→ 携帯版は別頁
== 空間における直線と平面 ==
≪目次≫ …項目名をクリックすれば,目的地に行けます
別のページにある目次

1. 直線と平面の交点の座標
【例題1】
 次の直線と平面の交点の座標を求めてください.
直線,平面
(解答)





が平面の方程式を満たすようなtの値を求める




このとき,…(答)
(別解)…行列を用いた解き方
与えられた直線は、2つの平面の交線だから,求める点は,3つの平面



の交点になる.すなわち



この連立方程式をクラメルの公式や逆行列を使う方法で解けばよい.
≪クラメルの公式≫



≪逆行列を用して解く方法≫





【問題1.1】 
 次の直線と平面の交点の座標を求めてください.
直線,平面
解答を見る解答を隠す

--問題と解答--
【問題1.2】 
 次の直線と平面の交点の座標を求めてください.
直線,平面
解答を見る解答を隠す
【問題1.3】 
 次の直線と平面の交点の座標を求めてください.
直線,平面
解答を見る解答を隠す

2. 2平面の交線の方程式
【例題2】
 次の2平面の交線の方程式を求めてください.
(解答)…高校数学の解き方
連立方程式と考えると


は,未知数が3個,方程式が2個だから不定解になる.そこで,どれか1文字,例えばzについては解かないことに決めて,x, yをzで表す.かっこ( )内の文字については解かない.
…(1)
…(2)
(1)+(2)

(1)×2−(2)

を任意定数として,この結果を表すと



媒介変数と消去して直線の方程式を標準形にすると
…(答)
(別解1)
求める直線の方向ベクトルは,2平面の法線ベクトルに垂直だから,それらの外積で求められる.
のとき,外積は次の式で求められる.

 この問題では,だから

 通るべき1つの点は,例えばz=0を代入して,より

 を通り方向ベクトルに平行な直線の方程式は

各辺に3を掛けると
…(答)
(別解2)…連立方程式の不定解を行基本変形で求める.
 連立方程式


を拡大係数行列で表すと

これを既約階段行列に変形する.
第2行から第1行×2を引く

第1行に第2行を加える

こうして得られた既約階段行列は,次の不定解を表している.


とおいて媒介変数で表すと



媒介変数を消去して標準形で書くと
…(答)
※上記の解答と比べると,形が異なるために同じ直線を表しているようには見えないが

で1対1に対応している
【問題2.1】 
 次の2平面の交線の方程式を求めてください.
解答を見る解答を隠す
【問題2.2】 
 次の2平面の交線の方程式を求めてください.
解答を見る解答を隠す
【問題2.3】 
 次の2平面の交線の方程式を求めてください.
解答を見る解答を隠す

3. 直線と点を含む平面の方程式
【例題3】
 直線と点を含む平面の方程式を求めてください.
(解答)…3点を通る平面として求める
直線の方程式を,媒介変数表示で表わすと



だから,例えばt=0, 1とすると直線上の2点,の座標が得られる.
 そこで,これら3点P,Q,Rを通る平面の方程式をとおいて,を求めるとよい.(比率のみ定まる)
を通るから
…(1)
を通るから
…(2)
を通るから
…(3)
未知数が4個,方程式が3個だから不定解になる.そこでについては解かないことにして,他の文字をで表す.
…(1’)
…(2’)
…(3’)
(1’)−(2’)×2

(3’)−(2’)×2



ゆえに
…(答)
(別解1)…平面を張る2つのベクトルで表示する方法
を通り2つの1次独立なベクトルで張られる平面のベクトル表示は

いま1つのべクトルとして,が使える.もう1つのベクトルとして,を使う.

成分に分けて媒介変数表示にすると
…(1)
…(2)
…(3)
この媒介変数表示から,2つの媒介変数を消去して,x,y,zの方程式にすればよい
(1)から
これを(2)(3)に代入


…(4)
…(5)
(4)×5+(5)×3

…(答)

(別解2)…直線が平面に含まれる条件を恒等式で考える
求める平面の方程式をとおく.
直線(媒介変数表示)



上の任意の点が平面上にあるには

が任意のtの値に対して成り立つこと(=tの恒等式であること)が必要条件になる.

したがって
…(1)
…(2)
また,点も平面上にあるから
…(3)
この連立方程式の不定解は一番初めの解答のようにしても求められるが,次のように既約階段行列に変形することによっても求められる.

第2行から第1行を引く,第3行から第1行の2倍を引く

第3行に−1を掛ける,さらに第3行を第2行と入れ換える

第1行から第2行の2倍を引く,第3行に第2行の4倍を加える

第3行を20で割る

第1行に第3行の7倍を加える,第2行から第3行の5倍を引く

以上から



よって

…(答)

(別解3)…平面を張る2つのベクトルの外積から平面の法線ベクトルを求める
直線の方程式を,媒介変数表示で表わすと



だから,例えばt=0, 1とすると直線上の2点,の座標が得られる.このとき,と結んだ2つのベクトルは平面を張る2つのベクトルであり,それらの外積は平面の法線ベクトルになる.


したがって,平面の方程式は

…(答)
(別解4)…平面を張る2つのベクトルと平面上のベクトルが1次従属になる条件を考える
 右図のように2つのベクトルで張られる平面上にベクトルがあるとき,を用いて表され,これら3つのベクトルは1次従属になる.

が「1次従属である」すなわち「自明解以外の解を持つ」ための条件は,係数行列の行列式の値が0になることだから,

 この問題に即した数字に直すと



…(答)

【問題3.1】 
 直線と点を含む平面の方程式を求めてください.
解答を見る解答を隠す
【問題3.2】 
 直線と点を含む平面の方程式を求めてください.
解答を見る解答を隠す

4. 直線1を含み直線2と平行な平面の方程式
【例題4】
直線を含み,直線と平行な平面の方程式を求めてください.
(解答)…3つのベクトルが1次従属になる条件から求める
を通り,2つのベクトルで張られる平面を考えるとよいから

第1列に沿って余因子展開すると

…(答)
(参考)
直線を含み,直線に平行な平面という問題の場合は
を通り,2つのベクトルで張られる平面を考えるとよいから

第1列に沿って余因子展開すると

…(答)
【問題4.1】 
直線を含み,直線と平行な平面の方程式を求めてください.
解答を見る解答を隠す
【問題4.2】 
直線を含み,直線と平行な平面の方程式を求めてください.
解答を見る解答を隠す

【問題4.3】 
交わる2直線, を含む平面の方程式を求めてください.
解答を見る解答を隠す
【問題4.4】 
交わる2直線, を含む平面の方程式を求めてください.
解答を見る解答を隠す

5. 直線を含み平面に垂直な平面の方程式
【例題5】
直線を含み,平面に垂直な平面の方程式を求めてください.
(解答)
 平面に垂直であるから,平面の法線ベクトルと平行になる.
 点を通り,2つのベクトルで張られる平面を求める.

…(答)
【問題5.1】 
直線を含み平面に垂直な平面の方程式を求めてください.
解答を見る解答を隠す
【問題5.2】 
2点を通り,平面に垂直な平面の方程式を求めてください.
解答を見る解答を隠す
【問題5.3】 
2点を通り,平面に垂直な平面の方程式を求めてください.
解答を見る解答を隠す

6. 直線と平面がなす角
 直線の方向ベクトルが,平面の法線ベクトルがであるとき,これら2つのベクトルのなす角を,直線と平面がなる角をとすると,
ア) 図中に黄色で示したようにとなるときは,直線と平面のなす角は,水色で示した角に等しい.
イ) 図中に桃色で示したようにとなるときは,直線と平面のなす角は,水色で示した角に等しい.

であるから,

【例題6】
直線と平面がなす角を求めてください.
(解答)
直線の方向ベクトル,平面の法線ベクトルがなす角は


であるから,
直線と平面のなす角は…[高校の答え]
(大学では,またはを解答とすることもある[2つ答える])
【問題6.1】 
直線と平面がなす角を求めてください.
解答を見る解答を隠す
○===メニューに戻る