== 領域における最大最小 ==
■　はじめに
○　右図１のように，連立不等式 x≧0 , y≧0 , y≦−x+2 で表わされる三角形の領域において，y−x の取りうる値の範囲を求めたいものとする．

○　y−x のままでは，単なる「式」で x も y も変るので分かりにくい．
　これを，y−x=k すなわち y=x+k とおくと「方程式」になり「直線」を表わす．
　このように，求めたい式の値を … =k とおき，k の取り得る値の範囲を考えると「図形」に対応させて考えることができる．

■　１つの直線上では k の値は同じ

○　例えば，右図1のＡの直線の方程式は y=x+1 で，k=1 になっている．
　この直線の方程式が y=x+1 だということは，この直線上のどの点でも y=x+1 すなわち y−x=1 が成り立つことを表わしている．
x=−1, y=0 の点では，0−(−1)=1
x=0, y=1 の点では，1−0=1
x=1, y=2 の点では，2−1=1
他にも多くの点があるが，直線Ａ上のどの点でも y−x の値が 1 になるのは，この直線上では y−x=1 が成り立つからである．
○　右図1のＢの直線の方程式は y=x+2 で，この直線上のどの点でも y−x の値は 2 になる．
x=0, y=2 の点では，2−0=2
x=1, y=3 の点では，3−1=2
　　…
直線Ｂ上の点で y−x の値が 2 になるのは，この直線上では y−x=2 が成り立つからである．
○　連立不等式 x≧0 , y≧0 , y≦−x+2 で表わされる領域は，上の水色の三角形の内部及び周上であるが，この領域内における y−x の最大値と最小値を求めるには次のように考えるとよい．
　 y−x=k すなわち y=x+k とおくと，k は直線の切片を表わすから，上に行くほど大きく，下に行くほど小さくなる．
　例えば，直線Ｃは y=x+3 で k の値は大きいが，この直線は与えられた三角形の領域を通っていない．
右へ続く→
 図1



→続き
［考え方］
○与えられた領域をある直線が通っている⇔領域内でその直線の k の値がとれる．
▼与えられた領域をある直線が通っていない⇔領域内でその直線の k の値がとれない．

上の三角形の領域では，
▼k=3の値はとれない．
○k=2の値はとれる．（例えば点(0 , 2)においてy−x=2）
○k=1の値はとれる．（例えば点(0 , 1)においてy−x=1）
……
○k=−2の値はとれる．（例えば点(0,−2)においてy−x=−2）
▼k=−3の値はとれない．

このように，y=x+kとおいてkの値を変化させると，直線はエレベーターのように上下し，点(0 , 2)において最大値2，点(2 , 0)において最小値−2となる．

　上の問題では，ある直線y=x+kが通っている点が１つでもあれば，そのkの値は領域内でとれる値となり，通るべき点は２つも３つもいらないことに注意
　実際には，最大値k=2となる点は(0, 2)の１点だけであり，最小値k=−2となる点は(2, 0)の１点だけであるが，これで十分
　他方において，−2<k<2となる点はそれぞれたくさんあるが，ある値がとれるかどうかという問題（最大値・最小値）にとっては，点が幾つあっても答は変らないので，「上の三角形の領域の内部」は最大値・最小値という問題に関係なく，三角形の周上だけで取りうる値はすべて実現されている．
　一般に，求める式の形がy=x+kのように直線図形になっているときは，つねに周上で最大値・最小値をとることが知られている．
［例題1］
　 x , yが，不等式 x≧0 , y≧0 , y≦−x+2を満たすとき，2x−yの最大値と最小値を求めよ．
(1)　まず領域を図示する．
(2)　次に，2x−y=kとおいて，幾つか直線を図示してイメージをつかむ．
※　右図のように，kが大きくなると切片が小さくなることもある．
［解答］
_2x−y=kとおく
y=2x+(−k)において切片は −kだから，kが大きくなると切片は小さくなる．
(0 , 2)のとき最小値となり，k=0−2=−2
(2 , 0)のとき最大値となり，k=4−0=4…（答）

※　kの値は，図から切片として求まる場合もあるが，この問題のように (x , y)の座標が先に求まる場合は，代入すれば直ちに求まる（いただき～♪と考えるべし）．
［問題1］
　 x , yが，不等式 y≧0 , y≦x , x+y≦2を満たすとき，y−2xの最大値と最小値を求めよ．
最大値 ，最小値

採点するやり直すヘルプ
［例題2］
　x≧0 , y≧0 , x+2y≦8 , 3x+y≦9のとき，x+yの最大値と最小値を求めよ．
(1)　領域を図示する．
(2)　x+y=kとおいて，幾つか直線を描く．
(3)　kの値を増やしていくとき，最初に領域にさわる所，最後に領域とさわる所を探す．
［解答］ x≧0 , y≧0 , x+2y≦8 , 3x+y≦9の領域は右図の通り．
　また，x+y=k すなわち y=−x+k とおくと，右図の赤で示した直線になる．
傾きについては −3<-1<−1/2 が成り立つから，k が最大となるのは，(0 , 4) や (3 , 0) ではなく交点 (2 , 3) になることに注意する．
　連立方程式 x+2y=8 , 3x+y=9 を解くと，交点は (x , y)=(2 , 3)
　傾きは −3<-1<−.12n だから，図のように (2 , 3) において k が最大となる．
　最大値は 2+3=5

　次に，図のように (0 , 0) において k が最小となるから，最小値は 0+0=0

　最大値 5 （ x=2 , y=3 のとき ）
　最小値 0 （ x=0 , y=0 のとき ）…（答）
［問題2］
　x≧0 , y≧0 , 2x+y≦8 , x+3y≦9 のとき，x+2y の最大値と最小値を求めよ．
__________________最大値 ，最小値
採点する やり直す ヘルプ
［例題3］
　x2+y2≦5 のとき，y−2x の最大値と最小値を求めよ．
[公式] 【判別式】
_____ax2+bx+c=0　（ただし a≠0 ）
の実数解の個数は
_____D=b2−4ac>0 のとき２個
_____D=b2−4ac=0 のとき１個
_____D=b2−4ac<0 のときなし
D の符号で調べることができる．
_____ax2+2b’x+c=0　（ただし a≠0 ）
の場合は
_____D’=b’2−ac>0 のとき２個
_____D’=b’2−ac=0 のとき１個
_____D’=b’2−ac<0 のときなし
を使えば簡単になる．（ D でやってもよい．）
※　x2+y2=5 と y=2x+k の共有点の個数は，これらから y を消去してできる x の２次方程式
_________x2+(2x+k)2=5
_________5x2+4kx+(2−5)=0
の判別式は
_____D’=(4k)2−20(2−5)
または，
_____D’=(2k)2−5(2−5)=−k2+25
［解答］
y−2x=k すなわち y=2x+k とおくと，傾き 2，切片 k の直線になる．
　x2+y2≦5 において kの値が変化するとき，右図のように円に接するとき k が最大・最小となる．

　y=2x+k と x2+y2=5 が接するときの kの値を求める．
　y を消去すると
_________x2+(2x+k)2=5
_________5x2+4kx+(k2−5)=0
接するのは判別式が０となる時だから
_________D’=(2k)2−5(k2−5)=−k2+25=0
より
_________k=±5
２つある接点 P, Q のどちらが k=5 に対応するのかは，見れば分かる．上にある方（ k の大きい方）が k=5 となる．
　よって，最大値は 5，最小値は −5 …（答）
　この問題では，最大値・最小値が先に求まり，それを実現する x , yの値がまだ求まっていない．
　問題文に「最大値，最小値を求めよ。また，そのときの x , yの値を求めよ．」と特に指定されていなければ x , yの値を求めなくてもよい．
　指定されていれば，例えば最大値 k=5 となるのは，この値を代入して
_________5x2+20x+20=0
_________x2+4x+4=0
より x=−2 , y=1 とすればよい．
［問題3］
　x2+y2≦5 , y≧0 のとき，2x+y の最大値と最小値を求めよ．
最大値 ，最小値 −.√√nni

採点する やり直す ヘルプ
■以下の内容は，教科書と比べると難しい，参考書では普通
［例題4］［ k が半径（の２乗）を表わす場合 ］
　y≧0 , y≦x , 2x+y≦6 のとき，x2+y2 の最大値と最小値を求めよ．
　x2+y2=k とおくと，k は原点を中心とする円の半径（の２乗）を表わす．
　そこで，円を描いて半径が最大・最小となる点を求めるとよい．
［解答］
　x2+y2=k とおくと，k は原点を中心とする円の半径（の２乗）を表わす．
　点 (3 , 0) においては k=32+02=9
　点 (2 , 2) においては k=22+22=8
円は外にふくらんでいるから（何と通俗的な解説！）これら２点の間の線分で最大となることはない．
だから，点 (3 , 0) において最大値 9 をとる．
　また原点において最小値 k=02+02=0 をとる．…（答）
［問題4］
　y≦2 , x≦2 , x+y≧2 のとき，x2+y2 の最大値と最小値を求めよ．
最大値 ，最小値
採点する やり直す ヘルプ
［例題5］［ k が半径（の２乗）を表わす場合 ］
　y≧0 , x≧0 , x+y≦1 のとき，(x+1)2+y2 の最大値と最小値を求めよ．
　(x+1)2+y2=k とおくと，k は (−1 , 0) を中心とする円の半径（の２乗）を表わす．
　そこで，円を描いて半径が最大・最小となる点を求めるとよい．
［解答］
　(x+1)2+y2=k とおくと，k は (−1 , 0) を中心とする円の半径（の２乗）を表わす．
　点 (1 , 0) において最大値 k=4
　点 (0 , 0) において最小値 k=1 をとる．…（答）
［問題5］
　x2+y2≦1 のとき，x2+y2−4x の最大値と最小値を求めよ．
最大値 ，最小値
採点する やり直す ヘルプ
○===メニューに戻る
■［個別の頁からの質問に対する回答］[領域における最大最小について／17.2.9］
例題2の傾きの範囲は -3＜k＜-1/2 ではないでしょうか？
＝＞［作者］：連絡ありがとう．少し記述に問題がありましたので訂正しました．

■このサイト内のGoogle検索■

△このページの先頭に戻る△
【 アンケート送信 】
… このアンケートは教材改善の参考にさせていただきます

■この頁について，良い所，悪い所，間違いの指摘，その他の感想があれば送信してください．
○文章の形をしている感想は全部読ませてもらっています．
○感想の内で，どの問題がどうであったかを正確な文章で伝えていただいた改善要望に対しては，可能な限り対応するようにしています．（※なお，攻撃的な文章になっている場合は，それを公開すると筆者だけでなく読者も読むことになりますので，採用しません．）


質問に対する回答の中学版はこの頁，高校版はこの頁にあります