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【用語】 ○「偶数」とは,他の整数の2倍になっている整数をいいます.
nを整数とするとき,m=2nと書ける整数mは偶数です.
mを偶数とするとき,m=2nとなる整数nが必ずあります. 【例】 8=2×4 ,10=2×5,12=2×6,1024=512×2 (注) それぞれの偶数について上のnの値は変わります. ○「奇数」とは,偶数-1(または 偶数+1)の形に書ける数のことです.
nを整数とするとき,m=2n−1と書ける整数mは奇数です.
mを奇数とするとき,m=2n−1となる整数nが必ずあります. 【例】 9=2×5−1 ,11=2×6−1,13=2×7−1, 999=2×500−1 (注) それぞれの奇数について上のnの値は変わります. ※ 奇数mはm=2n+1(nは整数)の形でも表せますが,nを正の整数とすると,m=3,5,7,...となって,この形ではm=1が表せません. これに対して,m=2n−1(nは正の整数)とすると,m=1,3,5,7,...となって,すべての正の奇数が表せます. |
【解説】 奇数+奇数が偶数になることは,どのようにすれば調べられるのでしょうか. ▼まずい方法:
1+1=2 , 1+3=4 , 1+5=6 , 1+7=8 , ··· (終わりまで調べることはできません)
次に3+5=8 , 3+7=10 , 3+9=12 , 3+11=14 , ··· (これも終りまで調べつくすことはできません) さらに5+7=12 , 5+9=14 , 5+11=16 , 5+13=18 , ··· (これもどこまでいっても終わりません) ⇒「整数は無限にある」ので,このように「1つずつ調べる方法」ではいつまでたっても「全部調べる」ことはできません. かなりがんばって調べた人でも100万以上の数とか1000万以上の数は調べていないでしょう. ◎よい方法:
文字式を利用すると,「1つずつの数字について調べなくても」,文字式が「代表して」調べてくれます.
【例】 (奇数)+(奇数)が必ず偶数になることの説明 「奇数は2a−1と書けます.( aは整数) もう1つの奇数は2b−1と書けます.( bは整数) ここで(2a−1)+(2b−1) =2a+2b−2=2(a+b−1) a+b−1は1つの整数だから 2(a+b−1)は偶数になる.」 ※初歩的な疑問に対する答
[問] 2つの奇数を表すために「なぜ2a−1と2b−1のように文字を変えるのか」「2a−1が奇数を表すのなら,2つとも2a−1で表してはいけないのか」
[答] 2つとも2a−1で表すと,
a=1のとき,1+1
のように「2つの奇数が等しい場合しか証明していない」ことになります.a=2のとき,3+3 a=3のとき,5+5 これに対して,2a−1と2b−1のように文字を変えると,aとbが等しくない場合でも,等しい場合でも表すことができます.
【例題】
(解答)偶数と奇数の積は偶数になることを示してください. 偶数をm=2a,奇数をn=2b−1とおくと これらの積は mn=2a(2b−1)=2{ a(2b−1) } となるから,偶数になる. |
【問題】 次の各式は,下のどの性質の説明になっていますか. 下の選択肢をクリックしてください.(※ 文字式の展開を習っていないとき、元の式と結果の式だけを見てください。)
(1)
2a+2b=2(a+b) ![]() (奇数)+(奇数)は偶数になる (偶数)+(奇数)は奇数になる (偶数)×(偶数)は偶数になる
(2)
(2a−1)(2b−1)=4ab−2a−2b+1=2(2ab−a−b)+1 ![]() (奇数)+(奇数)は偶数になる (奇数)×(奇数)は奇数になる (偶数)×(偶数)は偶数になる
(3)
(2a−1)2−(2b−1)2 =4a2−4a +1−4b2+4b−1 =4(a2−a−b2+b) ![]() (奇数)-(奇数)は偶数になる (偶数)2-(偶数)2は偶数になる |
【用語】 各位の数の和とは,例えば次のようなものです. 【例1】 456すなわち4×100+5×10+6では 100 の位の数は4 ,10の位の数は5 ,1 の位の数は6です.このとき 456の「各位の数の和」は4+5+6=15とします. 【例2】 27すなわち2×10+7 では 10 の位の数は2 ,1の位の数は7です.このとき 27 の「各位の数の和」は2+7=9とします. 【例3】 100の位の数がa ,10の位の数がb ,1 の位の数がcであるような数は100a+10b+cと書けますが,各位の数の和はa+b+c です. (ただし,aは1~9,b , c は 0~9 の数字です.) |
【問題】 次の各式は,下のどの性質の説明になっていますか. 下の選択肢をクリックしてください.
(4)
10a+b=3(3a)+(a+b) 2けたの整数について 各位の数の和が3の倍数なら,その数は3の倍数になる 各位の数の差が3の倍数なら,その数は3の倍数になる ![]() a+bは各位の数の和. 3(3a)は3の倍数だから,もし各位の数の和a+bが3の倍数になっていれば,その数も3の倍数になります.(かなりむずかしい!!)
(5)
(10a+b)+(10b+a)=11(a+b) 2けたの整数について 各位の数の和は2の倍数になる 各位の数の和が11の倍数なら,その数は11の倍数になる ある数とその各位の数を入れ替えたものの和は11の倍数になる ある数とその各位の数を入れ替えたものの和は2の倍数になる ![]() この式を変形すると11(a+b)になるから,11の倍数になる. |
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