変域

*** 学年 ***
中学１年中学２年中学３年
*** 単元 ***
式の展開因数分解素数・素因数分解平方根
２次方程式三平方の定理２次関数平行線・相似

※中学３年生向け「２次関数」について，このサイトには次の教材があります．
この頁へGoogleやYAHOO ! などの検索から直接来てしまったので「前提となっている内容が分からない」という場合や「この頁は分かったがもっと応用問題を見たい」という場合は，他の頁を見てください．　が現在地です．

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↓同(2)
↓同(3)
2次関数のグラフと直線

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== 二次関数の変域(入試問題) ==
【例題１】

関数

y = \frac{1}{2} x^{2}

で，xの変域が−3≦x≦2のとき，yの変域を求めよ。

（茨城県2015年入試問題）

【要点】
1.　２次関数y=ax2で，a>0の

とき（この問題では

a = \frac{1}{2}

），グラフは右図のように谷型（下に凸）になります．
2.　xの変域が与えられたとき，yの変域は，右図で赤●，青●，緑●で示した３つの点，すなわち「左端」「右端」「頂点」のy座標のうちで最小値から最大値までです．
　(1)　まず左端，右端以外に頂点の値も候補に入れて，そのうち２つの値を答えることになります．（候補者3人のうちで当選するのは２人だけです）
　　中間になる値（右図では緑●）はyの変域に影響しません．
　(2)　xの変域が頂点を含んでいるときは，頂点のy座標が最小値になります．
　(3)　問題に書かれたxの値の順に関係なく，変域としてyの値の順に並べることが重要です．

（解答）
x=−3のとき，

y = \frac{9}{2}

…(A)
x=2のとき，y=2…(B)
x=0のとき，y=0…(C)
グラフは図のようになるから

0 ≦ y ≦ \frac{9}{2}

…（答）

※以下に引用する高校入試問題で，元の問題は記述式の問題ですが，ｗｅｂ画面上で入力問題にすると操作性が悪いので，選択問題に書き換えています．

【問題１】　（画面上で解答するには，選択肢の中から正しいものを１つクリック）

(1)
関数

y = \frac{1}{4} x^{2}

について，xの変域が−1≦x≦4のときのyの変域を求めよ。

（奈良県2015年入試問題）

解説やり直す

−1≦y≦4 1≦y≦4 0≦y≦4 0≦y≦16

x=−1のとき，

y = \frac{1}{4}

…(A)
x=4のとき，y=4…(B)
x=0のとき，y=0…(C)
(A)(B)(C)よりグラフは右図のようになるから
0≦y≦4 …（答）

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(2)
関数y=3x2について，xの変域が−4≦x≦2のときのyの変域はa≦y≦bである。このとき，a, bの値をそれぞれ求めよ。

（高知県2015年入試問題）

解説やり直す

a=−48, b=12 a=12, b=48

a=0, b=12 a=0, b=48

x=−4のとき，y=48…(A)
x=2のとき，y=12…(B)
x=0のとき，y=0…(C)
(A)(B)(C)よりグラフは右図のようになるから
0≦y≦48
a=0, b=48 …（答）

→閉じる←

(3)
関数y=x2について，xの変域が−5≦x≦4のときのyの変域を，次のア～エのうちから選び，記号で答えよ。

ア　−25≦y≦16

イ　0≦y≦16

ウ　0≦y≦25

エ　16≦y≦25

（東京都2015年入試問題）

解説やり直す

アイウエ

x=−5のとき，y=25…(A)
x=4のとき，y=16…(B)
x=0のとき，y=0…(C)
(A)(B)(C)よりグラフは右図のようになるから
0≦y≦25 …（答）

→閉じる←

(4)
関数

y = \frac{2}{3} x^{2}

について，xの変域が−1≦x≦3のときのyの変域を求めよ。

（福岡県2015年入試問題）

解説やり直す

\frac{2}{3} ≦ y ≦ 6

0 ≦ y ≦ 6

- \frac{2}{3} ≦ y ≦ 6

\frac{2}{3} ≦ y ≦ 2

x=−1のとき，

y = \frac{2}{3}

…(A)
x=3のとき，y=6…(B)
x=0のとき，y=0…(C)
(A)(B)(C)よりグラフは右図のようになるから
0≦y≦6 …（答）

→閉じる←

【例題２】

関数y=−x2について，xの変域が1≦x≦3のときのyの変域を求めなさい。

（栃木県2015年入試問題）

【要点】
1.　２次関数y=ax2で，a<0の

とき（この問題ではa=−1），グラフは右図のように山型（上に凸）になります．
2.　xの変域が与えられたとき，yの変域は，右図で赤●，緑●で示した２つの点，すなわち「左端」「右端」のy座標のうちで最小値から最大値までです．
　(1)　頂点の値（右図では青×）はyの変域に影響しません．
　(2)　この問題のように減少関数（xが増えたらyが減る）になるような変域もありますので，問題に書かれたxの値の順に関係なく，変域としてyの値の順に並べることが重要です．

（解答）
x=1のとき，y=−1…(A)
x=3のとき，y=−9…(B)
グラフは図のようになるから
−9≦y≦−1…（答）

【問題２】　（画面上で解答するには，選択肢の中から正しいものを１つクリック）

(1)
関数y=−x2について，xの変域が−2≦x≦1のときのyの変域を求めなさい。

（岩手県2000年入試問題）

解説やり直す

−4≦y≦0 1≦y≦4 0≦y≦4 −4≦y≦1