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○ ２直線を表わす方程式 例題 x2+5xy+6y2+5x+14y+4=0 …(A) のような x , y の２次方程式は， (x+3y+1)(x+2y+4)=0 と因数分解してみると， x+3y+1=0 及び x+2y+4=0 …(B) の２つの直線を表わすことが分かる． これは，(A)を x（または y ）について解くと，y（または x ）の１次式 x=−3y−1 , x=−2y−4 （または y=−  13x−13 , y=−12x−2 ）
になることに対応している． 実際，(A)を x の方程式 x2+(5y+5)x+(6y2+14y+4)=0 …(C) として，解の公式で解くと x= −(5y+5)± √(5y+5)2−4(6y2+14y+4)2= −(5y+5)±√y2−6y+92
となって，根号の中が D=y2−6y+9=(y−3)2 と完全平方式になり根号が外れて，この部分が１次式になる． x= −(5y+5)±(y−3)2 よりx= −(5y+5)−(y−3)2=−6y−22=−3y−1x= −(5y+5)+(y−3)2=−4y−82=−2y−4
■続く↑■
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■→続き■ x2+5xy+6y2+5x+14y+k=0 …(D) のように文字係数が含まれている x , y の２次方程式は，一般にはそのまま因数分解することはできない． そのため，「方程式(D)が２直線を表わすように，定数 k の値を定めよ．」という問題においては，直接に因数分解して結果を示すことはむずかしい．（左の問題を覚えていれば，k=4 という予想はできるが，それ以外に解がないといえるか？） そこで，左の(C)からスタートし，根号内すなわち x の２次方程式としたときの判別式 D が完全平方式となるように k の値を定めるとよい． x2+(5y+5)x+(6y2+14y+k)=0 を解の公式を用いて x について解くと x= −(5y+5)±√(5y+5)2−4(6y2+14y+k)2= −(5y+5)±√y2−6y+(25−4k)2
x が y の１次式となるには，根号が１次式として外れることが必要十分条件となるが，これは根号内すなわち D=y2−6y+(25−4k) が y の完全平方式であることと同値． さらに，y2−6y+(25−4k) が y の完全平方式であるためには， y2−6y+(25−4k)=0 が重解を持つことが必要十分条件となるから，この方程式を y の２次方程式としたときの判別式 D2=(−6)2−4(25−4k)=0 より，k=4 が求まる． |
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【要約】
x , y の２次方程式 ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0 …(1) が２直線を表わすように係数を定めるには，(1)を x の２次方程式としたときの判別式 D1 について， D1=0 をさらに y の２次方程式として，その判別式 D2 について D2=0 となるように係数の値を定めればよい． |
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■ 問題 次の空欄を埋めよ． |
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