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== 確率変数の変換 ==
【要点】
　確率変数Xの期待値がm，標準偏差がσであるとき，
Y=aX+b
　によって定められる変数Yの期待値m’，標準偏差σ’は
m’=am+b…(1)
σ’=|a|σ…(2)
で求められる．

変数Yの分散V’は，変数Xの分散Vから次の関係で求められる．
V’=a2V…(3)

Y=aX+bによって，変数Yが定義されるとき，確率分布表は次の表のようになる．
確率変数X x1 x2 x3 … xn 計
確率変数Y ax1+b ax2+b ax3+b … axn+b 計
確率P p1 p2 p3 … pn 1
　確率変数Xの期待値がm，標準偏差がσだから
m=x1p1+x2p2+…+xnpn…(A)
V=(x1−m)2p1+(x2−m)2p2+…+(xn−m)2pn
σ=…(B)
このとき
(1)←
m’=(ax1+b)p1+(ax2+b)p2+…+(axn+b)pn
=a(x1p1+x2p2+…+xnpn)+b(p1+p2+...+pn)
=am+b
（図１のように，個々の変数Yの定義式と同じ変換を受けます．E(Y)=aE(X)+bと書いてもよい．）
図１
※伸び縮みを表す係数aは期待値にも標準偏差にも影響する．平行移動を表す係数bは期待値だけに影響し，標準偏差には影響しない．
【例】
　Xの期待値が2で，確率変数YがY=3X+4で定義されているとき，Yの期待値は，3×2+4=10になります．
(3)← 　Yの分散V’は，
V’=(ax1+b−am−b)2p1+(ax2+b−am−b)2p2+…
+(axn+b−am−b)2pn
={a(x1−m)}2p1+{a(x2−m)}2p2+…{a(xn−m)}2pn
=a2(x1−m)2p1+a2(x2−m)2p2+…a2(xn−m)2pn
=a2 { (x1−m)2p1+(x2−m)2p2+…(xn−m)2pn }
=a2V
(2)←
　aは正の数とは限らないので
σ’==|a|=|a|σ
【例】
　Xの標準偏差が5で，確率変数YがY=3X+4で定義されているとき，Yの標準偏差は，3×5=15になります．
上の図１のように，標準偏差の方は定数項4の影響を受けません．
【例題１】
　100円硬貨を投げて，表が出た金額の２倍を受け取り，使用した硬貨は参加費として取られるゲームを行う．
　100円硬貨２枚を投げて，このゲームに参加するとき，差し引き儲かる金額の期待値と標準偏差を求めてください．
　100円硬貨を２枚投げて，表がr枚出る確率は
2Cr()r()2−r=2Cr()2
だから，表の枚数をXとすると，確率変数Xの確率分布表は次のようになる．
X 0 1 2 計
X 2 0 1 4
P 1
E(X)=0×+1×+2×=1
　表がX枚のとき，儲けは100X（円）の２倍で200X（円），損失は200（円）だから，差し引き儲かる金額をYとすると，
Y=200X−200
　したがって
E(Y)=200×E(X)−200=0（円）…（答）
　次に，
E(X 2)=0×+1×+4×=
V(X)=E(X 2)−E(X)2=
σ(X)==
σ(Y)=200×σ(X)=100≒141（円）…（答）
※次のように，Y, Y 2の確率分布表を作って，直接求めることもできる．
X 0 1 2 計
Y −200 0 200
Y 2 40000 0 40000
P 1
E(Y)=−200×+0×+200×=0
E(Y 2)=40000×+0×+40000×=20000
V(Y)=E(Y 2)−E(Y)2=20000
σ(Y)==100
※なお，数学の話ではないが，くじやゲームで「懸け金（参加費）の出費を伴うもの」は，宝くじや競馬のように法律で認められているものを除いて，賭博罪で罪になります．商店街や祭りのくじ引きのように「一方的にもらうだけ」のものはこれに該当しません．
　ここでは，Y=aX+bの定数項bを含む問題とするために，出費を伴う問題にしたもの．
　正しい番号を選択してください．
【問題１】
　100円硬貨を投げて，表が出た金額の２倍を受け取り，使用した硬貨は参加費として取られるゲームを行う．
　100円硬貨３枚を投げて，このゲームに参加するとき，差し引き儲かる金額の期待値と標準偏差を求めてください．
（最も近いものを選んでください）

1期待値0（円），標準偏差173（円）

2期待値0（円），標準偏差200（円）

3期待値150（円），標準偏差141（円）

4期待値150（円），標準偏差200（円）

【要点】
　元の変数Xの平均値（期待値）がm，標準偏差がσのとき，これを偏差値Zに直すには
Z=(X−m)+50…(4)
※　よく登場する偏差値と元の変数の対応関係
変数X m−3σ m−2σ m−σ m m+σ m+2σ m+3σ
偏差値Z 20 30 40 50 60 70 80
（解説）
　国語の平均点が60点で標準偏差が10点，数学の平均点が45点で標準偏差が15点というように，平均点や散らばり具合が教科・科目によって異なるときに，Ａさんは国語が65点で数学が60点であったとすると，Ａさんの集団の中での相対的な順位はどちらの教科が高いか？というような問題に答えるものとして「偏差値」という尺度があります．
　元の変数Xの平均値（期待値）や標準偏差がどうなっていても，これを平均値（期待値）50や標準偏差10の変数に直して比較するのが偏差値です．
　元の変数Xと偏差値Zとは上の図のように対応します．
　比例関係
(X−m):σ=(Z−50):10
により，偏差値Zは次の式によって求められます．
Z=(X−m)+50
【例】
　上の例で，Ａさんの国語の偏差値は
z1=(65−60)+50=55
数学の偏差値は
z2=(60−45)+50=60
となるので，数学の偏差値の方が高いことになります．

※（参考）
　(4)式で定義される偏差値をそのまま使う限り，偏差値が100以上になることも，負の値になることも起り得ます．
△例えば，平均が30点で標準偏差が10点の試験で，ある人の得点が90点の場合は，偏差値110になります．
▼平均が55点で標準偏差が10点の試験で，ある人の得点が0点の場合は，偏差値−5になります．
【問題２】
　ある学年で英語の平均点が65点で標準偏差が8点であった．その試験でＡさんの得点が75点であったとき，Ａさんの英語の偏差値を求めてください．


155.0 257.5 360.0 462.5



【問題３】
　平均が55点，標準偏差が12点の試験で偏差値60以上となるためには，何点以上取ればよいか．

155点以上 261点以上

367点以上 473点以上




【要点】
　変数の基準化（規格化，標準化）とは，平均値が0，標準偏差が1となる変数に変換すること．
　元の変数Xの平均値（期待値）がm，標準偏差がσのとき，基準化（規格化，標準化）した変数をZとすると
Z= ←→ X=m+Zσ…(5)
※　基準化（規格化，標準化）された変数Zと元の変数Xの対応関係
X m−3σ m−2σ m−σ m m+σ m+2σ m+3σ
Z −3 −2 −1 0 1 2 3
（解説）
　統計においては，身長と体重，国語の得点と数学の得点のように，測定の単位や平均，標準偏差の異なるデータを比較するために，各々の変数を平均値が0，標準偏差が1となる変数に変換して使うことが多い．
　この場合，基準化（規格化，標準化）された変数Zと元の変数Xとは，次の関係を満たす．
Z= ←→ X=m+Zσ
【例】
　ある学級の生徒の身長について，平均が165(cm)，標準偏差が8(cm)のとき，身長x1=160(cm)，x2=172(cm)という２人のデータを基準化すると
x1=160 → z1=−0.625
x2=172 → z2=0.875
【問題４】
　平均15.0，標準偏差4.0の変数Xを基準化したとき，変数x1=21.0はどんな値に変換されますか．

10.5 21.0 31.5 42.0



【問題５】
　次のグラフの中で，変数Xとその基準化変数Zの対応を表しているものを選んでください．

1 2 3 4




　今日では，統計計算をコンピュータで行うことが多いので，次に述べる仮平均法（簡便計算法）を使わずに，直接計算することもできますが，筆算で平均値や標準偏差を求めるときは，小さな整数値で処理する仮平均法（簡便計算法）が便利です．
【仮平均法（簡便計算法）の原理】
　一般に，階級幅cの度数分布表において，仮平均をx0として仮変数uを導入するとき，元の変数xを用いた計算が複雑な小数計算であっても，uを用いた計算は，階級幅1の簡単な整数値の計算でできます．
　このとき，E(u)からE(x)へは次の式で戻すことができます．
E(x)=cE(u)+x0
σ(x)=cσ(u)
（解説）
階級値xk 度数fk 仮変数uk uk2
32.5 3 -2 4
37.5 5 -1 1
42.5 7 0 0
47.5 4 1 1
52.5 1 2 4
【例】
　右の表のように，階級幅5　(37.5−32.5=5, 42.5−37.5=5)の度数分布表が与えられているとき，この表から平均や標準偏差を計算するためには，込み入った小数計算をしなければなりませんが，仮平均を使って変数を変換すると，簡単な１桁の整数計算でできるようになります．

　度数分布表の中央付近で，度数の最も大きい階級（この表では，赤で示した42.5）の階級値を仮平均u=0として，増える方向に1, 2, ..，減る方向に−1, −2, ..という階級値を仮変数ukとして割り当てます．

　このように仮変数ukとして割り当てると，ukは0の近くの小さな整数値なので，掛け算，足し算などが楽にできます．
E(u)=(3×(−2)+5×(−1)+0+4×1+1×2)÷20
=(−6−5+4+2)÷20=(−5)÷20=−0.25
E(x)=5×(−0.25)+42.5=41.25

E(u2)=(3×4+5×1+0+4×1+1×4)÷20
=(12+5+4+4)÷20=25÷20=1.25
V(u)=E(u2)−E(u)2=1.25−0.0625=1.1875
σ(u)==1.09
σ(x)=5×1.09=5.45
仮平均法（簡便計算法）では，「中央付近」かつ「度数が大きい階級値」を仮平均x0に選ぶのがコツ
⇒　0を掛けることになって，計算が省略できる．
【問題６】
　元の変数Xについて，階級幅5の度数分布表に表されているとき，仮平均をx0=35.5として仮変数を使って求めたら，E(u)=0.1 , σ(u)=1.22となった．このとき，元の変数Xの平均と標準偏差は次のうちどれか．

1平均35.5，標準偏差1.22

2平均35.5，標準偏差41.6

3平均36.0，標準偏差6.1

4平均36.0，標準偏差41.6




【問題７】
x f u
15 2 -2
25 3 -1
35 9 0
45 5 1
55 1 2
　右のような度数分布表で表される変数xkについて，仮平均をx0=35として，仮変数ukを使って平均と標準偏差を求める計算を行った場合に，正しいものを選んでください．

1E(u)=−0.1, σ(u)=1.0

2E(u)=0.0, σ(u)=1.0

3E(u)=0.1, σ(u)=1.5

4E(u)=0.2, σ(u)=1.5




1E(x)=34, σ(x)=6

2E(x)=34, σ(x)=10

3E(x)=35, σ(x)=8

4E(x)=35, σ(x)=10

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