対称式の値（無理数）

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数と式(公式と例)/対称式の変形/実数と根号（公式と例）/根号計算1/根号計算2/分母の有理化/無理数の独立/式の値(無理数の対称式)/xⁿ+1/xⁿの値/センター試験問題平方根の計算/根号計算の入試問題/二重根号/絶対値/絶対値2つの外し方/絶対値の入試問題/文字式を含む根号計算/センター共通数と式問題/

== 対称式の値（無理数） ==
《解説》

■　対称式とは

　x+y , xy , x2+y2 , x3+y3のようにxとyを入れ替えたときに

それぞれ，y+x , yx , y2+x2 , y3+x3となって，元の式と同じ値になる

式の値が変わらないものを対称式といいます.（以下2文字の場合を扱います.）

■　基本対称式

　２文字の対称式のうち，x+yとxyを基本対称式といいます.

■　対称式の性質

　対称式は，基本対称式で表すことができます.

【例】

x^{2} + y^{2} = (x + y)^{2} - 2 x y

x^{3} + y^{3} = (x + y)^{3} - 3 x^{2} y - 3 x y^{2}

= (x + y)^{3} - 3 x y (x + y)

\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{x^{2} + y^{2}}{x y} = \frac{(x + y)^{2} - 2 x y}{x y}

　対称式でないもの（例えば次の例のように文字を入れ替えると式の符号が変わるもの：交代式）は基本対称式だけでは表せません．

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

■無理数を与えられた式に代入するときにも，対称式の性質を利用するのが普通です．

もちろん，直接代入することもできますが，直接代入すると複雑な式になることが多く，計算間違いしやすくなります．
以下の問題では，そのような直接代入による力まかせの答案ではなく，対称式の変形として普通に行われる方法を扱います．

≪例≫

x = \frac{1}{2 - \sqrt{3}}, y = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}

のとき

x^{2} + y^{2}

の値を求めよ．

（答案）
分母を有理化すると

x = \frac{2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 + \sqrt{3}

y = \frac{2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 - \sqrt{3}

になるから，

x + y = 4, x y = 1

←これを求めるところがポイント
ゆえに

x^{2} + y^{2} = (x + y)^{2} - 2 x y = 16 - 2 = 14

以下の問題では，採点すると解答が出ます．採点しないと出ません．

《問題》

1
　ｘ＝，ｙ＝　のとき
3ｘ²−5ｘｙ+3ｙ²の値を求めなさい.

ｘ＝５-2√6，ｙ＝5+2√6
ｘ＋ｙ＝10，ｘｙ＝1
を利用して
3ｘ²-5ｘｙ+3ｙ²
＝3(ｘ＋ｙ)²-11ｘｙ
を計算します.

3× 102−11=289

2
　ｘ＝，ｙ＝　のとき，ｘ⁴+ｘ²ｙ²+ｙ⁴の値を求めなさい.

ｘ＋ｙ＝3，ｘｙ＝1より
ｘ²+ｙ²
＝（ｘ＋ｙ）²-2ｘｙ
＝7
を利用して
ｘ⁴+ｘ²ｙ²+ｙ⁴
＝（ｘ²+ｙ²）²−ｘ²ｙ²
を計算します.

(32−2)2−1=72−1=48

3
　ｘ＝，ｙ＝　のとき，　の値を求めなさい.

ｘ＋ｙ＝√6，ｘｙ＝1
を利用して

＝（ｘ²+ｙ²）/ｘｙ
＝ｘ²+ｙ²＝（ｘ＋ｙ）²−2ｘｙ
を計算します.

6−2=4

4
　ｘ＝，ｙ＝　のとき
ｘ³+ｘｙ+ｙ³の値を求めなさい.

ｘ＝５-2√6，ｙ＝5+2√6
ｘ＋ｙ＝10，ｘｙ＝1
を利用して
ｘ³+ｘｙ+ｙ³
＝（ｘ＋ｙ）（ｘ²-ｘｙ+ｙ²）+ｘｙ
を計算します.

(x+y){(x+y)2−3xy}+xy
=10{102−3}+1=10×97+1
=971

5
　ｘ＝，ｙ＝　のとき
ｘ³+ｘ²ｙ+ｘｙ²+ｙ³の値を求めなさい.

ｘ＝3-2√2、ｙ＝3+2√2
ｘ＋ｙ＝6，ｘｙ＝1だから
ｘ²+ｙ²＝（ｘ＋ｙ）²-2ｘｙ
＝34
ｘ³+ｘ²ｙ+ｘｙ²+ｙ³
＝(ｘ²+ｙ²)(ｘ＋ｙ)
を利用します.

(62−2)×6=34×6=204

《解説》

■　交代式とは

x−y , x2−y2のように，xとyを入れ替えると符号が逆になるものを交代式といいます.

■交代式は，対称式と交代式を組み合わせて表現できます.

≪例≫

x = \frac{1}{2 - \sqrt{3}}, y = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}

のときx3−y3の値を求めよ．

（答案）
分母を有理化すると

x = 2 + \sqrt{3}

y = 2 - \sqrt{3}

になるから，

x + y = 4, x y = 1

x - y = 2 \sqrt{3}

←交代式ではこの式も必要
ここで

x^{3} - y^{3} = (x - y) (x^{2} + x y + y^{2})

= (x - y) {(x + y)^{2} - x y}

= 2 \sqrt{3} \times (16 - 1) = 30 \sqrt{3}

…（答）

■

x^{n} + \frac{1}{x^{n}}

の形の式

x^{n} + \frac{1}{x^{n}}

の形の式は

x + \frac{1}{x}

の多項式で表せます．

【例】

x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = (x + \frac{1}{x})^{2} - 2

x^{3} + \frac{1}{x^{3}} = (x + \frac{1}{x}) (x^{2} - x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}})

= (x + \frac{1}{x}) {(x + \frac{1}{x})^{2} - 3}

≪例≫

x = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{\sqrt{7} + \sqrt{3}}

のとき次の式の値を求めなさい．

(1)

x + \frac{1}{x}

(2)

x^{2} + \frac{1}{x^{2}}

(3)

x^{3} + \frac{1}{x^{3}}

（答案）
(1)

x = \frac{(\sqrt{7} - \sqrt{3})^{2}}{(\sqrt{7} + \sqrt{3}) (\sqrt{7} - \sqrt{3})} = \frac{7 - 2 \sqrt{21} + 3}{7 - 3}

= \frac{10 - 2 \sqrt{21}}{4} = \frac{5 - \sqrt{21}}{2}

\frac{1}{x} = \frac{(\sqrt{7} + \sqrt{3})^{2}}{(\sqrt{7} + \sqrt{3}) (\sqrt{7} - \sqrt{3})} = \frac{7 + 2 \sqrt{21} + 3}{7 - 3}

= \frac{10 + 2 \sqrt{21}}{4} = \frac{5 + \sqrt{21}}{2}

だから

x + \frac{1}{x} = 5

(2)

x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = (x + \frac{1}{x})^{2} - 2 = 25 - 2 = 23

(3)

x^{3} + \frac{1}{x^{3}} = (x + \frac{1}{x}) {(x + \frac{1}{x})^{2} - 3}

= 5 (25 - 3) = 110

《問題》

1
　ｘ＝　のとき，の値を求めなさい.

ｘ＋1/ｘ＝6

＝36−2＝34
を利用します.

x^{3} + \frac{1}{x^{3}} = (x + \frac{1}{x}) (x^{2} - 1 + \frac{1}{x^{2}})

= 6 \times (34 - 1) = 198

2
　ｘ＝　のとき，　の値を求めなさい.

次の式を下ごしらえしておきます

x + \frac{1}{x} = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} + \frac{2}{\sqrt{5} + 1}

= \frac{\sqrt{5} + 1}{2} + \frac{2 (\sqrt{5} - 1)}{5 - 1}

= \frac{\sqrt{5} + 1}{2} + \frac{\sqrt{5} - 1}{2} = \sqrt{5}

次に，

x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = (x + \frac{1}{x})^{2} - 2

を求めます

5−2=3

3
　ｘ＝　のとき，　の値を求めなさい.

次の式を下ごしらえしておきます

x + \frac{1}{x} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4 - 3} + 2 + \sqrt{3} = 4

x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = (x + \frac{1}{x})^{2} - 2 = 14

次に

x^{4} + \frac{1}{x^{4}} = (x^{2} + \frac{1}{x^{2}})^{2} - 2

を計算します

142−2=194

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