空間における直線の方程式,平面の方程式

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== 空間における直線と平面 == ≪目次≫ …項目名をクリックすれば，目的地に行けます

1.　直線と平面の交点の座標
2.　2平面の交線の方程式
3.　直線と点を含む平面の方程式
4.　直線1を含み直線2と平行な平面の方程式

（交わる2直線を含む平面の方程式）

5.　直線を含み平面に垂直な平面の方程式

（2点を通り平面に垂直な平面の方程式）

6.　直線と平面がなす角

別のページにある目次

1. 1点を通り方向ベクトル $\vec{u}$ に平行な直線の方程式
2. 1点を通り直線2に平行な直線1の方程式
3. 2点を通る直線の方程式
4. 点と直線の距離
5. 平行な2直線間の距離
6. ねじれの位置にある2直線間の距離
7. 直線の方向余弦
8. ２直線のなす角

1. 法線ベクトルによる平面の方程式
2. 2つのベクトルで張られる平面の方程式
3. 3点を通る平面の方程式
4. 点と平面の距離
5. ヘッセの標準形
6. 2平面のなす角
7. 2平面の交角を二等分する平面

1.　直線と平面の交点の座標

【例題1】
　次の直線と平面の交点の座標を求めてください．

直線 $\frac{1-x}{3}=y-1=\frac{z+ 4}{2}$ ，平面 $x-2y+ 3z+ 10=0$

（解答）
$\vec{OP}=\vec{OP_1}+ t\vec{u}$
$(x,\hspace{2}y,\hspace{2}z)=(1,\hspace{2}1,\hspace{2}-4)+ t(-3,\hspace{2}1,\hspace{2}2)$

$x=1-3t$
$y=t+ 1$
$z=2t-4$
が平面の方程式を満たすようなｔの値を求める
$(1-3t)-2(t+ 1)+ 3(2t-4)+ 10=0$
$1-3t-2t-2+ 6t-12+ 10=0$
$t-3=0$
$t=3$
このとき， $(x,\hspace{2}y,\hspace{2}z)=(-8,\hspace{2}4,\hspace{2}2)$ …（答）

（別解）…行列を用いた解き方
与えられた直線は､２つの平面 $\frac{1-x}{3}=y-1$ ， $y-1=\frac{z+ 4}{2}$ の交線だから，求める点は，３つの平面

$\frac{1-x}{3}=y-1$
$y-1=\frac{z+ 4}{2}$
$x-2y+ 3z+ 10=0$
の交点になる．すなわち

$x+ 3y+ 0z=4$
$0x+ 2y-z=6$
$x-2y+ 3z=-10$
この連立方程式をクラメルの公式や逆行列を使う方法で解けばよい．

≪クラメルの公式≫
$x=\frac{\begin{vmatrix}4& 3& 0\\6& 2& -1\\-10&-2& 3\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1& 3& 0\\0& 2& -1\\1&-2& 3\end{vmatrix}}=-8$

$y=\frac{\begin{vmatrix}1& 4& 0\\0& 6& -1\\1&-10& 3\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1& 3& 0\\0& 2& -1\\1&-2& 3\end{vmatrix}}=4$

$z=\frac{\begin{vmatrix}1& 3& 4\\0& 2& 6\\1&-2& -10\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1& 3& 0\\0& 2& -1\\1&-2& 3\end{vmatrix}}=2$

≪逆行列を用して解く方法≫
$\begin{pmatrix}1& 3& 0\\0& 2& -1\\1&-2& 3\end{pmatrix}^{-1}$
$=\begin{pmatrix}4& -9& -3\\-1& 3& 1\\-2& 5& 2\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4& -9& -3\\-1& 3& 1\\-2& 5& 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4\\6\\-10\end{pmatrix}$
$=\begin{pmatrix}-8\\ 4\\2\end{pmatrix}$

【問題1.1】　
　次の直線と平面の交点の座標を求めてください．

直線 $\frac{x-3}{2}=\frac{y+ 4}{3}=\frac{z-5}{4}$ ，平面 $2x-y+ 2z-2=0$

解答を見る解答を隠す

（解答）
$(x,\hspace{2}y,\hspace{2}z)=(3,\hspace{2}-4,\hspace{2}5)+ t(2,\hspace{2}3,\hspace{2}4)$

$x=2t+ 3$
$y=3t-4$
$z=4t+ 5$
が平面の方程式を満たすようなｔの値を求める
$2(2t+ 3)-(3t-4)+ 2(4t+ 5)-2=0$
$4t+ 6-3t+ 4+ 8t+ 10-2=0$
$9t+ 18=0$
$t=-2$
このとき， $(x,\hspace{2}y,\hspace{2}z)=(-1,\hspace{2}-10,\hspace{2}-3)$ …（答）

（別解）…行列を用いた解き方
与えられた直線は､２つの平面 $\frac{x-3}{2}=\frac{y+ 4}{3}$ ， $\frac{y+ 4}{3}=\frac{z-5}{4}$ の交線だから，求める点は，３つの平面

$\frac{x-3}{2}=\frac{y+ 4}{3}$
$\frac{y+ 4}{3}=\frac{z-5}{4}$
$2x-y+ 2z-2=0$
の交点になる．すなわち

$3x-2y=17$
$4y-3z=-31$
$2x-y+ 2z=2$
この連立方程式をクラメルの公式で解けばよい．
$x=\frac{\begin{vmatrix}17& -2& 0\\-31& 4& -3\\2&-1& 2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}3& -2& 0\\0& 4& -3\\2&-1& 2\end{vmatrix}}=-1$

$y=\frac{\begin{vmatrix}3& 17& 0\\0& -31& -3\\2& 2& 2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}3& -2& 0\\0& 4& -3\\2&-1& 2\end{vmatrix}}=-10$

$z=\frac{\begin{vmatrix}3& -2& 17\\0& 4& -31\\2&-1& 2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}3& -2& 0\\0& 4& -3\\2&-1& 2\end{vmatrix}}=-3$
$(x,\hspace{2}y,\hspace{2}z)=(-1,\hspace{2}-10,\hspace{2}-3)$ …（答）

--問題と解答--

【問題1.2】　
　次の直線と平面の交点の座標を求めてください．

直線 $x-2=\frac{y}{-2}=\frac{z-1}{3}$ ，平面 $x+ y+ 2z+ 1=0$

解答を見る解答を隠す

$(x,\hspace{2}y,\hspace{2}z)=(1,\hspace{2}2,\hspace{2}-2)$ …（答）

【問題1.3】　
　次の直線と平面の交点の座標を求めてください．

直線 $\frac{x+ 1}{-2}=\frac{y-2}{3},\hspace{2}z=1$ ，平面 $3x-2y+ 4z-9=0$

解答を見る解答を隠す

$(x,\hspace{2}y,\hspace{2}z)=(1,\hspace{2}-1,\hspace{2}1)$ …（答）

2.　2平面の交線の方程式

【例題2】
　次の2平面の交線の方程式を求めてください．

$x-y-z-3=0$ ， $2x+ y-z-4=0$

（解答）…高校数学の解き方
連立方程式と考えると

$x-y-z-3=0$
$2x+ y-z-4=0$
は，未知数が3個，方程式が2個だから不定解になる．そこで，どれか１文字，例えばzについては解かないことに決めて，x, yをzで表す．かっこ(　)内の文字については解かない．

$x-y=(z+ 3)$ …(1)
$2x+ y=(z+ 4)$ …(2)
(1)+(2)
$3x=(2z+ 7)$
(1)×2−(2)
$-3y=(z+ 2)$
$z=t$ を任意定数として，この結果を表すと

$3x=2t+ 7$
$-3y=t+ 2$
$z=t$
媒介変数と消去して直線の方程式を標準形にすると
$\fra{3x-7}{2}=-3y-2=z$ …（答）

（別解1）
求める直線の方向ベクトルは，２平面の法線ベクトルに垂直だから，それらの外積で求められる．
$\vec{n_1}=(x_1,\hspace{2}y_1,\hspace{2}z_1)$ ， $\vec{n_2}=(x_2,\hspace{2}y_2,\hspace{2}z_2)$ のとき，外積は次の式で求められる．
$\vec{n_1}\times\vec{n_2}=\begin{vmatrix}\vec{e_1}&\vec{e_2}&\vec{e_3}\\x_1& y_1& z_1\\x_2& y_2& z_2\end{vmatrix}$
　この問題では， $\vec{n_1}=(1,\hspace{2}-1,\hspace{2}-1)$ ， $\vec{n_2}=(2,\hspace{2}1,\hspace{2}-1)$ だから
$\vec{u}=\vec{n_1}\times\vec{n_2}=\begin{vmatrix}\vec{e_1}&\vec{e_2}&\vec{e_3}\\1& -1& -1\\2& 1& -1\end{vmatrix}=(2,\hspace{2}-1,\hspace{2}3)$
　通るべき1つの点は，例えばz=0を代入して， $x-y-3=0,\hspace{2}2x+ y-4=0$ より
$(x,\hspace{2}y,\hspace{2}z)=(\frac{7}{3},\hspace{2}-\frac{2}{3},\hspace{2}0)$

　 $(\frac{7}{3},\hspace{2}-\frac{2}{3},\hspace{2}0)$ を通り方向ベクトル $\vec{u}=(2,\hspace{2}-1,\hspace{2}3)$ に平行な直線の方程式は
$\frac{x-\frac{7}{3}}{2}=\frac{y+\frac{2}{3}}{-1}=\frac{z}{3}$
各辺に３を掛けると
$\frac{3x-7}{2}=-3y-2=z$ …（答）

（別解2）…連立方程式の不定解を行基本変形で求める．
　連立方程式

$x-y-z=3$
$2x+ y-z=4$
を拡大係数行列で表すと
$\left(\begin{matrix}1& -1& -1\\2& 1& -1\end{matrix}\hspace{5}\left|\hspace{5}\begin{matrix}3\\ 4\end{matrix}\right)$
これを既約階段行列に変形する．
第2行から第1行×2を引く
$\left(\begin{matrix}1& -1& -1\\0& 3& 1\end{matrix}\hspace{5}\left|\hspace{5}\begin{matrix}3\\ -2\end{matrix}\right)$
第1行に第2行を加える
$\left(\begin{matrix}1& 2& 0\\0& 3& 1\end{matrix}\hspace{5}\left|\hspace{5}\begin{matrix}1\\ -2\end{matrix}\right)$
こうして得られた既約階段行列は，次の不定解を表している．

$x+ 2y=1$
$3y+ z=-2$
$y=s$ とおいて媒介変数 $s$ で表すと

$x=1-2s$
$y=s$
$z=-3s-2$
媒介変数を消去して標準形で書くと
$\frac{x-1}{-2}=y=\frac{z+ 2}{-3}$ …（答）
※上記の解答と比べると，形が異なるために同じ直線を表しているようには見えないが
$s=-3t-2\hspace{10}(-\infty\lt t\lt \infty)$
で1対1に対応している

【問題2.1】　
　次の2平面の交線の方程式を求めてください．
$2x+ y-3z+ 3=0,\hspace{5}3x+ y-2z=0$

解答を見る解答を隠す

（解答）
高校数学で（行列を使わずに）解く
未知数が３個で方程式が2個だから不定解になる．zについては解かないことに決める．
かっこ(　)内の文字については解かない．

$2x+ y=(3z+ 3)$ …(1)
$3x+ y=(2z)$ …(2)
第2式から第1式を引く
$x=(-z+ 3)$
この結果を第1式に代入する
$y=(5z-9)$
$z=t$ とおいて媒介変数 $t$ で表すと

$x=-t+ 3$
$y=5t-9$
$z=t$
媒介変数を消去して標準形で書くと
$\frac{x-3}{-1}=\frac{y+ 9}{5}=z$ …（答）

（別解1）
求める直線の方向ベクトルは，２平面の法線ベクトルに垂直だから，それらの外積で求められる．
　 $\vec{n_1}=(2,\hspace{2}1,\hspace{2}-3)$ ， $\vec{n_2}=(3,\hspace{2}1,\hspace{2}-2)$ だから
$\vec{u}=\vec{n_1}\times\vec{n_2}=\begin{vmatrix}\vec{e_1}&\vec{e_2}&\vec{e_3}\\2& 1& -3\\3& 1& -2\end{vmatrix}=(1,\hspace{2}-5,\hspace{2}-1)$
通るべき1つの点は，例えばz=0を代入して， $2x+ y+ 3=0,\hspace{2}3x+ y=0$ より
$(x,\hspace{2}y,\hspace{2}z)=(3,\hspace{2}-9,\hspace{2}0)$
$(3,\hspace{2}-9,\hspace{2}0)$ を通り方向ベクトル $\vec{u}=(1,\hspace{2}-5,\hspace{2}-1)$ に平行な直線の方程式は
$\frac{x-3}{1}=\frac{y+ 9}{-5}=\frac{z}{-1}$ …（答）

（別解2）…連立方程式の不定解を行基本変形で求める．
　連立方程式

$2x+ y-3z+ 3=0$
$3x+ y-2z=0$
を拡大係数行列で表すと
$\left(\begin{matrix}2& 1& -3\\3& 1& -2\end{matrix}\hspace{5}\left|\hspace{5}\begin{matrix}-3\\ 0\end{matrix}\right)$
これを既約階段行列に変形する．
第1行から第2行を引く
$\left(\begin{matrix}-1& 0& -1\\3& 1& -2\end{matrix}\hspace{5}\left|\hspace{5}\begin{matrix}-3\\ 0\end{matrix}\right)$
第1行に−1を掛ける
$\left(\begin{matrix}1& 0& 1\\3& 1& -2\end{matrix}\hspace{5}\left|\hspace{5}\begin{matrix}3\\ 0\end{matrix}\right)$
第2行から第1行の3倍を引く
$\left(\begin{matrix}1& 0& 1\\0& 1& -5\end{matrix}\hspace{5}\left|\hspace{5}\begin{matrix}3\\ -9\end{matrix}\right)$
これにより，次の結果が得られる

$x+ z=3$
$y-5z=-9$
$z=s$ とおいて媒介変数 $z$ で表すと

$x=-s+ 3$
$y=5s-9$
$z=s$
媒介変数を消去して標準形で書くと
$\frac{x-3}{-1}=\frac{y+ 9}{5}=z$ …（答）

【問題2.2】　
　次の2平面の交線の方程式を求めてください．
$x-2y+ 2z=5,\hspace{5}x+ y-4z=2$

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$\frac{x-3}{2}=\frac{y+ 1}{2}=z$ …（答）

【問題2.3】　
　次の2平面の交線の方程式を求めてください．
$2x-y+ z-3=0,\hspace{5}-3x+ 5y-2z+ 1=0$

解答を見る解答を隠す

$\frac{x-2}{-3}=y-1=\frac{z}{7}$ …（答）

3.　直線と点を含む平面の方程式

【例題3】

　直線 $x-1=\frac{y+ 2}{2}=\frac{z-3}{3}$ と点 $P(2,\hspace{2}3,\hspace{2}1)$ を含む平面の方程式を求めてください．

（解答）…3点を通る平面として求める

直線 $x-1=\frac{y+ 2}{2}=\frac{z-3}{3}$ の方程式を，媒介変数表示で表わすと

$x=t+ 1$
$y=2t-2$
$z=3t+ 3$
だから，例えばt=0, 1とすると直線上の２点 $Q(1,\hspace{2}-2,\hspace{2}3)$ , $R(2,\hspace{2}0,\hspace{2}6)$ の座標が得られる．
　そこで，これら3点P,Q,Rを通る平面の方程式を $ax+ by+ cz+ d=0$ とおいて， $a,\hspace{2}b,\hspace{2}c,\hspace{2}d$ を求めるとよい．（比率のみ定まる）
$P(2,\hspace{2}3,\hspace{2}1)$ を通るから
$2a+ 3b+ c+ d=0$ …(1)
$Q(1,\hspace{2}-2,\hspace{2}3)$ を通るから
$a-2b+ 3c+ d=0$ …(2)
$R(2,\hspace{2}0,\hspace{2}6)$ を通るから
$2a+ 6c+ d=0$ …(3)
未知数が4個，方程式が3個だから不定解になる．そこで $d$ については解かないことにして，他の文字を $d$ で表す．

$2a+ 3b+ c=(-d)$ …(1’)
$a-2b+ 3c=(-d)$ …(2’)
$2a+ 6c=(-d)$ …(3’)
(1’)−(2’)×2
$7b-5c=(d)$
(3’)−(2’)×2
$4b=(d)$
$b=\frac{d}{4},\hspace{3}c=\frac{3}{20}d,\hspace{3}a=-\frac{19}{20}d$
$a:b:c:d=-\frac{19}{20}:\frac{1}{4}:\frac{3}{20}:1=-19:5:3:20$
ゆえに
$-19x+ 5y+ 3z+ 20=0$ …（答）

（別解1）…平面を張る2つのベクトルで表示する方法

点 $P_1(x_1,\hspace{2}y_1,\hspace{2}z_1)$ を通り２つの1次独立なベクトル $\vec{l_1}=(l_1,\hspace{2}m_1,\hspace{2}n_1)$ ， $\vec{l_2}=(l_l,\hspace{2}m_2,\hspace{2}n_2)$ で張られる平面のベクトル表示は
$\vec{x}=\vec{OP_1}+ s\vec{l_1}+ t\vec{l_2}$
いま１つのべクトルとして， $\vec{l_1}=(1,\hspace{2}2,\hspace{2}3)$ が使える．もう１つのベクトルとして， $\vec{l_2}=\vec{PQ}=(-1,\hspace{2}-5,\hspace{2}2)$ を使う．
$(x,\hspace{2}y,\hspace{2}z)=(2,\hspace{2}3,\hspace{2}1)+ s(1,\hspace{2}2,\hspace{2}3)+ t(-1,\hspace{2}-5,\hspace{2}2)$
成分に分けて媒介変数表示にすると

$x=2+ s-t$ …(1)
$y=3+ 2s-5t$ …(2)
$z=1+ 3s+ 2t$ …(3)
この媒介変数表示から，２つの媒介変数を消去して，x,y,zの方程式にすればよい
(1)から $s=x-2+ t$
これを(2)(3)に代入

$y=3+ 2(x-2+ t)-5t$
$z=1+ 3(x-2+ t)+ 2t$

$-2x+ y+ 1+ 3t=0$ …(4)
$-3x+ z+ 5-5t=0$ …(5)
(4)×5+(5)×3
$5(-2x+ y+ 1+ 3t)+ 3(-3x+ z+ 5-5t)=0$
$-19x+ 5y+ 3z+ 20=0$ …（答）

（別解2）…直線が平面に含まれる条件を恒等式で考える
求める平面の方程式を $ax+ by+ cz+ d=0$ とおく．
直線（媒介変数表示）

$x=t+ 1$
$y=2t-2$
$z=3t+ 3$
上の任意の点が平面上にあるには
$a(t+ 1)+ b(2t-2)+ c(3t+ 3)+ d=0$
が任意のtの値に対して成り立つこと(=tの恒等式であること)が必要条件になる．
$t(a+ 2b+ 3c)+(a-2b+ 3c+ d)=0$
したがって
$a+ 2b+ 3c=0$ …(1)
$a-2b+ 3c+ d=0$ …(2)
また，点 $P(2,\hspace{2}3,\hspace{2}1)$ も平面上にあるから
$2a+ 3b+ c+ d=0$ …(3)
この連立方程式の不定解は一番初めの解答のようにしても求められるが，次のように既約階段行列に変形することによっても求められる．
$\begin{matrix}1& 2& 3& 0\\1& -2& 3& 1\\2& 3& 1& 1\end{matrix}$
第2行から第1行を引く，第3行から第1行の2倍を引く
$\begin{matrix}1& 2& 3& 0\\0& -4& 0& 1\\0& -1& -5& 1\end{matrix}$

第3行に−1を掛ける，さらに第3行を第2行と入れ換える
$\begin{matrix}1& 2& 3& 0\\0& 1& 5& -1\\0& -4& 0& 1\end{matrix}$
第1行から第2行の2倍を引く,第3行に第2行の4倍を加える
$\begin{matrix}1& 0& -7& 2\\0& 1& 5& -1\\0& 0& 20& -3\end{matrix}$
第3行を20で割る
$\begin{matrix}1& 0& -7& 2\\0& 1& 5& -1\\0& 0& 1& -\frac{3}{20}\end{matrix}$
第1行に第3行の7倍を加える，第2行から第3行の5倍を引く
$\begin{matrix}1& 0& 0&\frac{19}{20}\\0& 1& 0& -\frac{1}{4}\\0& 0& 1& -\frac{3}{20}\end{matrix}$
以上から
$a+\frac{19}{20}d=0$
$b-\frac{1}{4}d=0$
$c-\frac{9}{20}d=0$
よって
$a:b:c:d=-\frac{19}{20}:\frac{1}{4}:\frac{3}{20}:1=-19:5:3:20$
$-19x+ 5y+ 3z+ 20=0$ …（答）

（別解3）…平面を張る２つのベクトルの外積から平面の法線ベクトルを求める

直線 $x-1=\frac{y+ 2}{2}=\frac{z-3}{3}$ の方程式を，媒介変数表示で表わすと

$x=t+ 1$
$y=2t-2$
$z=3t+ 3$
だから，例えばt=0, 1とすると直線上の２点 $Q(1,\hspace{2}-2,\hspace{2}3)$ , $R(2,\hspace{2}0,\hspace{2}6)$ の座標が得られる．このとき， $P(2,\hspace{2}3,\hspace{2}1)$ と結んだ２つのベクトル $\vec{PQ}=(-1,\hspace{2}-5,\hspace{2}-2)$ ， $\vec{PR}=(0,\hspace{2}-3,\hspace{2}5)$ は平面を張る２つのベクトルであり，それらの外積は平面の法線ベクトルになる．
$\vec{n}=\vec{PQ}\times\vec{PR}=\begin{vmatrix}\vec{e_1}&\vec{e_2}&\vec{e_3}\\-1&-5&-2\\0&-3& 5\end{vmatrix}$
$(-19,\hspace{2}5,\hspace{2}3)$
したがって，平面の方程式は
$-19(x-2)+ 5(y-3)+ 3(z-1)=0$
$-19x+ 5y+ 3z+ 20=0$ …（答）

（別解4）…平面を張る２つのベクトルと平面上のベクトルが1次従属になる条件を考える

　右図のように２つのベクトル $\vec{u}=(l_1,\hspace{2}m_1,\hspace{2}n_1)$ ， $\vec{v}=(l_2,\hspace{2}m_2,\hspace{2}n_2)$ で張られる平面上にベクトル $\vec{P_0P}=(x-x_0,\hspace{2}y-y_0,\hspace{2}z-z_0)$ があるとき， $\vec{P_0P}$ は $\vec{u},\hspace{2}\vec{v}$ を用いて表され，これら３つのベクトルは1次従属になる．
$a\begin{pmatrix}x-x_0\\y-y_0\\z-z_0\end{pmatrix}+ b\begin{pmatrix}l_1\\m_1\\n_1\end{pmatrix}+ c\begin{pmatrix}l_2\\m_2\\n_2\end{pmatrix}=\vec{0}$
が「1次従属である」すなわち「自明解 $a=b=c=0$ 以外の解を持つ」ための条件は，係数行列の行列式の値が0になることだから，
$\begin{vmatrix}x-x_0& l_1& l_2\\y-y_0& m_1& m_2\\z-z_0& n_1& n_2\end{vmatrix}=0$
　この問題に即した数字に直すと
$\begin{vmatrix}x-2& -1& 0\\y-3& -5& -3\\z-1& -2& 5\end{vmatrix}=0$
$(-25+ 6)(x-2)+ 5(y-3)+ 3(z-1)=0$
$-19x+ 38+ 5y-15+ 3z-3=0$
$-19x+ 5y+ 3z+ 20=0$ …（答）

【問題3.1】　

　直線 $\frac{x+ 1}{3}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{4}$ と点 $P_0(0,\hspace{2}1,\hspace{2}2)$ を含む平面の方程式を求めてください．

解答を見る解答を隠す

【例題3】別解4のベクトルが1次従属になるための条件を使って解く方法
$\vec{P_0P}=(x,\hspace{2}y-1,\hspace{2}z-2)$
$\vec{u}=(3,\hspace{2}2,\hspace{2}4)$
$\vec{v}=\vec{P_0P_1}=(1,\hspace{2}0,\hspace{2}0)$
の３つのベクトルが１次従属であるための条件は，
$\begin{vmatrix}x& 3& -1\\y-1& 2& 0\\z-2& 4& 0\end{vmatrix}=0$
第1列に沿って余因子展開する
$x\times 0+ (y-1)\times (-4)+ (z-2)\times 2=0$
したがって $z=2y$ …（答）

【問題3.2】　

　直線 $\frac{x-3}{2}=\frac{y-4}{3}=\frac{z+ 1}{-1}$ と点 $P_0(-1,\hspace{2}2,\hspace{2}3)$ を含む平面の方程式を求めてください．

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問題3.1と同様に3つのベクトルが１次従属になる条件から求める
$\vec{P_0P}=(x+ 1,\hspace{2}y-2,\hspace{2}z-3)$
$\vec{u}=(2,\hspace{2}3,\hspace{2}-1)$
$P_1(3,\hspace{2}4,\hspace{2}-1)$ に対して， $\vec{v}=\vec{P_0P_1}=(4,\hspace{2}2,\hspace{2}-4)$
の３つのベクトルが１次従属であるための条件は，
$\begin{vmatrix}x+ 1& 2& 4\\y-2& 3& 2\\z-3& -1& -4\end{vmatrix}=0$
第1列に沿って余因子展開する
$-10(x+ 1)+ 4(-2)-8(z-3)=0$
したがって $5x-2y+ 4z-3=0$ …（答）

4.　直線1を含み直線2と平行な平面の方程式

【例題4】

直線 $\frac{x-1}{3}=\frac{y+ 1}{-2}=z-3$ を含み，直線 $x+ 2=\frac{y-2}{3}=\frac{z+ 1}{-2}$ と平行な平面の方程式を求めてください．

（解答）…3つのベクトルが１次従属になる条件から求める
点 $P_0(1,\hspace{2}-1,\hspace{2}3)$ を通り，２つのベクトル $\vec{u}=(3,\hspace{2}-2,\hspace{2}1)$ ， $\vec{v}=(1,\hspace{2}3,\hspace{2}-2)$ で張られる平面を考えるとよいから
$\begin{vmatrix}x-1& 3& 1\\y+ 1& -2& 3\\z-3& 1& -2\end{vmatrix}=0$
第1列に沿って余因子展開すると
$(x-1)+ 7(y+ 1)+ 11(z-3)=0$
$x+ 7y+ 11z-27=0$ …（答）

（参考）

直線 $x+ 2=\frac{y-2}{3}=\frac{z+ 1}{-2}$ を含み，直線 $\frac{x-1}{3}=\frac{y+ 1}{-2}=z-3$ に平行な平面という問題の場合は
点 $P_1(-2,\hspace{2}2,\hspace{2}-1)$ を通り，２つのベクトル $\vec{u}=(3,\hspace{2}-2,\hspace{2}1)$ ， $\vec{v}=(1,\hspace{2}3,\hspace{2}-2)$ で張られる平面を考えるとよいから
$\begin{vmatrix}x+ 2& 3& 1\\y-2& -2& 3\\z+ 1& 1& -2\end{vmatrix}=0$
第1列に沿って余因子展開すると
$(x+ 2)+ 7(y-2)+ 11(z+ 1)=0$
$x+ 7y+ 11z-1=0$ …（答）

【問題4.1】　

直線 $\frac{x-1}{2}=y+ 2=\frac{z}{3}$ を含み，直線 $\frac{1-x}{3}=\frac{y+ 1}{2}=z-2$ と平行な平面の方程式を求めてください．

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$\begin{vmatrix}x-1& 2& -3\\y+ 2& 1& 2\\z& 3& 1\end{vmatrix}=0$
$5x+ 11y-7z+ 17=0$ …（答）

【問題4.2】　

直線 $\frac{x+ 1}{-1}=\frac{y+ 3}{2}=\frac{z-2}{3}$ を含み，直線 $x=\frac{y-1}{3}=-z-4$ と平行な平面の方程式を求めてください．

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$\begin{vmatrix}x+ 1& -1& 1\\y+ 3& 2& 3\\z-2& 3& -1\end{vmatrix}=0$
$-11x+ 2y-5z+ 5=0$ …（答）

【問題4.3】　

交わる２直線 $x-1=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-3}{2}$ , $\frac{x-2}{2}=y-1=\frac{z-5}{3}$ を含む平面の方程式を求めてください．

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点 $(1,\hspace{2}2,\hspace{2}3)$ を通り，２つのベクトル $\vec{l_1}=(1,\hspace{2}-1,\hspace{2}2)$ , $\vec{l_2}=(2,\hspace{2}1,\hspace{2}3)$ で張られる平面を求めよとよいから，解き方としては前問と同じになる．
$\begin{vmatrix}x-1& 1& 2\\y-2& -1& 1\\z-3& 2& 3\end{vmatrix}=0$
$5x-y-3z+ 6=0$ …（答）

（別解）
点 $(2,\hspace{2}1,\hspace{2}5)$ を通り，２つのベクトル $\vec{l_1}=(1,\hspace{2}-1,\hspace{2}2)$ , $\vec{l_2}=(2,\hspace{2}1,\hspace{2}3)$ で張られる平面と考える
$\begin{vmatrix}x-2& 1& 2\\y-1& -1& 1\\z-5& 2& 3\end{vmatrix}=0$
$5x-y-3z+ 6=0$ …（答）

【問題4.4】　

交わる２直線 $\frac{x+ 1}{2}=\frac{y-1}{3}=\frac{z+ 2}{-1}$ , $\frac{x-2}{-1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z+ 8}{5}$ を含む平面の方程式を求めてください．

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点 $(-1,\hspace{2}1,\hspace{2}2)$ を通り，２つのベクトル $\vec{l_1}=(2,\hspace{2}3,\hspace{2}-1)$ , $\vec{l_2}=(-1,\hspace{2}2,\hspace{2}5)$ で張られる平面を求めよとよいから，解き方としては前問と同じになる．
$\begin{vmatrix}x+ 1& 2& -1\\y-1& 3& 2\\z+ 2& -1& 5\end{vmatrix}=0$
$17x-9y+ 7z+ 40=0$ …（答）

（別解）
点 $(2,\hspace{2}2,\hspace{2}-8)$ を通り，２つのベクトル $\vec{l_1}=(2,\hspace{2}3,\hspace{2}-1)$ , $\vec{l_2}=(-1,\hspace{2}2,\hspace{2}5)$ で張られる平面と考える
$\begin{vmatrix}x-2& 2& -1\\y-2& 3& 2\\z+ 8& -1& 5\end{vmatrix}=0$
$17x-9y+ 7z+ 40=0$ …（答）

5.　直線を含み平面に垂直な平面の方程式

【例題5】

直線 $\frac{x+ 1}{3}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{4}$ を含み，平面 $x+ 2y+ 3z+ 4=0$ に垂直な平面の方程式を求めてください．

（解答）
　平面 $x+ 2y+ 3z+ 4=0$ に垂直であるから，平面 $x+ 2y+ 3z+ 4=0$ の法線ベクトル $\vec{u}=(1,\hspace{2}2,\hspace{2}3)$ と平行になる．
　点 $(-1,\hspace{2}1,\hspace{2}2)$ を通り，２つのベクトル $\vec{u}=(3,\hspace{2}2,\hspace{2}4)$ ， $\vec{v}=(1,\hspace{2}2,\hspace{2}3)$ で張られる平面を求める．
$\begin{vmatrix}x+ 1& 3& 1\\y-1& 2& 2\\z-2& 4& 3\end{vmatrix}=0$
$2x+ 5y-4z+ 5=0$ …（答）

【問題5.1】　

直線 $\frac{x+ 1}{2}=\frac{y+ 2}{-1}=\frac{z-1}{3}$ を含み平面 $3x-y+ 2z-10=0$ に垂直な平面の方程式を求めてください．

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　点 $(-1,\hspace{2}-2,\hspace{2}1)$ を通り，２つのベクトル $\vec{u}=(2,\hspace{2}-1,\hspace{2}3)$ ， $\vec{v}=(3,\hspace{2}-1,\hspace{2}2)$ で張られる平面を求める．
$\begin{vmatrix}x+ 2& 2& 3\\y+ 2& -1& -1\\z-1& 3& 2\end{vmatrix}=0$
$x+ 5y+ z+ 10=0$ …（答）

【問題5.2】　

2点 $P_1(x_1,\hspace{2}y_1,\hspace{2}z_1),\hspace{2}P_2(x_2,\hspace{2}y_2,\hspace{2}z_2)$ を通り，平面 $ax+ by+ cz+ d=0$ に垂直な平面の方程式を求めてください．

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　点 $(x_1,\hspace{2}y_1,\hspace{2}z_1)$ を通り，２つのベクトル $\vec{u}=(x_2-x_1,\hspace{2}y_2-y_11,\hspace{2}z_2-z_1)$ ， $\vec{n}=(a,\hspace{2}b,\hspace{2}c)$ で張られる平面を求める．
$\begin{vmatrix}x-x_1& x_2-x_1& a\\y-y_1& y_2-y_1& b\\z-z_1& z_2-z_1& c\end{vmatrix}=0$
$\{c(y_2-y_1)-b(z_2-z_1)\}(x-x_1)$
$-\{c(x_2-x_1)-a(z_2-z_1)\}(y-y_1)$
$+\{b(x_2-x_1)-a(y_2-y_1)\}(z-z_1)=0$ …（答）

【問題5.3】　

2点 $P_1(1,\hspace{2}2,\hspace{2}-3),\hspace{2}P_2(0,\hspace{2}-1,\hspace{2}2)$ を通り，平面 $3x+ 4y-5z+ 6=0$ に垂直な平面の方程式を求めてください．

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　点 $(1,\hspace{2}2,\hspace{2}-3)$ を通り，２つのベクトル $\vec{u}=(-1,\hspace{2}-3,\hspace{2}5)$ ， $\vec{n}=(3,\hspace{2}4,\hspace{2}-5)$ で張られる平面を求める．
$\begin{vmatrix}x-1& -1& 3\\y-2& -3& 4\\z+ 3& 5& -5\end{vmatrix}=0$
$x-2y-z=0$ …（答）

6.　直線と平面がなす角

　直線の方向ベクトルが $\vec{u}$ ，平面の法線ベクトルが $\vec{n}$ であるとき，これら２つのベクトルのなす角を $\theta$ ，直線と平面がなる角を $\phi$ とすると，
ア）　図中に黄色で示したように $0\underline{\le}\theta\underline{\le}\frac{\pi}{2}$ となるときは，直線と平面のなす角 $\phi$ は，水色で示した角 $\frac{\pi}{2}-\theta$ に等しい．
イ）　図中に桃色で示したように $\frac{\pi}{2}\underline{\le}\theta\underline{\le}\pi$ となるときは，直線と平面のなす角 $\phi$ は，水色で示した角 $\theta-\frac{\pi}{2}$ に等しい．
$\cos\theta=\frac{\vec{u}\cdot\vec{n}}{\left|\vec{u}\right|\cdot\left|\vec{n}\right|}$
であるから，
$\sin\phi=\frac{\left|\vec{u}\cdot\vec{n}\right|}{\left|\vec{u}\right|\cdot\left|\vec{n}\right|}$

【例題6】

直線 $x-1=\frac{y}{2}=z+ 1$ と平面 $2x+ y-z+ 3=0$ がなす角を求めてください．

（解答）
直線の方向ベクトル $\vec{u}=(1,\hspace{2}2,\hspace{2}1)$ ，平面の法線ベクトル $\vec{n}=(2,\hspace{2}1,\hspace{2}-1)$ がなす角は
$\cos\theta=\frac{\vec{u}\cdot\vec{n}}{\left|\vec{u}\right|\cdot\left|\vec{n}\right|}=\frac{2+ 2-1}{\sqrt{6}\cdot\sqrt{6}}=\frac{1}{2}$
$\theta=\frac{\pi}{3}$
であるから，
直線と平面のなす角は $\phi=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{6}$ …[高校の答え]
（大学では， $\frac{\pi}{6}$ または $\frac{5}{6}\pi$ を解答とすることもある［2つ答える］）

【問題6.1】　

直線 $\frac{x+ 1}{5}=\frac{y-1}{3}=\frac{z-2}{4}$ と平面 $2x-y+ 2z-3=0$ がなす角を求めてください．

解答を見る解答を隠す

直線の方向ベクトル $\vec{u}=(5,\hspace{2}3,\hspace{2}4)$ ，平面の法線ベクトル $\vec{n}=(2,\hspace{2}-1,\hspace{2}2)$ がなす角は
$\cos\theta=\frac{\vec{u}\cdot\vec{n}}{\left|\vec{u}\right|\cdot\left|\vec{n}\right|}=\frac{10-3+ 8}{5\sqrt{2}\cdot 3}=\frac{1}{\sqrt{2}}$
$\theta=\frac{\pi}{4}$
であるから，
直線と平面のなす角は $\phi=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}$ …[高校の答え]
（大学では， $\frac{\pi}{4}$ または $\frac{3}{4}\pi$ を解答とすることもある［2つ答える］）

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