部分分数分解

部分分解の【例1】　

・・・答は1/3

【以上の要約】

Σ（ｋのｎ次式）は，Σ｛ｋのｎ＋１次式の差｝で表すことができるとき，中間項が消えて簡単になります.
中間項の消え方（両端の残り方）は縦書きにするとよく分かります.
この原理は，部分分数分解によく用いられますが，分数以外でも使えます.

【問題2】
　初項から第n項までの和Snが
$S_n=\frac{1}{6}n(n+ 1)(2n+ 7)\hspace{5}(n=1,\hspace{1}2,\hspace{1}3,\hspace{1}\cdots)$
で表される数列{an}がある．
(1)　{an}の一般項を求めよ．

(2)　 $\sum_{k=1}^n\frac{1}{a_k}$ を求めよ．

（2021年度北海道大学.前期）

ア） n≧2のとき
　an=Sn−Sn−1
$=\frac{1}{6}n(n+ 1)(2n+ 7)-\frac{1}{6}(n-1)n(2n+ 5)$
$=\frac{1}{6}n\big{(n+ 1)(2n+ 7)-(n-1)(2n+ 5)\big}$
$=\frac{1}{6}n\big{2n^2+ 9n+ 7)-(2n^2+ 3n-5)\big}$
$=\frac{1}{6}n(6n+ 12)$
$=n(n+ 2)$
イ） n=1のとき
　a1=S1
$=\frac{1}{6}\times 1\times 2\times 9=3$
ア）イ）より
　n=1, 2, 3, … のとき，an=n(n+2)…（答）
→隠す←

$\sum_{k=1}^n\frac{1}{a_k}=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k(k+ 2)}=\sum_{k=1}^n\frac{1}{2}\big{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+ 2}\big}$
ア）n≧2のとき

$=\frac{1}{2}\big{\frac{1}{1}-\cancel{\frac{1}{3}}\big}$
$+ \frac{1}{2}\big{\frac{1}{2}-\cancel{\frac{1}{4}}\big}$
$+ \frac{1}{2}\big{\cancel{\frac{1}{3}}-\cancel{\frac{1}{5}}}$

→ 将棋で言えば
　↓桂馬跳びの位置に
　↓符号が逆の
← 対がある

$+ \frac{1}{2}\big{\cdot\cdot\cdot\hspace{2}-\hspace{2}\cdot\cdot\cdot\big}$

$+ \frac{1}{2}\big{\cancel{\frac{1}{n-2}}-\cancel{\frac{1}{n}}}$
$+ \frac{1}{2}\big{\cancel{\frac{1}{n-1}}-\frac{1}{n+ 1}\big}$
$+ \frac{1}{2}\big{\cancel{\frac{1}{\hspace{3}n\hspace{3}}}-\frac{1}{n+ 2}\big}$

→ 将棋で言えば
　↓桂馬跳びの位置に
　↓符号が逆の
← 対がある

$=\frac{1}{2}\big{\frac{1}{1}+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+ 1}-\frac{1}{n+ 2}\big}$
$=\frac{1}{2}\big{\frac{3}{2}-\frac{1}{n+ 1}-\frac{1}{n+ 2}\big}$
$=\frac{1}{2}\big{\frac{3(n+ 1)(n+ 2)-2(n+ 2)-2(n+ 1)}{2(n+ 1)(n+ 2)}\big}$
$=\frac{3n^2+ 9n+ 6-2n-4-2n-2}{4(n+ 1)(n+ 2)}$
$=\frac{3n^2+ 5n}{4(n+ 1)(n+ 2)}$
$=\frac{n(3n+ 5)}{4(n+ 1)(n+ 2)}$
イ） n=1のとき
$\sum_{k=1}^1\frac{1}{a_k}=\frac{1}{a_1}=\frac{1}{1\times 3}=\frac{1}{3}$
ア）イ）より
n=1, 2, 3, …のとき， $\sum_{k=1}^n\frac{1}{a_k}=\frac{n(3n+ 5)}{4(n+ 1)(n+ 2)}$ …(答)
→隠す←

部分分数分解の問題コーナー（分子に(3k+2)がある問題）で解答に原式が１次/３次だから２次/３次の差にすると書いてありますが、計算過程を見ると１次/２次の差になっていると思います。１次上げるために分母を１次下げ、差にしたと解釈してよいのでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．ご指摘の通りでしたので訂正しました．

この説明で、＜f(k)-f(k+1)を使ったΣ＞の全容がわかりました。素晴らしい解説です！感謝です。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

* はじめてやる人には，たぶん難しい ⇒ HELPも見ながら，ゆっくりやるべし * 《問題1》　左辺に等しいものを右辺から見つけなさい.（この右辺は，答案の最終形ではさらに通分などによりまとめるものとしますが，ここでは途中経過で表示します.）左辺から1つ選び，続けて右辺から1つ選びなさい.合っていれば消えます． ○初めに左の式を選び，続いて右の式を選んでください． ○間違った場合，HELPを読む場合でも読まない場合でも［やり直す］を押せば，解答を再開できます．

× HELP やり直す