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高校数学 >> 高校数学Ⅱ・Ｂ>> 数列

【問題2】
　初項から第n項までの和Snが
${\displaystyle S_n=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+7)(n=1,2,3,\cdots )}$
で表される数列{an}がある．
(1)　{an}の一般項を求めよ．
(2)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{1}{a_k}}$を求めよ．

ア） n≧2のとき
　an=Sn−Sn−1
${\displaystyle =\frac{1}{6}n(n+1)(2n+7)-\frac{1}{6}(n-1)n(2n+5)}$
${\displaystyle =\frac{1}{6}n\{(n+1)(2n+7)-(n-1)(2n+5)\}}$
${\displaystyle =\frac{1}{6}n\{(2n^2+9n+7)-(2n^2+3n-5)\}}$
${\displaystyle =\frac{1}{6}n(6n+12)}$
$=n(n+2)$
イ） n=1のとき
　a1=S1
$={\displaystyle \frac{1}{6}}\times 1\times 2\times 9=3$
ア）イ）より
　n=1, 2, 3, … のとき，an=n(n+2)…（答）
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${\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{1}{a_k}=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k(k+2)}=\sum _{k=1}^n\frac{1}{2}\{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\}}$
ア）n≧2のとき

${\displaystyle +\frac{1}{2}\{\cdot \cdot \cdot -\cdot \cdot \cdot \}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\{\frac{1}{1}+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\}}$
${\displaystyle =\frac{1}{2}\{\frac{3}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\}}$
${\displaystyle =\frac{1}{2}\{\frac{3(n+1)(n+2)-2(n+2)-2(n+1)}{2(n+1)(n+2)}\}}$
${\displaystyle =\frac{3n^2+9n+6-2n-4-2n-2}{4(n+1)(n+2)}}$
${\displaystyle =\frac{3n^2+5n}{4(n+1)(n+2)}}$
${\displaystyle =\frac{n(3n+5)}{4(n+1)(n+2)}}$
イ） n=1のとき
${\displaystyle \sum _{k=1}^1\frac{1}{a_k}=\frac{1}{a_1}=\frac{1}{1\times 3}=\frac{1}{3}}$
ア）イ）より
n=1, 2, 3, …のとき，${\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{1}{a_k}=\frac{n(3n+5)}{4(n+1)(n+2)}}$…(答)
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部分分数分解の問題コーナー（分子に(3k+2)がある問題）で解答に原式が１次/３次だから２次/３次の差にすると書いてありますが、計算過程を見ると１次/２次の差になっていると思います。１次上げるために分母を１次下げ、差にしたと解釈してよいのでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．ご指摘の通りでしたので訂正しました．

この説明で、＜f(k)-f(k+1)を使ったΣ＞の全容がわかりました。素晴らしい解説です！感謝です。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．