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【用語】 ○「偶数」とは，他の整数の２倍になっている整数をいいます．
nを整数とするとき，m=2nと書ける整数mは偶数です．
mを偶数とするとき，m=2nとなる整数nが必ずあります． 【例】 8=2×4 ，10=2×5，12=2×6，1024=512×2 （注） それぞれの偶数について上のnの値は変わります． ○「奇数」とは，偶数－１（または 偶数＋１）の形に書ける数のことです．
nを整数とするとき，m=2n−1と書ける整数mは奇数です．
mを奇数とするとき，m=2n−1となる整数nが必ずあります． 【例】 9=2×5−1 ，11=2×6−1，13=2×7−1， 999=2×500−1 （注） それぞれの奇数について上のnの値は変わります． ※ 奇数mはm=2n+1（nは整数）の形でも表せますが，nを正の整数とすると，m=3,5,7,...となって，この形ではm=1が表せません． これに対して，m=2n−1（nは正の整数）とすると，m=1,3,5,7,...となって，すべての正の奇数が表せます． |
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【解説】 奇数＋奇数が偶数になることは，どのようにすれば調べられるのでしょうか． ▼まずい方法：
1+1=2 , 1+3=4 , 1+5=6 , 1+7=8 , ··· （終わりまで調べることはできません）
次に3+5=8 , 3+7=10 , 3+9=12 , 3+11=14 , ··· （これも終りまで調べつくすことはできません） さらに5+7=12 , 5+9=14 , 5+11=16 , 5+13=18 , ··· （これもどこまでいっても終わりません） ⇒「整数は無限にある」ので，このように「１つずつ調べる方法」ではいつまでたっても「全部調べる」ことはできません． かなりがんばって調べた人でも100万以上の数とか1000万以上の数は調べていないでしょう． ◎よい方法：
文字式を利用すると，「1つずつの数字について調べなくても」，文字式が「代表して」調べてくれます．
【例】 （奇数）＋（奇数）が必ず偶数になることの説明 「奇数は2a−1と書けます．（ aは整数） もう１つの奇数は2b−1と書けます．（ bは整数） ここで(2a−1)+(2b−1) =2a+2b−2=2(a+b−1) a+b−1は１つの整数だから 2(a+b−1)は偶数になる．」 ※初歩的な疑問に対する答
［問］ ２つの奇数を表すために「なぜ2a−1と2b−1のように文字を変えるのか」「2a−1が奇数を表すのなら，２つとも2a−1で表してはいけないのか」
［答］ ２つとも2a−1で表すと，
a=1のとき，1+1
のように「２つの奇数が等しい場合しか証明していない」ことになります．a=2のとき，3+3 a=3のとき，5+5 これに対して，2a−1と2b−1のように文字を変えると，aとbが等しくない場合でも，等しい場合でも表すことができます．
【例題】
（解答）偶数と奇数の積は偶数になることを示してください． 偶数をm=2a，奇数をn=2b−1とおくと これらの積は mn=2a(2b−1)=2{ a(2b−1) } となるから，偶数になる． |
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【問題】 次の各式は，下のどの性質の説明になっていますか． 下の選択肢をクリックしてください．(※ 文字式の展開を習っていないとき、元の式と結果の式だけを見てください。)
(1)
2a+2b=2(a+b) 
(偶数)＋(偶数)は偶数になる(奇数)＋(奇数)は偶数になる (偶数)＋(奇数)は奇数になる (偶数)×(偶数)は偶数になる
(2)
(2a−1)(2b−1)=4ab−2a−2b+1=2(2ab−a−b)+1
(偶数)＋(偶数)は偶数になる(奇数)＋(奇数)は偶数になる (奇数)×(奇数)は奇数になる (偶数)×(偶数)は偶数になる
(3)
(2a−1)2−(2b−1)2 =4a2−4a +1−4b2+4b−1 =4(a2−a−b2+b)
(奇数)2-(奇数)2は４の倍数になる(奇数)－(奇数)は偶数になる (偶数)2-(偶数)2は偶数になる |
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【用語】 各位の数の和とは，例えば次のようなものです． 【例１】 456すなわち4×100+5×10+6では 100 の位の数は4 ，10の位の数は5 ，1 の位の数は6です．このとき 456の「各位の数の和」は4+5+6=15とします． 【例２】 27すなわち2×10+7 では 10 の位の数は2 ，1の位の数は7です．このとき 27 の「各位の数の和」は2+7=9とします． 【例３】 100の位の数がa ，10の位の数がb ，1 の位の数がcであるような数は100a+10b+cと書けますが，各位の数の和はa+b+c です． （ただし，aは1～9，b , c は 0～9 の数字です．） |
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【問題】 次の各式は，下のどの性質の説明になっていますか． 下の選択肢をクリックしてください．
(4)
10a+b=3(3a)+(a+b) ２けたの整数について 各位の数の和が3の倍数なら，その数は3の倍数になる 各位の数の差が3の倍数なら，その数は3の倍数になる
ある数を10a+bとすると，左辺はその数a+bは各位の数の和． 3(3a)は３の倍数だから，もし各位の数の和a+bが３の倍数になっていれば，その数も３の倍数になります．（かなりむずかしい!!）
(5)
(10a+b)+(10b+a)=11(a+b) ２けたの整数について 各位の数の和は2の倍数になる 各位の数の和が11の倍数なら，その数は11の倍数になる ある数とその各位の数を入れ替えたものの和は11の倍数になる ある数とその各位の数を入れ替えたものの和は２の倍数になる
ある数を10a+bとすると，10b+aはその各位の数を入れ替えたものを表す．したがって，(10a+b)+(10b+a)はある数とその各位の数を入れ替えたものの和になります．この式を変形すると11(a+b)になるから，11の倍数になる． |
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