変数分離形微分方程式

→ 携帯版は別頁 ■変数分離形微分方程式→ 印刷用PDF版は別頁 ※正しい番号をクリックしてください． ※ブラウザによっては，番号枠内でやや上気味の部分が反応することがあります．平成16年度技術士第一次試験問題［共通問題］【数学】Ⅲ-9 　微分方程式=を初期条件「x=1のとき，y=1」のもとで解くと，その解は次のどれか． 1y= 2y= 3y=− 4y= 5y= HELP 変数を分離する .= 両辺を積分する .= .y−2 dy=x−3 dx .y−1=x−2+C .−=−+C .=−C== (←2C=Aとおく) .y= 初期条件を使って，積分定数を定める． x=1のとき，y=1だから .1= .1−A=2 .A=−1 以上により .y=→5	○この頁に登場する【問題】は，公益社団法人日本技術士会のホームページに掲載されている「技術士第一次試験過去問題共通科目A 数学」の引用です．（=公表された著作物の引用） ○【解説】は個人の試案ですが，Ｗｅｂ教材化にあたって「問題の転記ミス」「考え方の間違い」「プログラムの作動ミス」などが含まれる場合があり得ます．　問題や解説についての質問等は，原著作者を煩わせることなく，当Ｗｅｂ教材の作成者（<浅尾>）に対して行ってください．平成17年度技術士第一次試験問題［共通問題］【数学】Ⅲ-6 微分方程式=を初期条件「x=1のとき，y=0」のもとで解くと，その解は次のどれか． 1y=x−1 2y=−x+1 3y=x2−1 4y=−x2+1 5y=x3−1 HELP 変数を分離する .=dx 両辺を積分する .=dx .log\|y−1\|=2log\|x\|+C .log\|y−1\|=logx2+C=logx2+logeC=logx2eC .\|y−1\|=x2eC .y−1=±eCx2 ±eC=Aとおくと .y=Ax2+1 初期条件を使って，積分定数を定める． x=1のとき，y=0だから .0=A+1 .A=−1 以上により .y=−x2+1→4
平成18年度技術士第一次試験問題［共通問題］【数学】Ⅲ-7 　微分方程式=−4xyを初期条件「x=1のとき，y=1」のもとで解くと，その解は次のどれか．ただし，eは自然対数の底とする． 1y=ex 2y=e2x2 3y=−e−2x2 4y=e2x2+2 5y=e−2x2+2 HELP 変数を分離する .=−4x dx 両辺を積分する .=−4x dx .log\|y\|=−2x2+C .\|y\|=e−2x2+C .y=±e−2x2+C=±eCe−2x2 ±eC=Aとおくと .y=Ae−2x2 初期条件を使って，積分定数を定める． x=1のとき，y=1だから .1=Ae−2 .A=e2 以上により .y=e2e−2x2=e2−2x2→5	平成20年度技術士第一次試験問題［共通問題］【数学】Ⅲ-8 　微分方程式=4x(y+1)を初期条件「x=0のとき，y=0」のもとで解くと，その解は次のどれか．ただし，eは自然対数の底である． 1y=e2x−1 2y=e4x−1 3y=ex2−1 4y=e2x2−1 5y=e4x2−1 HELP 変数を分離する .=4x dx 両辺を積分する .=4x dx .log\|y+1\|=2x2+C .\|y+1\|=e2x2+C .y+1=±e2x2+C=±eCe2x2 ±eC=Aとおくと .y=Ae2x2−1 初期条件を使って，積分定数を定める． x=0のとき，y=0だから .0=A−1 .A=1 以上により .y=e2x2−1→4
平成21年度技術士第一次試験問題［共通問題］【数学】Ⅲ-6 　微分方程式exy’=y2を初期条件「x=0のとき，y=」のもとで解くと，その解は次のどれか．ただし，eは自然対数の底とする． 1y= 2y= 3y= 4y= 5y= HELP y’をに直す .ex =y2 変数を分離する .= 両辺を積分する .y−2 dy=e−x dx .−y−1=−e−x+C .−=−+C .=−C= .y= 初期条件を使って，積分定数を定める． x=0のとき，y=だから .= .1−C=2 .C=−1 以上により .y==→5	平成22年度技術士第一次試験問題［共通問題］【数学】Ⅲ-6 　微分方程式y’=を初期条件「x=0のとき，y=0」の下で解くと，その解は次のどれか．ただし，対数は自然対数とし，eは自然対数の底とする． 1y=log(x+1) 2y=log(2x+1) 3y=log(4x+1) 4y=log(2x2+1) 5y=log(4x2+1) HELP y’をに直す .= 変数を分離する .ey dy=4x dx 両辺を積分する .ey dy=4x dx .ey=2x2+C .y=log(2x2+C) 初期条件を使って，積分定数を定める． x=0のとき，y=0だから .0=log C .C=1 以上により .y=log(2x2+1)→4
平成23年度技術士第一次試験問題［共通問題］【数学】Ⅲ-4 　微分方程式y’=ycosxを初期条件「x=0のとき，y=1」の下で解くと，その解は次のどれか．ただし，eは自然対数の底である． 1y=esinx 2y=e cos x 3y=e tan x 4y=e −sin x 5y=e −cos x HELP y’をに直す .=ycosx 変数を分離する .=cosx dx 両辺を積分する .=cosx dx .log\|y\|=sinx+C .\|y\|=esin x+C 初期条件を使って，積分定数を定める． x=0のとき，y=1だから .1=eC .C=0 以上により .y=e sin x→1	平成24年度技術士第一次試験問題［共通問題］【数学】Ⅲ-6 　微分方程式y’−3x2y=0を初期条件「x=0のときy=1」のもとで解くと，その解は次のどれか．ただし，eは自然対数の底とする． 1y=e x2 2y=e 2x2 3y=e 3x2 4y=e x3 5y=e 2x3 HELP y’をに直す .=3x2y 変数を分離する .=3x2 dx 両辺を積分する .=3x2 dx .log\|y\|=x3+C .\|y\|=ex3+C=eCex3 .y=±eCex3 A=±eCとおくと .y=Aex3 初期条件を使って，積分定数を定める． x=0のとき，y=1だから .1=A 以上により .y=ex3→4

【補足問題】

$\frac{dy}{dx}=f(ax+ by+ c)$ 形
$\rightarrow\hspace{3}u=ax+ by+ c$ とおくと， $u,\hspace{3}x$ の変数分離形になる

【例１】
　微分方程式
$\frac{dy}{dx}=x-y+ 2$ …(1)
の一般解を求めてください．

（解答）
$u=x-y+ 2$ とおくと
$\frac{du}{dx}=1-\frac{dy}{dx}$ …(2)
(2)に(1)の右辺すなわち $u$ を代入すると
$\frac{du}{dx}=1-u$

これで変数分離形になったので，後は気長に解く

$\frac{du}{1-u}=dx$
$\int\frac{du}{1-u}=\int dx$
$-\log\mid\hspace{2}1-u\hspace{2}\mid=x+ C_1$
$\log\mid\hspace{2}1-u\hspace{2}\mid=-x+ C_2$ （ $-C_1=C_2$ とおく）
$\mid\hspace{2}1-u\hspace{2}\mid=e^{-x+ C_2}=e^{C_2}e^{-x}$
$1-u=\pm e^{C_2}e^{-x}=Ce^{-x}$
$1-(x-y+ 2)=\pm e^{C_2}e^{-x}=Ce^{-x}$
（ $\pm e^{C_2}=C$ とおく）
$-x+ y-1=\pm e^{C_2}e^{-x}=Ce^{-x}$
$y=x+ 1+ Ce^{-x}$ …(*答)

（検算）
(*答)から
$\frac{dy}{dx}=1-Ce^{-x}$ …(**)
(**)と(*答)から任意定数 $C$ を消去すると
$\frac{dy}{dx}=1-(y-x-1)=x-y+ 2$ …(1)
となって，元の微分方程式を満たすことが分かる

【例２】
　微分方程式
$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x+ y}$ …(1)
の一般解を求めてください．

（解答）
$u=x+ y$ とおくと
$\frac{du}{dx}=1+\frac{dy}{dx}$ …(2)
(2)に(1)から $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{u}$ を代入すると
$\frac{du}{dx}=1+\frac{1}{u}=\frac{u+ 1}{u}$

これで変数分離形になったので，後は気長に解く

$\frac{u}{u+ 1}du=dx$
$\int\{1-\frac{1}{u+ 1}\}du=dx$
$u-\log\mid\hspace{2}u+ 1\hspace{2}\mid=x+ C_1$
$\log\mid\hspace{2}u+ 1\hspace{2}\mid=u-x+ C_2$ （ $-C_1=C_2$ とおく）
$\log\mid\hspace{2}x+y+ 1\hspace{2}\mid=y+ C_2$
$\mid\hspace{2}x+ y+ 1\hspace{2}\mid=e^{C_2}e^{y}$
$x+ y+ 1=\pm e^{C_2}e^{y}=Ce^{y}$ …(*答)
（ $\pm e^{C_2}=C$ とおく）

（検算）
(*答)から
$1+\frac{dy}{dx}=Ce^{y}\frac{dy}{dx}$ …(**)
(**)と(*答)から任意定数 $C$ を消去すると
$1+\frac{dy}{dx}=(x+ y+ 1)\frac{dy}{dx}$
$1=(x+ y)\frac{dy}{dx}$
$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x+ y}$ …(1)
となって，元の微分方程式を満たすことが分かる

【例３】
　微分方程式
$\frac{dy}{dx}=(x+ y)^2$ …(1)
の一般解を求めてください．

（解答）
$u=x+ y$ とおくと
$\frac{du}{dx}=1+\frac{dy}{dx}$ …(2)
(2)に(1)から $\frac{dy}{dx}=u^2$ を代入すると
$\frac{du}{dx}=1+ u^2$

これで変数分離形になったので，後は気長に解く

$\frac{du}{u^2+ 1}=dx$
$\int\frac{du}{u^2+ 1}=\int dx$ …(3)

$\int\frac{du}{u^2+ 1}$ の積分計算は，次の置換積分で行う（大学数学基礎）．定番のやり方なので覚えておく方がよい

$u=\tan\theta$ とおくと，
$\frac{du}{d\theta}=\frac{1}{\cos^2\theta}$
$\int\frac{du}{u^2+ 1}=\int\frac{1}{\tan^2\theta+ 1}\cdot\frac{1}{\cos^2\theta}d\theta=\int d\theta=\theta+ C$
$=\tan^{-1}u+ C$
(3)より
$\tan^{-1}u=x+ C$
$\tan^{-1}(x+ y)=x+ C$ …(答)

（検算）
逆三角関数 $\tan^{-1}x$ の微分は，次のようになる．

$z=\tan^{-1}x\rightarrow x=\tan z$
$\frac{dx}{dz}=\frac{1}{\cos^2 z}=\tan^2z+ 1$
$\frac{dz}{dx}=\frac{1}{\tan^2z+ 1}=\frac{1}{x^2+ 1}$

(答)の両辺を $x$ で微分する.
$\frac{1}{(x+ y)^2+ 1}(1+\frac{dy}{dx})=1$
$1+\frac{dy}{dx}=(x+ y)^2+ 1$
$\frac{dy}{dx}=(x+ y)^2$ …(1)
となって，元の微分方程式を満たすことが分かる

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平成18年度技術士第一次試験問題［共通問題］【数学】Ⅲ-7 　微分方程式=−4xyを初期条件「x=1のとき，y=1」のもとで解くと，その解は次のどれか．ただし，eは自然対数の底とする． 1y=ex 2y=e2x2 3y=−e−2x2 4y=e2x2+2 5y=e−2x2+2 HELP 変数を分離する .=−4x dx 両辺を積分する .=−4x dx .log\|y\|=−2x2+C .\|y\|=e−2x2+C .y=±e−2x2+C=±eCe−2x2 ±eC=Aとおくと .y=Ae−2x2 初期条件を使って，積分定数を定める． x=1のとき，y=1だから .1=Ae−2 .A=e2 以上により .y=e2e−2x2=e2−2x2→5	平成20年度技術士第一次試験問題［共通問題］【数学】Ⅲ-8 　微分方程式=4x(y+1)を初期条件「x=0のとき，y=0」のもとで解くと，その解は次のどれか．ただし，eは自然対数の底である． 1y=e2x−1 2y=e4x−1 3y=ex2−1 4y=e2x2−1 5y=e4x2−1 HELP 変数を分離する .=4x dx 両辺を積分する .=4x dx .log\|y+1\|=2x2+C .\|y+1\|=e2x2+C .y+1=±e2x2+C=±eCe2x2 ±eC=Aとおくと .y=Ae2x2−1 初期条件を使って，積分定数を定める． x=0のとき，y=0だから .0=A−1 .A=1 以上により .y=e2x2−1→4
平成21年度技術士第一次試験問題［共通問題］【数学】Ⅲ-6 　微分方程式exy’=y2を初期条件「x=0のとき，y=」のもとで解くと，その解は次のどれか．ただし，eは自然対数の底とする． 1y= 2y= 3y= 4y= 5y= HELP y’をに直す .ex =y2 変数を分離する .= 両辺を積分する .y−2 dy=e−x dx .−y−1=−e−x+C .−=−+C .=−C= .y= 初期条件を使って，積分定数を定める． x=0のとき，y=だから .= .1−C=2 .C=−1 以上により .y==→5	平成22年度技術士第一次試験問題［共通問題］【数学】Ⅲ-6 　微分方程式y’=を初期条件「x=0のとき，y=0」の下で解くと，その解は次のどれか．ただし，対数は自然対数とし，eは自然対数の底とする． 1y=log(x+1) 2y=log(2x+1) 3y=log(4x+1) 4y=log(2x2+1) 5y=log(4x2+1) HELP y’をに直す .= 変数を分離する .ey dy=4x dx 両辺を積分する .ey dy=4x dx .ey=2x2+C .y=log(2x2+C) 初期条件を使って，積分定数を定める． x=0のとき，y=0だから .0=log C .C=1 以上により .y=log(2x2+1)→4
平成23年度技術士第一次試験問題［共通問題］【数学】Ⅲ-4 　微分方程式y’=ycosxを初期条件「x=0のとき，y=1」の下で解くと，その解は次のどれか．ただし，eは自然対数の底である． 1y=esinx 2y=e cos x 3y=e tan x 4y=e −sin x 5y=e −cos x HELP y’をに直す .=ycosx 変数を分離する .=cosx dx 両辺を積分する .=cosx dx .log\|y\|=sinx+C .\|y\|=esin x+C 初期条件を使って，積分定数を定める． x=0のとき，y=1だから .1=eC .C=0 以上により .y=e sin x→1	平成24年度技術士第一次試験問題［共通問題］【数学】Ⅲ-6 　微分方程式y’−3x2y=0を初期条件「x=0のときy=1」のもとで解くと，その解は次のどれか．ただし，eは自然対数の底とする． 1y=e x2 2y=e 2x2 3y=e 3x2 4y=e x3 5y=e 2x3 HELP y’をに直す .=3x2y 変数を分離する .=3x2 dx 両辺を積分する .=3x2 dx .log\|y\|=x3+C .\|y\|=ex3+C=eCex3 .y=±eCex3 A=±eCとおくと .y=Aex3 初期条件を使って，積分定数を定める． x=0のとき，y=1だから .1=A 以上により .y=ex3→4