逆数と割り算

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== 逆数と割り算 ==

【逆数ぎゃくすうとは】
　2つの数の積が１になるとき，一方の数を他方の数の逆数といいます．

【例1】

(1) $2\times\frac{1}{2}=1$ だから， $2$ の逆数は $\frac{1}{2}$ です．
また， $\frac{1}{2}$ の逆数は $2$ です．

(2) $\frac{4}{3}\times\frac{3}{4}=1$ だから， $\frac{4}{3}$ の逆数は $\frac{3}{4}$ です．
また， $\frac{3}{4}$ の逆数は $\frac{4}{3}$ です．

【逆数の作り方】
　逆数は，元の分数の分母と分子を入れ換えたものになる

【例2】

上の例(1)では， $2=\frac{2}{1}$ と見ると， $\frac{2}{1}\times\frac{1}{2}=1$ になっています．

上の例(2)では， $\frac{4}{3}$ の分母と分子を入れ換えたものが， $\frac{3}{4}$ になっています．

の～んびり行こうぜ

【問題１】選択肢をクリックすれば採点結果と解説が出ます．

(1)
　次のうちで，積が１になる計算になっているものはどれですか．

解説やり直す

$5-5$ $5\times 5$ $5\times\frac{1}{5}$ $5\times(-\frac{1}{5})$

$5\times\frac{1}{5}=1$ です． …（答）

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(2)
$7$ の逆数を答えてください．

解説やり直す

$-7$ $-\frac{1}{7}$ $\frac{1}{7}$ $\frac{2}{7}$

$7=\frac{7}{1}$ と考えて分母と分子を入れ換えます． $\frac{1}{7}$ …（答）

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(3)
$\frac{8}{7}$ の逆数を答えてください．

解説やり直す

$-\frac{8}{7}$ $\frac{1}{7}$ $\frac{1}{8}$ $\frac{7}{8}$

$\frac{8}{7}$ の分母と分子を入れ換えます． $\frac{7}{8}$ …（答）

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(4)
$1$ の逆数を答えてください．

解説やり直す

$0$ $1$ $-1$ $\frac{1}{10}$

$1=\frac{1}{1}$ と考えて分母と分子を入れ換えます． $\frac{1}{1}=1$ …（答）
※1の逆数は1です．（掛けて1になればよく，ある数とその逆数が同じ数ということもあり得ます．）

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簡単過ぎるものは「要注意」

1 の逆数は 1 …(1)
−1 の逆数は −1 …(2)
0 の逆数はない …(3)

　初めに述べたように「2つの数の積が１になるとき，一方の数を他方の数の逆数という」ので

(1)の解説
$1$ $\times$ $1$ $=1$ だから， $1$ の逆数は $1$ です．

(2)の解説
$(-1)$ $\times$ $(-1)$ $=1$ だから， $-1$ の逆数は $-1$ です．

※このように，1 と −1 は，それぞれの逆数が自分自身と等しくなります．

(3)の解説
$0$ にはどんな数を掛けても $0$ になります．すなわち， $0$ にどんな数を掛けても $1$ にはなりません．
　だから， $0$ の逆数はありません．

【逆数の符号】
　正の数の逆数は，正の数になります．
　負の数の逆数は，負の数になります．

【例3】

(3) $\frac{2}{3}\times\frac{3}{2}=1$ のように，(正の数)に(正の数)をかけると(正の数)になります．
　このように，(正の数)×(逆数)=1 になるとき，(逆数)も正の数になります．

(4) $(-\frac{2}{3})\times(-\frac{3}{2})=1$ のように，(負の数)に(負の数)をかけると(正の数)になります．
　このように，(負の数)×(逆数)=1 になるとき，(逆数)も負の数になります．

## 危険な落とし穴
　逆数を求めるには「分母と分子を入れ換える」
だだし，符号を変えてはいけない．

$(-\frac{2}{3})\times(-\frac{3}{2})=1$ $\leftarrow$ $-\frac{2}{3}$ の逆数は $-\frac{3}{2}$
$(-\frac{2}{3})\times\frac{3}{2}=-1$ $\leftarrow$ $-\frac{2}{3}$ の逆数は $\frac{3}{2}$ ではない

【問題２】選択肢をクリックすれば採点結果と解説が出ます．

(1)
　 $-\frac{6}{5}$ の逆数を答えてください．

解説やり直す

$\frac{6}{5}$ $-\frac{6}{5}$ $\frac{5}{6}$ $-\frac{5}{6}$

分母と分子を入れ換えて，符号は変えません．
$-\frac{5}{6}$ …（答）

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(2)
　 $-3$ の逆数を答えてください．

解説やり直す

$\frac{1}{3}$ $-\frac{1}{3}$ $\frac{3}{1}$ $-\frac{3}{1}$

$-3=-\frac{3}{1}$ の分母と分子を入れ換えて，符号は変えません．
$-\frac{1}{3}$ …（答）

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(3)
　 $\frac{3}{10}$ の逆数を答えてください．

解説やり直す

$\frac{10}{3}$ $-\frac{10}{3}$ $-\frac{3}{10}$ $-\frac{1}{3}$

$\frac{3}{10}$ の分母と分子を入れ換えて，符号は変えません．
$\frac{10}{3}$ …（答）

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(4)
　 $-\frac{1}{7}$ の逆数を答えてください．

解説やり直す

$\frac{1}{7}$ $-\frac{1}{7}$ $-7$ $7$

$-\frac{1}{7}$ の分母と分子を入れ換えて，符号は変えません．
$-\frac{7}{1}=-7$ …（答）

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【割り算と逆数の利用】
　正負の数で割るには，その数の逆数を掛ければよい．
（この性質は，分数で割るときによく使いますが，整数や小数で割るときにも使えます）

【例4】

$\frac{3}{2}\div 3$ のように， $3$ で割る計算は， $\frac{3}{2}\times\frac{1}{3}$ のように， $3$ の逆数 $\frac{1}{3}$ を掛ける計算に直せます．

$\frac{3}{2}\div\frac{4}{5}$ のように， $\frac{4}{5}$ で割る計算は， $\frac{3}{2}\times\frac{5}{4}$ のように， $\frac{4}{5}$ の逆数 $\frac{5}{4}$ を掛ける計算に直せます．

$\frac{3}{2}\div(-\frac{4}{5})$ のように， $-\frac{4}{5}$ で割る計算は， $\frac{3}{2}\times(-\frac{5}{4})$ のように， $-\frac{4}{5}$ の逆数 $-\frac{5}{4}$ を掛ける計算に直せます．

【問題３】　選択肢をクリックすれば採点結果と解説が出ます．

(1)
　 $\frac{7}{3}\div 5$ をかけ算に直してください

解説やり直す

$\frac{7}{3}\times(-\frac{1}{5})$ $\frac{7}{3}\times\frac{1}{5}$ $\frac{7}{3}\times(-\frac{5}{1})$ $\frac{7}{3}\times\frac{5}{1}$

$5$ の逆数は $\frac{1}{5}$ だから， $\div 5$ を $\times\frac{1}{5}$ に直します．
$\frac{7}{3}\times\frac{1}{5}$ …（答）
結果まで求めると， $\frac{7}{3}\times\frac{1}{5}=\frac{7}{15}$ になります

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(2)
　 $(-\frac{3}{4})\div\frac{2}{7}$ をかけ算に直してください

解説やり直す

$(-\frac{3}{4})\times\frac{2}{7}$ $(-\frac{3}{4})\times\frac{7}{2}$ $\frac{4}{3}\times\frac{2}{7}$ $\frac{4}{3}\times\frac{7}{2}$

$\div$ の後にある数だけを逆数にしてかけ算に直します．
$(-\frac{3}{4})\times\frac{7}{2}$ …（答）
結果まで求めると， $(-\frac{3}{4})\times\frac{7}{2}=-\frac{21}{8}$ になります

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(3)
　 $\frac{5}{3}\div(-\frac{7}{4})$ をかけ算に直してください

解説やり直す

$\frac{5}{3}\times\frac{7}{4}$ $\frac{5}{3}\times(-\frac{7}{4})$ $\frac{5}{3}\times\frac{4}{7}$ $\frac{5}{3}\times(-\frac{4}{7})$

$\div$ の後にある数だけを逆数にしてかけ算に直します．
$\frac{5}{3}\times(-\frac{4}{7})$ …（答）
結果まで求めると， $\frac{5}{3}\times(-\frac{4}{7})=-\frac{20}{21}$ になります

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(4)
　 $(-\frac{7}{4})\div(-\frac{3}{2})$ をかけ算に直してください

解説やり直す

$(-\frac{7}{4})\times(-\frac{2}{3})$ $(-\frac{7}{4})\times\frac{2}{3}$ $(-\frac{4}{7})\times(-\frac{2}{3})$ $(-\frac{4}{7})\times\frac{2}{3}$

$\div$ の後にある数だけを逆数にしてかけ算に直します．
$(-\frac{7}{4})\times(-\frac{2}{3})$ …（答）
結果まで求めると， $(-\frac{7}{4})\times(-\frac{2}{3})=\frac{14}{12}=\frac{7}{6}$ になります

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