通分の例：

部分分解の【例1】　

・・・答は1/3

【以上の要約】

• Σ（ｋのｎ次式）は，Σ｛ｋのｎ＋１次式の差｝で表すことができるとき，中間項が消えて簡単になります.
• 中間項の消え方（両端の残り方）は縦書きにするとよく分かります.
• この原理は，部分分数分解によく用いられますが，分数以外でも使えます.

【問題2】
　初項から第n項までの和Snが
\( \displaystyle S_n=\frac{1}{6}n(n+ 1)(2n+ 7)\hspace{15px}(n=1,\hspace{1px}2,\hspace{1px}3,\hspace{1px}\cdots) \)
で表される数列{an}がある．
(1)　{an}の一般項を求めよ．
(2)　\( \displaystyle \sum_{k=1}^n\frac{1}{a_k} \)を求めよ．

ア） n≧2のとき
　an=Sn−Sn−1
\( \displaystyle =\frac{1}{6}n(n+ 1)(2n+ 7)-\frac{1}{6}(n-1)n(2n+ 5) \)
\( \displaystyle =\frac{1}{6}n\Big\{(n+ 1)(2n+ 7)-(n-1)(2n+ 5)\Big\} \)
\( \displaystyle =\frac{1}{6}n\Big\{(2n^2+ 9n+ 7)-(2n^2+ 3n-5)\Big\} \)
\( \displaystyle =\frac{1}{6}n(6n+12) \)
\( =n(n+2) \)
イ） n=1のとき
　a1=S1
\( =\dfrac{1}{6}\times 1\times 2\times 9=3 \)
ア）イ）より
　n=1, 2, 3, … のとき，an=n(n+2)…（答）
→隠す←

\( \displaystyle \sum_{k=1}^n\frac{1}{a_k}=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k(k+2)}=\sum_{k=1}^n\frac{1}{2}\Big\{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\Big\} \)
ア）n≧2のとき

\( \displaystyle +\frac{1}{2}\Big\{\cdot\cdot\cdot\hspace{2px}-\hspace{2px}\cdot\cdot\cdot\Big\} \)

\( \displaystyle =\frac{1}{2}\Big\{\frac{1}{1}+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+ 1}-\frac{1}{n+2}\Big\} \)
\( \displaystyle =\frac{1}{2}\Big\{\frac{3}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+ 2}\Big\} \)
\( \displaystyle =\frac{1}{2}\Big\{\frac{3(n+1)(n+2)-2(n+2)-2(n+ 1)}{2(n+ 1)(n+ 2)}\Big\} \)
\( \displaystyle =\frac{3n^2+ 9n+ 6-2n-4-2n-2}{4(n+ 1)(n+ 2)} \)
\( \displaystyle =\frac{3n^2+ 5n}{4(n+ 1)(n+ 2)} \)
\( \displaystyle =\frac{n(3n+ 5)}{4(n+ 1)(n+ 2)} \)
イ） n=1のとき
\( \displaystyle \sum_{k=1}^1\frac{1}{a_k}=\frac{1}{a_1}=\frac{1}{1\times 3}=\frac{1}{3} \)
ア）イ）より
n=1, 2, 3, …のとき，\( \displaystyle \sum_{k=1}^n\frac{1}{a_k}=\frac{n(3n+ 5)}{4(n+ 1)(n+ 2)} \)…(答)
→隠す←

部分分数分解の問題コーナー（分子に(3k+2)がある問題）で解答に原式が１次/３次だから２次/３次の差にすると書いてありますが、計算過程を見ると１次/２次の差になっていると思います。１次上げるために分母を１次下げ、差にしたと解釈してよいのでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．ご指摘の通りでしたので訂正しました．

この説明で、＜f(k)-f(k+1)を使ったΣ＞の全容がわかりました。素晴らしい解説です！感謝です。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．