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中学数学>> 中学１年 >>正負の数

== 逆数と割り算 ==

【逆数ぎゃくすうとは】
　2つの数の積が１になるとき，一方の数を他方の数の逆数といいます．

(1)${\displaystyle 2\times \frac{1}{2}=1}$だから，${\displaystyle 2}$の逆数は${\displaystyle \frac{1}{2}}$です．
また，${\displaystyle \frac{1}{2}}$の逆数は${\displaystyle 2}$です．

(2)${\displaystyle \frac{4}{3}\times \frac{3}{4}=1}$だから，${\displaystyle \frac{4}{3}}$の逆数は${\displaystyle \frac{3}{4}}$です．
また，${\displaystyle \frac{3}{4}}$の逆数は${\displaystyle \frac{4}{3}}$です．

【逆数の作り方】
　逆数は，元の分数の分母と分子を入れ換えたものになる

上の例(1)では，${\displaystyle 2=\frac{2}{1}}$と見ると，${\displaystyle \frac{2}{1}\times \frac{1}{2}=1}$になっています．

上の例(2)では，${\displaystyle \frac{4}{3}}$の分母と分子を入れ換えたものが，${\displaystyle \frac{3}{4}}$になっています．

の～んびり行こうぜ

(1)
　次のうちで，積が１になる計算になっているものはどれですか．

解説 やり直す

${\displaystyle 5-5}$ ${\displaystyle 5\times 5}$ ${\displaystyle 5\times \frac{1}{5}}$ ${\displaystyle 5\times (-\frac{1}{5})}$

${\displaystyle 5\times \frac{1}{5}=1}$です． …（答）

(2)
${\displaystyle 7}$の逆数を答えてください．

解説 やり直す

${\displaystyle -7}$ ${\displaystyle -\frac{1}{7}}$ ${\displaystyle \frac{1}{7}}$ ${\displaystyle \frac{2}{7}}$

${\displaystyle 7=\frac{7}{1}}$と考えて分母と分子を入れ換えます．${\displaystyle \frac{1}{7}}$ …（答）

(3)
${\displaystyle \frac{8}{7}}$の逆数を答えてください．

解説 やり直す

${\displaystyle -\frac{8}{7}}$ ${\displaystyle \frac{1}{7}}$ ${\displaystyle \frac{1}{8}}$ ${\displaystyle \frac{7}{8}}$

${\displaystyle \frac{8}{7}}$の分母と分子を入れ換えます．${\displaystyle \frac{7}{8}}$ …（答）

(4)
${\displaystyle 1}$の逆数を答えてください．

解説 やり直す

${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle \frac{1}{10}}$

${\displaystyle 1=\frac{1}{1}}$と考えて分母と分子を入れ換えます．${\displaystyle \frac{1}{1}=1}$ …（答）
※1の逆数は1です．（掛けて1になればよく，ある数とその逆数が同じ数ということもあり得ます．） 　初めに述べたように「2つの数の積が１になるとき，一方の数を他方の数の逆数という」ので
※このように，1 と −1 は，それぞれの逆数が自分自身と等しくなります．

【逆数の符号】
　正の数の逆数は，正の数になります．
　負の数の逆数は，負の数になります．

(3)${\displaystyle \frac{2}{3}\times \frac{3}{2}=1}$のように，(正の数)に(正の数)をかけると(正の数)になります．
　このように，(正の数)×(逆数)=1 になるとき，(逆数)も正の数になります．

(4)${\displaystyle (-\frac{2}{3})\times (-\frac{3}{2})=1}$のように，(負の数)に(負の数)をかけると(正の数)になります．
　このように，(負の数)×(逆数)=1 になるとき，(逆数)も負の数になります．

## 危険な落とし穴
　逆数を求めるには「分母と分子を入れ換える」
だだし，符号を変えてはいけない．

${\displaystyle (-\frac{2}{3})\times (-\frac{3}{2})=1\to -\frac{2}{3}}$の逆数は ${\displaystyle -\frac{3}{2}}$
${\displaystyle -\frac{2}{3}}$の逆数は ${\displaystyle \frac{3}{2}}$ではない

(1)
　${\displaystyle -\frac{6}{5}}$の逆数を答えてください．

解説 やり直す

${\displaystyle \frac{6}{5}}$ ${\displaystyle -\frac{6}{5}}$ ${\displaystyle \frac{5}{6}}$ ${\displaystyle -\frac{5}{6}}$

分母と分子を入れ換えて，符号は変えません．
${\displaystyle -\frac{5}{6}}$…（答）

(2)
　${\displaystyle -3}$の逆数を答えてください．

解説 やり直す

${\displaystyle \frac{1}{3}}$ ${\displaystyle -\frac{1}{3}}$ ${\displaystyle \frac{3}{1}}$ ${\displaystyle -\frac{3}{1}}$

${\displaystyle -3=-\frac{3}{1}}$の分母と分子を入れ換えて，符号は変えません．
${\displaystyle -\frac{1}{3}}$…（答）

(3)
　${\displaystyle \frac{3}{10}}$の逆数を答えてください．

解説 やり直す

${\displaystyle \frac{10}{3}}$ ${\displaystyle -\frac{10}{3}}$ ${\displaystyle -\frac{3}{10}}$ ${\displaystyle -\frac{1}{3}}$

${\displaystyle \frac{3}{10}}$の分母と分子を入れ換えて，符号は変えません．
${\displaystyle \frac{10}{3}}$…（答）

(4)
　${\displaystyle -\frac{1}{7}}$の逆数を答えてください．

解説 やり直す

${\displaystyle \frac{1}{7}}$ ${\displaystyle -\frac{1}{7}}$ ${\displaystyle -7}$ ${\displaystyle 7}$

${\displaystyle -\frac{1}{7}}$の分母と分子を入れ換えて，符号は変えません．
${\displaystyle -\frac{7}{1}=-7}$…（答）

【割り算と逆数の利用】
　正負の数で割るには，その数の逆数を掛ければよい．
（この性質は，分数で割るときによく使いますが，整数や小数で割るときにも使えます）

${\displaystyle \frac{3}{2}÷3}$のように，${\displaystyle 3}$で割る計算は，${\displaystyle \frac{3}{2}\times \frac{1}{3}}$のように，${\displaystyle 3}$の逆数${\displaystyle \frac{1}{3}}$を掛ける計算に直せます．

${\displaystyle \frac{3}{2}÷\frac{4}{5}}$のように，${\displaystyle \frac{4}{5}}$で割る計算は，${\displaystyle \frac{3}{2}\times \frac{5}{4}}$のように，${\displaystyle \frac{4}{5}}$の逆数${\displaystyle \frac{5}{4}}$を掛ける計算に直せます．

(1)
　${\displaystyle \frac{7}{3}÷5}$をかけ算に直してください

解説 やり直す

${\displaystyle \frac{7}{3}\times (-\frac{1}{5})}$ ${\displaystyle \frac{7}{3}\times \frac{1}{5}}$ ${\displaystyle \frac{7}{3}\times (-\frac{5}{1})}$ ${\displaystyle \frac{7}{3}\times \frac{5}{1}}$

${\displaystyle 5}$の逆数は${\displaystyle \frac{1}{5}}$だから，${\displaystyle ÷5}$ を${\displaystyle \times \frac{1}{5}}$ に直します．
${\displaystyle \frac{7}{3}\times \frac{1}{5}}$ …（答）
結果まで求めると，${\displaystyle \frac{7}{3}\times \frac{1}{5}=\frac{7}{15}}$になります

(2)
　${\displaystyle (-\frac{3}{4})÷\frac{2}{7}}$をかけ算に直してください

解説 やり直す

${\displaystyle (-\frac{3}{4})\times \frac{2}{7}}$ ${\displaystyle (-\frac{3}{4})\times \frac{7}{2}}$ ${\displaystyle \frac{4}{3}\times \frac{2}{7}}$ ${\displaystyle \frac{4}{3}\times \frac{7}{2}}$

${\displaystyle ÷}$の後にある数だけを逆数にしてかけ算に直します．
${\displaystyle (-\frac{3}{4})\times \frac{7}{2}}$ …（答）
結果まで求めると，${\displaystyle (-\frac{3}{4})\times \frac{7}{2}=-\frac{21}{8}}$になります

(3)
　${\displaystyle \frac{5}{3}÷(-\frac{7}{4})}$をかけ算に直してください

解説 やり直す

${\displaystyle \frac{5}{3}\times \frac{7}{4}}$ ${\displaystyle \frac{5}{3}\times (-\frac{7}{4})}$ ${\displaystyle \frac{5}{3}\times \frac{4}{7}}$ ${\displaystyle \frac{5}{3}\times (-\frac{4}{7})}$

${\displaystyle ÷}$の後にある数だけを逆数にしてかけ算に直します．
${\displaystyle \frac{5}{3}\times (-\frac{4}{7})}$ …（答）
結果まで求めると，${\displaystyle \frac{5}{3}\times (-\frac{4}{7})=-\frac{20}{21}}$になります

(4)
　${\displaystyle (-\frac{7}{4})÷(-\frac{3}{2})}$をかけ算に直してください

解説 やり直す

${\displaystyle (-\frac{7}{4})\times (-\frac{2}{3})}$ ${\displaystyle (-\frac{7}{4})\times \frac{2}{3}}$
${\displaystyle (-\frac{4}{7})\times (-\frac{2}{3})}$ ${\displaystyle (-\frac{4}{7})\times \frac{2}{3}}$

${\displaystyle ÷}$の後にある数だけを逆数にしてかけ算に直します．
${\displaystyle (-\frac{7}{4})\times (-\frac{2}{3})}$ …（答）
結果まで求めると，${\displaystyle (-\frac{7}{4})\times (-\frac{2}{3})=\frac{14}{12}=\frac{7}{6}}$になります

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(1)
　${\displaystyle \frac{5}{6}÷\frac{4}{9}}$

解説 やり直す

${\displaystyle \frac{20}{27}}$ ${\displaystyle -\frac{20}{27}}$ ${\displaystyle \frac{15}{8}}$ ${\displaystyle -\frac{15}{8}}$

${\displaystyle \frac{5}{6}\times \frac{9}{4}=\frac{45}{24}=\frac{15}{8}}$ …（答）

(2)
　${\displaystyle 5÷(-\frac{2}{3})}$

解説 やり直す

${\displaystyle \frac{15}{2}}$ ${\displaystyle -\frac{15}{2}}$ ${\displaystyle \frac{3}{10}}$ ${\displaystyle -\frac{3}{10}}$

${\displaystyle 5\times (-\frac{3}{2})=-\frac{15}{2}}$ …（答）

(3)
　${\displaystyle (-\frac{1}{3})÷(-\frac{7}{8})}$

解説 やり直す

${\displaystyle -\frac{24}{7}}$ ${\displaystyle \frac{21}{8}}$ ${\displaystyle -\frac{8}{21}}$ ${\displaystyle \frac{8}{21}}$

${\displaystyle (-\frac{1}{3})\times (-\frac{8}{7})=\frac{8}{21}}$ …（答）

(4)
　${\displaystyle \frac{3}{4}÷(-\frac{5}{2})}$

解説 やり直す

${\displaystyle -\frac{3}{10}}$ ${\displaystyle \frac{3}{10}}$ ${\displaystyle -\frac{15}{8}}$ ${\displaystyle \frac{15}{8}}$

${\displaystyle \frac{3}{4}\times (-\frac{2}{5})=-\frac{6}{20}=-\frac{3}{10}}$ …（答）