連立方程式

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中学１年中学２年中学３年
*** 単元 ***
式の計算連立方程式１次関数平行線と角円周角の定理確率

※中学２年生向け「連立方程式」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　が現在地です．

↓連立方程式(例題対比)
↓連立方程式(加減法)：ソルバー付き
↓連立方程式(加減法2)-現在地
↓同(3)
↓同(4)小数，分数係数
↓連立方程式(代入法)：ソルバー付き
↓連立方程式(代入法2)
↓連立方程式(A=B=C)ソルバー付き

↓連立方程式(文章題)
↓同(2)
↓同(3)
↓同(4)

連立方程式(入試問題)

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連立方程式（加減法のやさしい問題）

【例題１】　次の連立方程式を解いてください．

3 x + 2 y = 5

…(1)

x + 2 y = - 1

…(2)

　２つの文字

x, y

が含まれている連立方程式を解くには，加減法や代入法を使って，どちらか一方の文字を消去し，１つの文字だけの方程式に直して解くようにします．
　この問題のように

y

の係数がそろっているときは，左辺どうし，右辺どうしを引くと

y

を消去することができます．

【解き方の流れ】

x

が求まった後，その値を(2)に代入してもよい．

（答案）
(1)−(2)

3 x + 2 y = 5

-) x + 2 y = - 1

2 x = 6

x = 3

これを(1)に代入すると

9 + 2 y = 5

2 y = - 4

y = - 2

x = 3, y = - 2

…（答）

【問題１】　次の連立方程式を解いてください．（選択肢の中から正しいものを１つクリック）

※暗算では無理です．必ず計算用紙で計算してから答を選んでください．

(1)

4 x + 3 y = - 5

…(1)

x + 3 y = 1

…(2)

解説やり直す

x = 1, y = - 2

x = - 1, y = 2

x = 2, y = - 1

x = - 2, y = 1

(1)−(2)

4 x + 2 y = - 5

-) x + 3 y = 1

3 x = - 6

x = - 2

これを(1)に代入すると

- 8 + 3 y = - 5

3 y = 3

y = 1

x = - 2, y = 1

…（答）

→閉じる←

(2)

6 x + 5 y = 3

…(1)

- 4 x + 5 y = 23

…(2)

解説やり直す

x = - 2, y = - 3

x = - 2, y = 3

x = 2, y = - 3

x = 2, y = 3

(1)−(2)

6 x + 5 y = 3

-) - 4 x + 5 y = 23

10 x = - 20

x = - 2

これを(1)に代入すると

- 12 + 5 y = 3

5 y = 15

y = 3

x = - 2, y = 3

…（答）

→閉じる←

(3)

5 x - 2 y = 7

…(1)

3 x - 2 y = 1

…(2)

解説やり直す

x = 3, y = 4

x = 4, y = 3

x = 1, y = 1

x = 1, y = - 1

(1)−(2)

5 x - 2 y = 7

-) 3 x - 2 y = 1

2 x = 6

x = 3

これを(1)に代入すると

15 - 2 y = 7

- 2 y = - 8

y = 4

x = 3, y = 4

…（答）

→閉じる←

【例題２】　次の連立方程式を解いてください．

3 x + y = 7

…(1)

2 x - y = 8

…(2)

　この問題のように

y

の係数の符号だけが違うときは，左辺どうし，右辺どうしを足すと

y

を消去することができます．

（答案）
(1)+(2)

3 x + y = 7

+) 2 x - y = 8

5 x = 15

x = 3

これを(1)に代入すると

9 + y = 7

y = - 2

x = 3, y = - 2

…（答）

【問題２】　次の連立方程式を解いてください．（選択肢の中から正しいものを１つクリック）

(1)

3 x - 2 y = 11

…(1)

x + 2 y = 9

…(2)

解説やり直す

x = 2, y = 5

x = 5, y = 2

x = 5, y = - 2

x = - 2, y = 5

(1)+(2)

3 x - 2 y = 11

+) x + 2 y = 9

4 x = 20

x = 5

これを(1)に代入すると

15 - 2 y = 11

- 2 y = - 4

y = 2

x = 5, y = 2

…（答）

→閉じる←

(2)

3 x + 4 y = - 9

…(1)

- 3 x + y = - 6

…(2)

解説やり直す

x = 3, y = - 1

x = 3, y = 1

x = 1, y = - 3

x = 1, y = 3

y

係数はそろっていないが，

x

の係数が符号だけ違うから，辺々足すと

x

を消去できる

(1)+(2)

3 x + 4 y = - 9

+) - 3 x + y = - 6

5 y = - 15

y = - 3

これを(1)に代入すると

3 x - 12 = - 9

3 x = 3

x = 1

x = 1, y = - 3

…（答）

→閉じる←

(3)

4 x - 3 y = - 2

…(1)

- 4 x + 5 y = 6

…(2)

解説やり直す

x = 1, y = 2

x = 2, y = 1

x = - 1, y = 2

x = 2, y = - 1

y

の係数はそろっていないが，

x

の係数が符号だけ違うから，辺々足すと

x

を消去できる

(1)+(2)

4 x - 3 y = - 2

+) - 4 x + 5 y = 6

2 y = 4

y = 2

これを(1)に代入すると

4 x - 6 = - 2

4 x = 4

x = 1

x = 1, y = 2

…（答）

→閉じる←

【例題３】　次の連立方程式を解いてください．

5 x + y = 11

…(1)

3 x + 2 y = 1

…(2)

　問題の式では

y

の係数はそろっていませんが，(1)の両辺を２倍すると

y

の係数がそろいます．
　そうすると，ここまでにやってきたように，左辺どうし，右辺どうしを引くと

y

を消去することができます．

（答案）
(1)×2−(2)

10 x + 2 y = 22

-) 3 x + 2 y = 1

7 x = 21

x = 3

これを(1)に代入すると

15 + y = 11

y = - 4

x = 3, y = - 4

…（答）

【問題３】　次の連立方程式を解いてください．（選択肢の中から正しいものを１つクリック）

(1)

5 x + 3 y = - 11

…(1)

2 x + y = - 5

…(2)

解説やり直す

x = - 2, y = 3

x = 2, y = - 3

x = - 4, y = 3

x = 4, y = - 3

(1)−(2)×3

5 x + 3 y = - 11

-) 6 x + 3 y = - 15

- x = 4

x = - 4

これを(1)に代入すると

- 20 + 3 y = - 11

3 y = 9

y = 3

x = - 4, y = 3

…（答）

→閉じる←

(2)

x - 3 y = 11

…(1)

2 x + 5 y = 0

…(2)

解説やり直す

x = 2, y = 5

x = - 5, y = - 2

x = - 2, y = 5

x = 5, y = - 2

(1)×2−(2)

2 x - 6 y = 22

-) 2 x + 5 y = 0

- 11 y = 22

y = - 2

これを(1)に代入すると

x + 6 = 11

x = 5

x = 5, y = - 2

…（答）

→閉じる←

(3)

2 x - y = 7

…(1)

3 x + 4 y = 16

…(2)

解説やり直す

x = - 1, y = - 4

x = 1, y = 4

x = - 4, y = - 1

x = 4, y = 1

(1)×4+(2)

8 x - 4 y = 28

+) 3 x + 4 y = 16

11 x = 44

x = 4

これを(1)に代入すると

8 - y = 7

- y = - 1

y = 1

x = 4, y = 1

…（答）

→閉じる←

【例題４】　次の連立方程式を解いてください．

2 x + 3 y = 1

…(1)

5 x - 4 y = 11

…(2)

x

の係数も

y

の係数もそろっておらず，係数が1となっている文字もないときは，(1)も(2)も何倍かして係数をそろえます．

左の答案は

y

の係数をそろえて，

y

を消去したものですが，

x

の係数をそろえて消去することもできます．
(1)×5−(2)×2

10 x + 15 y = 5

-) 10 x - 8 y = 28

23 y = - 23

y = - 1

以下(1)または(2)に代入して

x

を求める．

（答案）
(1)×4+(2)×3

8 x + 12 y = 4

+) 15 x - 12 y = 42

23 x = 46

x = 2

これを(1)に代入すると

4 + 3 y = 1

3 y = - 3

y = - 1

x = 2, y = - 1

…（答）

※

x

を消去するのと

y

を消去するのとでは，どちらが有利か？ ⇒ 普通の生徒なら，係数が大きくなるほど計算間違いしやすくなるので，小さな係数で済む方が有利でしょう．
　この問題なら，どちらでやっても似たようなものです．一度決めたら迷わずに，ていねいに計算することが重要です！

【問題４】　次の連立方程式を解いてください．（選択肢の中から正しいものを１つクリック）

(1)

5 x + 3 y = 13

…(1)

7 x - 2 y = 12

…(2)

解説やり直す

x = 2, y = 1

x = 1, y = 2

x = 2, y = 3

x = 3, y = 2

y

の係数が小さいので，

y

の係数をそろえると楽でしょう．
(1)×2+(2)×3

10 x + 6 y = 26

+) 21 x - 6 y = 36

31 x = 62

x = 2

これを(1)に代入すると

10 + 3 y = 13

3 y = 3

y = 1

x = 2, y = 1

…（答）

→閉じる←

(2)

4 x + 7 y = - 1

…(1)

5 x + 3 y = - 7

…(2)

解説やり直す

x = - 1, y = 2

x = 2, y = - 1

x = 1, y = - 2

x = - 2, y = 1

x, y

のどちらの係数をそろえても，計算量は同じくらいです．ここでは

x

をそろえてみます．
(1)×5−(2)×4

20 x + 35 y = - 5

-) 20 x + 12 y = - 28

23 y = 23

y = 1

これを(1)に代入すると

4 x + 7 = - 1

4 x = - 8

x = - 2

x = - 2, y = 1

…（答）

→閉じる←

(3)

3 x - 2 y = 6

…(1)

4 x - 5 y = 1

…(2)

解説やり直す

x = 3, y = 4

x = 4, y = 3

x = - 3, y = - 4

x = - 4, y = - 3

x, y

のどちらの係数をそろえても，計算量は同じくらいです．ここでは

y

をそろえてみます．
(1)×5−(2)×2

15 x - 10 y = 30

-) 8 x - 10 y = 2

7 x = 28

x = 4

これを(1)に代入すると

12 - 2 y = 6

- 2 y = - 6

y = 3

x = 4, y = 3

…（答）

→閉じる←

【例題５】　次の連立方程式を解いてください．

3 x + 2 y - 12 = x + 3 y

…(1)

3 (x + y) - 2 (x - y) + 5 = 0

…(2)

方程式の形が，

◯ x + △ y = §

…(1)

♠ x + \otimes y = ♣

…(2)
の形になっていないときは，(1)(2)の形に変形してから解くようにします．

（答案）
(1)の右辺の

x, y

を左辺に，定数項−12を右辺にそれぞれ移項します．

3 x - x + 2 y - 3 y = 12

2 x - y = 12

…(1’)
(2)は展開して整理し，定数項5は右辺に移項します．

3 x + 3 y - 2 x + 2 y + 5 = 0

x + 5 y = - 5

…(2’)
(1’)−(2’)×2

2 x - y = 12

-) 2 x + 10 y = - 10

- 11 y = 22

y = - 2

これを(1’)に代入すると

2 x + 2 = 12

2 x = 10

x = 5

x = 5, y = - 2

…（答）

【問題５】　次の連立方程式を解いてください．（選択肢の中から正しいものを１つクリック）

(1)

3 (x + 2 y) + 4 (2 x - y) = - 5

…(1)

4 x + 5 y - 22 = 2 x - 3 y

…(2)

解説やり直す

x = 1, y = 3

x = - 3, y = - 1

x = - 1, y = 3

x = 3, y = - 1

(1)→

3 x + 6 y + 8 x - 4 y = - 5

11 x + 2 y = - 5

…(1’)
(2)→

4 x - 2 x + 5 y + 3 y = 22

2 x + 8 y = 22

x + 4 y = 11

…(2’)
(1’)×2−(2’)

22 x + 4 y = - 10

-) x + 4 y = 11

21 x = - 21

x = - 1

これを(2’)に代入すると

- 1 + 4 y = 11

4 y = 12

y = 3

x = - 1, y = 3

…（答）

→閉じる←

(2)

- 3 x + 5 y + 25 = 4 x - 3 y

…(1)

7 (x - 2 y) - 3 (2 x - 3 y) + 8 = 0

…(2)

解説やり直す

x = 8, y = 2

x = 7, y = 3

x = 6, y = 4

x = 5, y = 5

(1)→

- 3 x - 4 x + 5 y + 3 y = - 25

- 7 x + 8 y = - 25

…(1’)
(2)→

7 x - 14 y - 6 x + 9 y = - 8

x - 5 y = - 8

…(2’)
(1’)+(2’)×7

- 7 x + 8 y = - 25

+) 7 x - 35 y = - 56

- 27 y = - 81

y = 3

これを(2’)に代入すると

x - 15 = - 8

x = 7

x = 7, y = 3

…（答）

→閉じる←

(3)

3 x - 6 y + 9 = 5 x - 7 y

…(1)

5 (- x + 2 y) - 2 (- 3 x + 2 y) + 28 = 0

…(2)

解説やり直す

x = 2, y = 5

x = - 5, y = - 2

x = - 5, y = 2

x = 2, y = - 5

(1)→

3 x - 5 x - 6 y + 7 y = - 9

- 2 x + y = - 9

…(1’)
(2)→

- 5 x + 10 y + 6 x - 4 y = - 28

x + 6 y = - 28

…(2’)
(1’)+(2’)×2

- 2 x + y = - 9

+) 2 x + 12 y = - 56

13 y = - 65

y = - 5

これを(2’)に代入すると

x - 30 = - 28

x = 2

x = 2, y = - 5

…（答）

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