内分点・外分点の座標（１次元）

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高校数学 >> 高校数学Ⅱ・Ｂ>> 点と直線

現在地と前後の項目

対称移動/外分点の図形的意味/内分点.外分点の計算(1次元)/◎分点の座標（２次元）2/重心の座標/2点間の距離/点と直線の距離/三角形の形状1/三角形の形状2/直線の方程式(点と傾き)/直線の方程式(２点)/２直線の平行条件/２直線の垂直条件/図形と方程式1/図形と方程式2/図形と方程式3/３点が一直線上にある条件/３直線が１点で交わる条件/２直線の交点を通る直線の方程式/

== 内分点・外分点の座標（１次元） ==

Ⅰ．内分点の座標
　数直線上の２点A(a), B(b)を結ぶ線分ABをm:nに内分する点をP(p)とすると，座標pの値は

p = \frac{n a + m b}{m + n}

に等しい．

## 危険な落とし穴 ##
•分子で
aに掛けてあるのは，「図で遠い方の比率n」
bに掛けてあるのは，「図で遠い方の比率m」
であることに注意
⇒ 「いじ悪公式」「へそ曲げ公式」だと覚えておくとよい

（証明）
図①において

ア） a<bのとき

AP=p−a, PB=b−pだから
AP:PB=m:nより
(p−a):(b−p)=m:n
(内項の積)=(外項の積)によって，比例の式を通常の等式に直すと
n(p−a)=m(b−p)
np−na=mb−mp
(m+n)p=na+mb

p = \frac{n a + m b}{m + n}

イ） a>bのとき，途中経過で式の符号が変わるが，最後の式は同じになる
(a−p):(p−b)=m:n
･･･

p = \frac{n a + m b}{m + n}

　次の各問に対して，正しい選択肢をクリック（タップ）してください．（自分の答案を選択すれば，途中経過と解答が出ます）

【問題1】
　　数直線上の２点A(2), B(9)を結ぶ線分ABを3:4に内分する点をP(p)とするとき，座標pの値を求めてください．
3 4 5 6 7

解説を見る

p = \frac{n a + m b}{m + n}

にa=2,b=9, m=3, n=4を代入すると

p = \frac{4 \times 2 + 3 \times 9}{3 + 4} = \frac{35}{7} = 5

･･･（答）
→解説を隠す←

【問題2】
　　数直線上の２点A(6), B(−2)を結ぶ線分ABを5:3に内分する点をP(p)とするとき，座標pの値を求めてください．
0 1 2 3 4

解説を見る

p = \frac{n a + m b}{m + n}

にa=6,b=−2, m=5, n=3を代入すると

p = \frac{3 \times 6 + 5 \times (- 2)}{5 + 3} = \frac{8}{8} = 1

･･･（答）
→解説を隠す←

【問題3】
　　数直線上の２点A(−3), B(5)を結ぶ線分ABを3:2に内分する点をP(p)とするとき，座標pの値を求めてください．

- \frac{1}{5}

\frac{2}{5}

\frac{4}{5}

\frac{7}{5}

\frac{9}{5}

解説を見る

p = \frac{n a + m b}{m + n}

にa=−3,b=5, m=3, n=2を代入すると

p = \frac{2 \times (- 3) + 3 \times 5)}{3 + 2} = \frac{9}{5}

･･･（答）
→解説を隠す←

【問題4】
　　数直線上の２点A(−3), B(−7)を結ぶ線分ABを2:1に内分する点をP(p)とするとき，座標pの値を求めてください．

- \frac{17}{3}

- \frac{13}{3}

- \frac{1}{3}

\frac{2}{3}

\frac{7}{3}

解説を見る

p = \frac{n a + m b}{m + n}

にa=−3,b=−7, m=2, n=1を代入すると

p = \frac{1 \times (- 3) + 2 \times (- 7)}{2 + 1} = \frac{17}{3}

･･･（答）
→解説を隠す←

Ⅱ．外分点の座標
　数直線上の２点A(a), B(b)を結ぶ線分ABをm:nに外分する点をQ(q)とすると，座標qの値は

q = \frac{- n a + m b}{m - n}

に等しい．

## 危険な落とし穴 ##
•内分公式を書き換えて，m, nのうち１つだけを負の数にすると，外分公式になるが，２つとも負の数に書き換えてしまうと，元の内分公式に戻ってしまうので，要注意

\frac{n a + m b}{m + n}

･･･　◎ 内分公式

\frac{- n a + m b}{m - n}

･･･◎ 外分公式

\frac{n a - m b}{- m + n}

･･･〇外分公式はこれでもよい

\frac{- n a - m b}{- m - n}

･･･（×外分にならない，やめよう）

（証明）
図②において

ア） a<b, m<nのとき

AQ=a−q, QB=b−qだから
AQ:QB=m:nより
(a−q):(b−q)=m:n
(内項の積)=(外項の積)によって，比例の式を通常の等式に直すと
n(a−q)=m(b−q)
na−nq=mb−mq
(m−n)q=−na+mb

q = \frac{- n a + m b}{m - n}

文母と分子にそれぞれ−1を掛けても，分数の値は変わらないから，外分公式は次の形で書いてもよい．

q = \frac{n a - m b}{- m + n}

（分数計算が超苦手の生徒向けに，「mとnの小さい方をマイナスにする」という教え方の先生もいた．こうすると分母が正になって，符号の間違いが減るらしい．）

イ） a<b, m>nのとき，途中経過で式の符号が変わるが，最後の式は同じになる
(q−a):(q−b)=m:n
･･･

q = \frac{- n a + m b}{m - n}

ウ）a>b, m<nのとき，エ）a>b, m>nのときも同様にして，途中経過は変わるが最終結果は一致する．

　次の各問に対して，正しい選択肢をクリック（タップ）してください．（自分の答案を選択すれば，途中経過と解答が出ます）

【問題5】
　　数直線上の２点A(3), B(7)を結ぶ線分ABを1:5に外分する点をQ(q)とするとき，座標qの値を求めてください．
−8 −2 2

\frac{23}{6}

\frac{23}{3}

解説を見る

q = \frac{- n a + m b}{m - n}

にa=3,b=7, m=1, n=5を代入すると

q = \frac{- 5 \times 3 + 1 \times 7}{1 - 5} = \frac{- 8}{- 4} = 2

･･･（答）
→解説を隠す←

【問題6】
　　数直線上の２点A(4), B(1)を結ぶ線分ABを5:2に外分する点をQ(q)とするとき，座標qの値を求めてください．
−6 −1 0 1 6

解説を見る

q = \frac{- n a + m b}{m - n}

にa=4,b=1, m=5, n=2を代入すると

q = \frac{- 2 \times 4 + 5 \times 1}{5 - 2} = \frac{- 3}{3} = - 1

･･･（答）
→解説を隠す←

【問題7】
　　数直線上の２点A(−2), B(3)を結ぶ線分ABを1:5に外分する点をQ(q)とするとき，座標qの値を求めてください．

- \frac{17}{4}

- \frac{13}{4}

\frac{13}{6}

\frac{13}{4}

\frac{17}{4}

解説を見る

q = \frac{- n a + m b}{m - n}

にa=−2,b=3, m=1, n=5を代入すると

q = \frac{- 5 \times (- 2) + 1 \times 3}{1 - 5} = \frac{13}{- 4} = - \frac{13}{4}

･･･（答）
→解説を隠す←

【問題8】
　　数直線上の２点A(−1), B(−5)を結ぶ線分ABを5:3に外分する点をQ(q)とするとき，座標qの値を求めてください．
−11 −5 1 5 11

解説を見る

q = \frac{- n a + m b}{m - n}

にa=−1,b=−5, m=5, n=3を代入すると

q = \frac{- 3 \times (- 1) + 5 \times (- 5)}{5 - 3} = \frac{- 22}{2} = - 11

･･･（答）
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