対数方程式

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== 対数方程式 ==

【対数方程式とは】
　対数関数の真数や底に未知数を含む方程式を対数方程式という．

【例1】　log2x=8

→ log底真数=値の形において，真数が未知数になっている

【例2】　log2(x−1)+log2(4−x)=1

→ よく出る形．2つの対数で，真数が未知数になっている

【例3】　logx9=2

→ log底真数=値の形において，底が未知数になっている

【対数方程式の解き方】
(1)　対数の定義を使って，指数の形に直す．

　log底真数=値 ⇔ 真数=底値

(2)　対数関数が単調増加(底>1のとき)または単調減少(0<底<1のとき)であることにより，
底が同じで「2つの対数が等しければ，真数が等しい」と言えることを利用する．
　log底真数1=log底真数2　⇔　真数1=真数2

【例4】　log2x=3

→ x=23だからx=8･･･（答）

【例5】　log2(x−1)=log2(3−x)

→ 両辺の底が2で同じだから，真数が等しければよい

x−1=3−x
2x=4
x=2･･･（答）

※ただし，このような問題では，式の変形をする前に「原式で真数条件を検討しておく」のがよい．
理屈の上では，得られた結果を「原式」に代入して成立することを確かめてもよいが，「答が出てしまうと，嬉しくなって，舞い上がってしまって，油断しやすくなる」ので，真数条件は初めに検討するのがお薦めです．

【対数方程式の真数条件】
(*1)　（高校の数学では）対数の真数は「正の数」でなければならない．
【対数方程式の底の条件】
(*2)　（高校の数学では）対数の底は「正の数」かつ「1以外」でなければならない．･･･底の条件の方が真数条件よりも厳しいことに注意

【例5】(再掲)　log2(x−1)=log2(3−x)のとき

真数条件としてx−1>0, 3−x>0を満たさなければならない
したがって，1<x<3が真数条件となる．

【例6】　logx8=3のとき

底の条件としてx>0, x≠1を満たさなければならない･･･(#1)
次に，x3=8よりx=2･･･(#2)
(#1)(#2)よりx=2･･･（答）

《なぜ，対数方程式で，真数条件が必要なのか》
● 数学の教科書には
$\log_aM+\log_aN=\log_aMN$
という公式が書かれていて，これが間違ってるはずがない！と思われるかもしれませんが，「実は，この公式には，前提条件があるのです」
● すなわち

a>0, a≠1, M>0, N>0のとき
$\log_aM+\log_aN=\log_aMN$

なので，M<0, N<0などのときは，成り立つとは限らないのです．

【例】
$\fbox{\log_2x+\log_2(x+ 1)}=\log_26$ ･･･(*1)
という方程式の解は， $x=2$ だけですが
$\fbox{\log_2x(x+ 1)}=\log_26$ ･･･(*2)
という方程式の解は， $x(x+ 1)=6\rightarrow x=-3,\hspace{2}2$ です．
　すなわち，原式が(*1)のように書かれている対数方程式を(*2)のように書き換えてから解くと， $\log_2(-3)\times(-2)=\log_26$ のような，
（負の数）×（負の数）の形まで混ざって来ます．

● そこで，対数方程式を解くときは，「問題文を変形する前の，原式の段階で真数になっている式は，すべて正でなければならない」という真数条件を求めておくのがよい．
● 数学的には，対数方程式を解いてから，原式を満たすものだけを解としても同じことですが，「試験に臨む生徒は，問題が解けたら，嬉しくなって舞い上がってしまって，警戒心が緩みやすいのです」．だから，『緊張している最初の段階で，原式から真数条件を求めておく方が，間違いが少ない』と言えます･･･登山の事故は，全行程の４分の３を過ぎた辺りで起こる（魔の２時）といわれているのと同様です．

【例題1】　次の対数方程式を解いてください．
　　log3x=4

（解答）

対数の定義を使って，指数の形に直す

log底真数=値 ⇔ 真数=底値

log3x=4
を指数の形
に直すと
x=34=81･･･（答）

真数条件を調べることを忘れていないか？と思う人へ
　初めに「真数条件より，x>0」書くのはよいことです．ただし，a, b>0のときに，指数関数の値ab=cのcがつねに正(>0)となることは，教科書に何度も書かれている常識なので，ここでは省略しても構わない．

【問題1】　次の対数方程式を解いてください．

空欄には「半角数字」で入力してください．
採点すれば，採点結果と解説が出ます．見ているだけでは解説は出ません．

【例題2】　次の対数方程式を解いてください．
　　log2(x−1)+log2(4−x)=1

（解答）
真数条件を調べる
　　x−1>0, 4−x>0より1<x<4･･･(#1)
このとき
　　log2(x−1)(4−x)=1
より
　　(x−1)(4−x)=21=2
　　x2−5x+6=0
　　(x−2)(x−3)=0
　　x=2, 3･･･(#2)
(#1)(#2)よりx=2, 3･･･（答）

（別解）
次のように，定数を対数に書き換えると，両辺の真数の比較の問題になる．（慣れたらこの方が楽）

$n=n\log_aa=\log_aa^n$

真数条件は(#1)同じ
対数方程式の右辺を対数にする
log2(x−1)(4−x)=log22
より
　　(x−1)(4−x)=2
以下同様

【問題2】　次の対数方程式を解いてください．

空欄には「半角数字」で入力してください．
採点すれば，採点結果と解説が出ます．見ているだけでは解説は出ません．

【対数に係数が付いている場合】

　右図のように，係数を真数の指数として対数の中に取り込むとよい．

【例7】　
　 $2\log_3(x-1)=\log_3(x-1)^2$

【対数が分数の分子になっている場合】
　分数の係数として扱うと，１つ前の場合と同じ扱いになる
　両辺の分母を払ってもよい

【例8】　
　 $\frac{\log_3(x-1)}{2}=\frac{1}{2}\log_3(x-1)=\log_3(x-1)^{\frac{1}{2}}$

【例題3】　次の対数方程式を解いてください．
　　log5(x+3)=2log5(x+1)

（解答）
真数条件を調べる
　　x+3>0, x+1>0よりx>−1･･･(#1)
このとき
　　log5(x+3)=log5(x+1)2
より
　　(x+3)=(x+1)2
　　x2+x−2=0
　　(x+2)(x−1)=0
　　x=−2, 1･･･(#2)
(#1)(#2)よりx=1･･･（答）

【問題3】　次の対数方程式を解いてください．

空欄には「半角数字」で入力してください．
採点すれば，採点結果と解説が出ます．見ているだけでは解説は出ません．

【対数の2次方程式などになっている場合】
• それぞれに対数について，真数条件（真数>0）は検討しなければならない．
• log2x=yとおく場合，真数がx>0の範囲であっても，対数はすべてての実数値をとり得ることに注意．

【例題4】　
次の対数方程式を解いてください．
　 $(\log_2x)^2-\log_2x^2-3=0$

（解答）
真数条件から，x>0･･･(#1)
元の方程式は
　 $(\log_2x)^2-2\log_2x-3=0$
と変形できるから
log2x=yとおくと
　y2−2y−3=0
　(y−3)(y+1)=0
　y=3, −1
log2x=3, −1より
　 $x=8,\hspace{2}\frac{1}{2}$ ･･･(#2)
(#1)(#2)より
　 $x=8,\hspace{2}\frac{1}{2}$ ･･･(答)

【問題4】　次の対数方程式を解いてください．

空欄には「半角数字」で入力してください．
採点すれば，採点結果と解説が出ます．見ているだけでは解説は出ません．

（再掲）

【対数方程式の底の条件】
(*2)　（高校の数学では）対数の底は「正の数」かつ「1以外」でなければならない．･･･底の条件の方が真数条件よりも厳しいことに注意

【例6】　logx8=3のとき

底の条件としてx>0, x≠1を満たさなければならない･･･(#1)
次に，x3=8よりx=2･･･(#2)
(#1)(#2)よりx=2･･･（答）

【例題6】　
次の対数方程式を解いてください．
　 $\log_3x=\log_x3$

（解答）
真数条件から，x>0
底の条件から，x>0, x≠1
以上により，x>0, x≠1･･･(#1)
底の変換公式を用いると，元の方程式は
　 $\log_3x=\frac{\log_33}{\log_3x}$
　 $\log_3x=\frac{1}{\log_3x}$
　 $(\log_3x)^2=1$
と変形できるから
log3x=yとおくと
　y2=1
　y=±1
元のxに戻すと
log3x=1, −1より
　 $x=\frac{1}{3},\hspace{2}3$ ･･･(#2)
(#1)(#2)より
　 $x=\frac{1}{3},\hspace{2}3$ ･･･(答)

【問題5】　次の対数方程式を解いてください．

空欄には「半角数字」で入力してください．
採点すれば，採点結果と解説が出ます．見ているだけでは解説は出ません．