変数分離形微分方程式

== 変数分離形微分方程式 ==

○この頁に登場する【問題】は，公益社団法人日本技術士会のホームページに掲載されている「技術士第一次試験過去問題共通科目A 数学」の引用です．（=公表された著作物の引用）

○【解説】は個人の試案ですが，Ｗｅｂ教材化にあたって「問題の転記ミス」「考え方の間違い」「プログラムの作動ミス」などが含まれる場合があり得ます．
　問題や解説についての質問等は，原著作者を煩わせることなく，当Ｗｅｂ教材の作成者（<浅尾>）に対して行ってください．

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平成16年度技術士第一次試験問題［共通問題］
【数学】Ⅲ-9

　微分方程式=を初期条件「x=1のとき，y=1」

のもとで解くと，その解は次のどれか．

1y= 2y= 3y=−

4y= 5y=

解説

変数を分離する

両辺を積分する

.y−2 dy=x−3 dx

.y−1=x−2+C

.−=−+C

.=−C== (←2C=Aとおく)

.y=

初期条件を使って，積分定数を定める．
x=1のとき，y=1だから

.1=

.1−A=2
.A=−1
以上により

.y=→5

平成17年度技術士第一次試験問題［共通問題］
【数学】Ⅲ-6

微分方程式=を初期条件「x=1のとき，y=0」

のもとで解くと，その解は次のどれか．

1y=x−1 2y=−x+1 3y=x2−1

4y=−x2+1 5y=x3−1

解説

変数を分離する

.=dx

両辺を積分する

.=dx

.log|y−1|=2log|x|+C
.log|y−1|=logx2+C=logx2+logeC=logx2eC
.|y−1|=x2eC
.y−1=±eCx2
±eC=Aとおくと
.y=Ax2+1

初期条件を使って，積分定数を定める．
x=1のとき，y=0だから
.0=A+1
.A=−1
以上により
.y=−x2+1→4

平成18年度技術士第一次試験問題［共通問題］
【数学】Ⅲ-7

　微分方程式=−4xyを初期条件「x=1のとき，y=1」

のもとで解くと，その解は次のどれか．ただし，eは自然対数の底とする．

1y=ex 2y=e2x2 3y=−e−2x2

4y=e2x2+2 5y=e−2x2+2

解説

変数を分離する

.=−4x dx

両辺を積分する

.=−4x dx

.log|y|=−2x2+C

.|y|=e−2x2+C
.y=±e−2x2+C=±eCe−2x2
±eC=Aとおくと
.y=Ae−2x2

初期条件を使って，積分定数を定める．
x=1のとき，y=1だから
.1=Ae−2
.A=e2
以上により
.y=e2e−2x2=e2−2x2→5

平成20年度技術士第一次試験問題［共通問題］
【数学】Ⅲ-8

　微分方程式=4x(y+1)を初期条件「x=0のとき，y=0」

のもとで解くと，その解は次のどれか．ただし，eは自然対数の底である．

1y=e2x−1 2y=e4x−1 3y=ex2−1

4y=e2x2−1 5y=e4x2−1

解説

変数を分離する

.=4x dx

両辺を積分する

.=4x dx

.log|y+1|=2x2+C

.|y+1|=e2x2+C
.y+1=±e2x2+C=±eCe2x2
±eC=Aとおくと
.y=Ae2x2−1

初期条件を使って，積分定数を定める．
x=0のとき，y=0だから
.0=A−1
.A=1
以上により
.y=e2x2−1→4

平成21年度技術士第一次試験問題［共通問題］
【数学】Ⅲ-6

　微分方程式exy’=y2を初期条件「x=0のとき，y=」

のもとで解くと，その解は次のどれか．ただし，eは自然対数の底とする．

1y= 2y= 3y=

4y= 5y=

解説

y’をに直す

.ex =y2

変数を分離する

両辺を積分する

.y−2 dy=e−x dx

.−y−1=−e−x+C

.−=−+C

.=−C=

.y=

初期条件を使って，積分定数を定める．

x=0のとき，y=だから

.1−C=2
.C=−1
以上により
.y==→5

平成22年度技術士第一次試験問題［共通問題］
【数学】Ⅲ-6

　微分方程式y’=を初期条件「x=0のとき，y=0」

の下で解くと，その解は次のどれか．ただし，対数は自然対数とし，eは自然対数の底とする．

1y=log(x+1) 2y=log(2x+1) 3y=log(4x+1)

4y=log(2x2+1) 5y=log(4x2+1)

解説

y’をに直す

変数を分離する
.ey dy=4x dx
両辺を積分する

.ey dy=4x dx

.ey=2x2+C
.y=log(2x2+C)
初期条件を使って，積分定数を定める．
x=0のとき，y=0だから
.0=log C
.C=1
以上により
.y=log(2x2+1)→4

平成23年度技術士第一次試験問題［共通問題］
【数学】Ⅲ-4

　微分方程式y’=ycosxを初期条件「x=0のとき，y=1」の下で解くと，その解は次のどれか．ただし，eは自然対数の底である．

1y=esinx 2y=ecosx 3y=etanx

4y=e −sin x 5y=e −cosx

解説

y’をに直す

.=ycosx

変数を分離する

.=cosx dx

両辺を積分する

.=cosx dx

.log|y|=sinx+C
.|y|=esin x+C
初期条件を使って，積分定数を定める．
x=0のとき，y=1だから
.1=eC
.C=0
以上により
.y=e sin x→1

平成24年度技術士第一次試験問題［共通問題］
【数学】Ⅲ-6

　微分方程式y’−3x2y=0を初期条件「x=0のときy=1」のもとで解くと，その解は次のどれか．ただし，eは自然対数の底とする．

1y=ex2 2y=e2x2 3y=e3x2

4y=ex3 5y=e2x3

解説

y’をに直す

.=3x2y

変数を分離する

.=3x2 dx

両辺を積分する

.=3x2 dx

.log|y|=x3+C

.|y|=ex3+C=eCex3

.y=±eCex3

A=±eCとおくと

.y=Aex3

初期条件を使って，積分定数を定める．
x=0のとき，y=1だから
.1=A
以上により
.y=ex3→4

【補足問題】

$\frac{dy}{dx}=f(ax+ by+ c)$ 形
$\rightarrow\hspace{3}u=ax+ by+ c$ とおくと， $u,\hspace{3}x$ の変数分離形になる

【例１】
　微分方程式
$\frac{dy}{dx}=x-y+ 2$ …(1)
の一般解を求めてください．

（解答）
$u=x-y+ 2$ とおくと
$\frac{du}{dx}=1-\frac{dy}{dx}$ …(2)
(2)に(1)の右辺すなわち $u$ を代入すると
$\frac{du}{dx}=1-u$

これで変数分離形になったので，後は気長に解く

$\frac{du}{1-u}=dx$
$\int\frac{du}{1-u}=\int dx$
$-\log\mid\hspace{2}1-u\hspace{2}\mid=x+ C_1$
$\log\mid\hspace{2}1-u\hspace{2}\mid=-x+ C_2$ （ $-C_1=C_2$ とおく）
$\mid\hspace{2}1-u\hspace{2}\mid=e^{-x+ C_2}=e^{C_2}e^{-x}$
$1-u=\pm e^{C_2}e^{-x}=Ce^{-x}$
$1-(x-y+ 2)=\pm e^{C_2}e^{-x}=Ce^{-x}$
（ $\pm e^{C_2}=C$ とおく）
$-x+ y-1=\pm e^{C_2}e^{-x}=Ce^{-x}$
$y=x+ 1+ Ce^{-x}$ …(*答)

（検算）
(*答)から
$\frac{dy}{dx}=1-Ce^{-x}$ …(**)
(**)と(*答)から任意定数 $C$ を消去すると
$\frac{dy}{dx}=1-(y-x-1)=x-y+ 2$ …(1)
となって，元の微分方程式を満たすことが分かる

【例２】
　微分方程式
$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x+ y}$ …(1)
の一般解を求めてください．

（解答）
$u=x+ y$ とおくと
$\frac{du}{dx}=1+\frac{dy}{dx}$ …(2)
(2)に(1)から $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{u}$ を代入すると
$\frac{du}{dx}=1+\frac{1}{u}=\frac{u+ 1}{u}$

これで変数分離形になったので，後は気長に解く

$\frac{u}{u+ 1}du=dx$
$\int\{1-\frac{1}{u+ 1}\}du=dx$
$u-\log\mid\hspace{2}u+ 1\hspace{2}\mid=x+ C_1$
$\log\mid\hspace{2}u+ 1\hspace{2}\mid=u-x+ C_2$ （ $-C_1=C_2$ とおく）
$\log\mid\hspace{2}x+y+ 1\hspace{2}\mid=y+ C_2$
$\mid\hspace{2}x+ y+ 1\hspace{2}\mid=e^{C_2}e^{y}$
$x+ y+ 1=\pm e^{C_2}e^{y}=Ce^{y}$ …(*答)
（ $\pm e^{C_2}=C$ とおく）

（検算）
(*答)から
$1+\frac{dy}{dx}=Ce^{y}\frac{dy}{dx}$ …(**)
(**)と(*答)から任意定数 $C$ を消去すると
$1+\frac{dy}{dx}=(x+ y+ 1)\frac{dy}{dx}$
$1=(x+ y)\frac{dy}{dx}$
$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x+ y}$ …(1)
となって，元の微分方程式を満たすことが分かる

【例３】
　微分方程式
$\frac{dy}{dx}=(x+ y)^2$ …(1)
の一般解を求めてください．

（解答）
$u=x+ y$ とおくと
$\frac{du}{dx}=1+\frac{dy}{dx}$ …(2)
(2)に(1)から $\frac{dy}{dx}=u^2$ を代入すると
$\frac{du}{dx}=1+ u^2$

これで変数分離形になったので，後は気長に解く

$\frac{du}{u^2+ 1}=dx$
$\int\frac{du}{u^2+ 1}=\int dx$ …(3)

$\int\frac{du}{u^2+ 1}$ の積分計算は，次の置換積分で行う（大学数学基礎）．定番のやり方なので覚えておく方がよい

$u=\tan\theta$ とおくと，
$\frac{du}{d\theta}=\frac{1}{\cos^2\theta}$
$\int\frac{du}{u^2+ 1}=\int\frac{1}{\tan^2\theta+ 1}\cdot\frac{1}{\cos^2\theta}d\theta=\int d\theta=\theta+ C$
$=\tan^{-1}u+ C$
(3)より
$\tan^{-1}u=x+ C$
$\tan^{-1}(x+ y)=x+ C$ …(答)

（検算）
逆三角関数 $\tan^{-1}x$ の微分は，次のようになる．

$z=\tan^{-1}x\rightarrow x=\tan z$
$\frac{dx}{dz}=\frac{1}{\cos^2 z}=\tan^2z+ 1$
$\frac{dz}{dx}=\frac{1}{\tan^2z+ 1}=\frac{1}{x^2+ 1}$

(答)の両辺を $x$ で微分する.
$\frac{1}{(x+ y)^2+ 1}(1+\frac{dy}{dx})=1$
$1+\frac{dy}{dx}=(x+ y)^2+ 1$
$\frac{dy}{dx}=(x+ y)^2$ …(1)
となって，元の微分方程式を満たすことが分かる

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