大きな区分
高校数学 >> 高校数学Ⅰ・A >> 二次関数
現在地と前後の項目(サブメニュー)

2次関数のグラフ(入門)
2次関数のグラフ[標準形]
2次関数→頂点の座標
2次関数(標準形→頂点)
2次関数(標準形→グラフ)
2次関数(標準形→グラフ)2
2次関数(標準形→グラフ)3
2次関数(標準形→グラフ)4
平方完成の変形
平方完成
平方完成2
頂点の座標
展開形→頂点の座標2
展開形→頂点の座標3
展開形→頂点の座標4
展開形→頂点の座標5
2次関数(展開形→頂点)
2次関数(展開形→グラフ5)
2次関数の最大・最小
文字係数1
文字係数2
グラフの平行移動
放物線の移動
放物線の移動2
放物線の移動3
グラフと係数の符号
2次関数(3点→頂点)
2次関数の入試問題1
2次関数.2次方程式.センター問題

=== 読者が配色を変更したい場合 ===
◎外側の色を変えるには,次の色をクリック
◎内側の色を変えるには,次の色をクリック
標準文字色を変えるには,次の色をクリック

== センター試験.2次方程式.2次関数(2013~) ==
【2013年度センター試験.数学Ⅰ・数学A】第2問
 座標平面上にある点Pは,点A(−8, 8)から出発して,直線y=−x上をx座標が1秒あたり2増加するように一定の速さで動く。また,同じ座標平面上にある点Qは,点PAを出発すると同時に原点Oから出発して,直線y=10x上をx座標が1秒あたり1増加するように一定の速さで動く。出発してからt秒後の2点P, Qを考える。点POに達するのはt=のときである。以下,0<t<で考える。
(1) 点Px座標が等しいx軸上の点をP', 点Qx座標が等しいx軸上の点をQ'とおく。△OPP'△OQQ'
の面積の和Stで表せば
S=t2ウエt+オカ
となる。これより0<t<においては,t=

で,Sは最小値
ケコサ
をとる。

[解答を見る]

 次に,a0<a<−1を満たす定数とする。以下,a≦t≦a+1におけるSの最小・最大について考える。
(i) St=
で最小となるようなaの値の範囲は

≦a≦
である。

(ii) St=aで最大となるようなaの値の範囲は
0<a≦
ツテ
である。

[解答を見る]

(2) 3点O, P,Qを通る2次関数のグラフが関数y=2x2
のグラフを平行移動したものになるのは,t=

のときであり,x軸方向に
ニヌ
y軸方向に

ノハヒ
だけ平行移動すればよい。

[解答を見る]

【2014年度センター試験.数学Ⅰ・数学A】第2問
 aを定数とし,xの2次関数
y=x2+2ax+3a2−6a−36・・・①
のグラフをGとする。Gの頂点の座標は
(a, a2a−エオ)
である。Gy軸との交点の座標をpとする。
(1) p=−27のとき,aの値はa=キクである。a=のときの①のグラフをx軸方向にy軸方向にだけ平行移動すると,a=キクのときの①のグラフに一致する。
[解答を見る]

(2) 下のには,次の⓪~③のうちから当てはまるものを一つずつ選べ。ただし,同じものを繰り返し選んでもよい。
>  ① <  ②   ③
 Gx軸と共有点を持つようなaの値の範囲を表す不等式は
サシ a ・・・②
である。aが②の範囲にあるとき,pは,a=で最小値チツテをとり,a=で最大値ナニをとる。
 Gx軸と共有点を持ち,さらにそのすべての共有点のx座標が−1より大きくなるようなaの値の範囲を表す不等式は
ヌネ a
ヒフ

である。
[解答を見る]

【2015年度センター試験.数学Ⅰ・数学A】第1問
 2次関数
y=−x2+2x+2・・・①
のグラフの頂点の座標は()である。また
y=f(x)
xの2次関数で,そのグラフは,①のグラフをx軸方向にpy軸方向にqだけ平行移動したものであるとする。
(1) 下のには,次の⓪~④のうちから当てはまるものを一つずつ選べ。ただし,同じものを繰り返し選んでもよい。
>  ① <  ②   ③   ④
 2≦x≦4におけるf(x)の最大値がf(2)になるようなpの値の範囲は
p
であり,最小値がf(2)になるようなpの値の範囲は
p
である。
[解答を見る]

(2) 2次不等式f(x)>0の解が−2<x<3になるのは
p=
キク
q=
コサ

のときである。
[解答を見る]

【2016年度センター試験.数学Ⅰ・数学A】第1問(必答問題)
〔1〕 aを実数とする。xの関数
f(x)=(1+2a)(1−x)+(2−a)x
を考える。
f(x)=(−a+)x+2a+1
である。
(1) 0≦x≦1におけるf(x)の最小値は,
a≦
のとき,a+であり

a>
のとき,a+である。

[解答を見る]

(2) 0≦x≦1において,常にとなるaの値の範囲は,
≦a≦
である。

[解答を見る]

【2017年度センター試験.数学Ⅰ・数学A】第1問(必答問題)
〔3〕 aを定数とし,g(x)=x2−2(3a2+5a)x+18a4
+30a3+49a2+16
とおく。2次関数y=g(x)のグラフの頂点は
(a2+a, a4+チツa2+テト)
である。
 aが実数全体を動くとき,頂点のx座標の最小値は
ナニ
ヌネ
である。

 次に,t=a2とおくと,頂点のy座標は
t2+チツt+テト
と表せる。したがって,aが実数全体を動くとき,頂点のy座標の最小値はノハである。
[解答を見る]

【2018年度センター試験.数学Ⅰ・数学A】第1問(必答問題)
〔1〕 xを実数とし
A=x(x+1)(x+2)(5−x)(6−x)(7−x)
とおく。整数nに対して
(x+n)(n+5−x)=x(5−x)+n2+n
であり,したがって,X=x(5−x)とおくと
A=X(X+)(X+ウエ)
と表せる。
のとき,X=であり,A=2である。
[解答を見る]

【2019年度センター試験.数学Ⅰ・数学A】第1問(必答問題)
〔3〕 abはともに正にの実数とする。xの2次関数
y=x2+(2a−b)x+a2+1
のグラフをGとする。
(1) グラフGの頂点の座標は
b
−a
b2
+ab+

である。
[解答を見る]

(2) グラフGが点(−1, 6)を通るとき,bのとり得る値の最大値はであり,そのときのaの値はである。
 b=a=のとき,グラフGは2次関数
y=x2のグラフをx軸方向に
y軸方向に

ネノ
だけ平行移動したものである。

[解答を見る]

【2020年度センター試験.数学Ⅰ・数学A】第1問(必答問題)
〔3〕 cを定数とする。2次関数y=x2のグラフを,2点(c, 0), (c+4, 0)を通るように平行移動して得られるグラフをGとする。
(1) Gをグラフにもつ2次関数は,cを用いて
y=x2−2(c+)x+c(c+)
と表せる。
 2点(3, 0), (3, −3)を両端とする線分とGが共有点をもつようなcの値の範囲は
≦c≦≦c≦
である。
[解答を見る]

(2) ≦c≦の場合を考える。Gが点(3, −1)を通るとき,Gは2次関数y=x2のグラフをx軸方向に+ ,y軸方向にハヒだけ平行移動したものである。また,このときGy軸との交点のy座標は+ である。
[解答を見る]

【2021年度共通テスト.数学Ⅰ・数学A】第1問(必答問題)
〔1〕 cを正の定数とする。xの2次方程式
2x2+(4c−3)x+2c2−c−11=0・・・①
について考える。
(1) c=1のとき,①の左辺を因数分解すると
(x+)(x−)
であるから,①の解は
x=−

である。
(2) c=2のとき,①の解は
x=
±オカ 

であり,大きいほうの解をαとすると
±ケコ 

である。また,を満たす整数mである。
[解答を見る]

(3) 太郎さんと花子さんは,①の解について考察している。
太郎:①の解はcの値によって,ともに有理数である場合もあれば,ともに無理数である場合もあるね。cがどのような値のときに,解は有理数になるのかな。
花子:①の解は2次方程式の根号の中に着目すればいいんじゃないかな。
 ①の解が異なる二つの有理数であるような正の整数cの個数は個である。
[解答を見る]

【2022年度共通テスト.数学Ⅰ・数学A】第2問(必答問題)
〔1〕 p, qを実数とする。
花子さんと太郎さんは,次の二つの2次方程式について考えている。
x2+px+q=0 ・・・①
x2+qx+p=0 ・・・②
 ①または②を満たす実数xの個数をnとおく。
(1) p=4, q=−4のとき,n=である。
 また,p=1, q=−2のとき,n=である。
(2) p=−6のとき,n=3になる場合を考える。
花子:例えば,①と②をともに満たす実数xがあるときはn=3になりそうだね。
太郎:それをαとしたら,α2+qα−6=0α2−6α+q=0が成り立つよ。
花子:なるほどね。それならば,α2を消去すれば,αの値が求められそうだね。
太郎:確かにαの値が求まるけど,実際にn=3となっているかどうかの確認が必要だね。
花子:これ以外にもn=3となる場合がありそうだね。
 n=3となるqの値は
q=
である。ただし,<とする。
[解答を見る]

(3) 花子さんと太郎さんは,グラフ表示ソフトを用いて,①②の左辺をyとおいた2次関数y=x2+px+qy=x2+qx+pのグラフの動きを考えている。
(挿し絵省略)
 p=−6に固定したまま,qの値だけを変化させる。
y=x2−6x+q ・・・③
y=x2+qx−6 ・・・④
の二つのグラフについて,q=1のときのグラフを点線で,qの値を1から増加させたときのグラフを実線でそれぞれ表す。このとき,③のグラフの移動の様子を示すととなり,④のグラフの移動の様子を示すととなる。
については,最も適当なものを,次の⓪~⑦のうちから一つずつ選べ。ただし,同じものを繰り返し選んでもよい。なお,x軸とy軸は省略しているが,x軸は右方向,y軸は上方向がそれぞれ正の方向である。
[解答を見る]

(4) <q<とする。全体集合Uを実数全体の集合とし,Uの部分集合A, B
A={x|x2−6x+q<0}
B={x|x2+qx−6<0}
とする。Uの部分集合Xに対し,Xの補集合をXと表す。このとき,次のことが成り立つ。
  • x∈Aは,x∈Bであるための
  • x∈Bは,x∈Aであるための
, の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪ 必要条件であるが,十分条件ではない
① 十分条件であるが,必要条件ではない
② 必要十分条件である
③ 必要条件でも十分条件でもない
[解答を見る]
...(PC版)メニューに戻る
■このサイト内のGoogle検索■

△このページの先頭に戻る△
【 アンケート送信 】
… このアンケートは教材改善の参考にさせていただきます

この頁について,良い所,悪い所,間違いの指摘,その他の感想があれば送信してください.
○文章の形をしている感想は全部読ませてもらっています.
○感想の内で,どの問題がどうであったかを正確な文章で伝えていただいた改善要望に対しては,可能な限り対応するようにしています.(※なお,攻撃的な文章になっている場合は,それを公開すると筆者だけでなく読者も読むことになりますので,採用しません.)


質問に対する回答の中学版はこの頁,高校版はこの頁にあります