答を１つ選びなさい。） x=1，　x=0，1，　x=3，　x=1,3	[ヒント] 3^x=t (t>0) とおく ==> t²-4t+3=0 ==> (t-1)(t-3)=0 ==> t=1，3 ==> 3^x=1，3
８ 2^2x-2^x+1-8=0 x=	[ヒント] 2^x=t (t>0) とおく ==> t²-2t-8=0 ==> (t-4)(t+2)=0 t>0 を満たすものからｘを求める。

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■［個別の頁からの質問に対する回答］[指数方程式について／16.10.22］

最後の問題８番の、2の2x乗-2のx+1乗-8についての質問です。ヒントでは２のx乗をtとすると、tの2乗-2t-8になるとあります。しかし、tの2乗+4t-8になるような気がして、そこで行き詰ってしまったのですが、いかがでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．あなたの場合は，指数法則が十分身に付いていないという弱点があるようですので，この頁で復習するとよいでしょう．なお，指数法則や対数の計算規則は，１つの問題の中で何回も多重的に登場しますので，（水や空気に親しむように）反復練習が必要です．
元の問題：

amn=(am)nだから2x=tとおくと22x=(2x)2=t2
次に
am+n=amanだから2x+1=2x21すなわち2x+1=2t
になります．

−2x+1は(−2)22x→4tにはなりません

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質問に対する回答の中学版はこの頁，高校版はこの頁にあります