展開公式

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整式の展開公式2

高校数学＞数学Ⅰ・Ａ＞数と式＞展開公式

【はじめに】

〇このページの内容の内で[I]～[IV]は中学校３年の復習です．（重要だから高校数学Ⅰの教科書にも再度掲載される）
〇 [VI]～[IX]の３次式は高校数学で新たに登場する．
△ ［前後の項目］内容が難しいと感じるときは，中学3年の教材を先に読んでください．
▽ ［前後の項目］展開公式の応用問題は，別のページです．
▽ ［前後の項目］二項定理を用いる展開は，別のページです．

【教材の本文】
■解説
基本的な乗法公式（展開公式）

[I]　　(a+b)2=a2+2ab+b2
[II]　　(a−b)2=a2−2ab+b2
[III]　　(a+b)(a−b)=a2−b2

※　これらの公式のうち[I]～[IV]は中学校の復習となっているが，高校の数学 I でもう一度出てくる．公式は中学校と同じでも，扱い方が少し変るところがある．例えば，これらの公式を使った置き換えによる展開，因数分解などは普通に出てくる．
（証明）
[I]←　

「総当たり」になるように掛けていき，同類項 ab , ba をまとめて，2ab にする．　　　

[II]←[I]
　「総当たりに」掛けていってもできるが，次のように[I]の公式を使って[II]を示すこともできる．
　(a−b)2=(a+(−b))2=a2+2a·(−b)+(−b)2=a2−2ab+b2

[III]←

※ ab の項が，符号が逆のものと消し合うところがポイント
※ 【この公式は重要】　an と bn だけでできている式はめったにないので，無理数の分母の有理化などにおいてこの式が重要になる．

雑種を含む		純系のみ
a2+ab+b2 a2+2ab+b2 a2− ab+b2 a2− 2ab+b2 例 (+)2 =5+2+3 =8+2	比較 ⇔	a2−b2 例 (+)(−) =5−3 =2

【問題１】　次の式を乗法公式を使って展開し，簡単にしてください．
（選択肢をクリックすれば採点結果と解説が出ます）

(1)
(ax+by)2

解説やり直す

a2x2+b2y2 a2x+2abxy+b2y

ax2+2abxy+by2 a2x2+2abxy+b2y2

(ax+by)2=(ax)2+2(ax)(by)+(by)2
=a2x2+2abxy+b2y2 …（答）

→閉じる←

(2)
(x+y)2+(x−y)2

解説やり直す

2x2 2x2+2y2

2x2+4xy+2y2 2x2+4xy

(x+y)2+(x−y)2
=x2+2xy+y2+x2−2xy+y2=2x2+2y2…（答）

→閉じる←

(3)
(−2x−3y)2

解説やり直す

−4x2−6xy−9y2 −4x2−12xy−9y2

4x2+6xy+9y2 4x2+12xy+9y2

(−2x−3y)2=(−2x)2+2(−2x)(−3y)+(−3y)2
=4x2+12xy+9y2…（答）
または {−(2x+3y)}2=(−1)2(2x+3y)2
=(2x)2+2(2x)(3y)+(3y)2
=4x2+12xy+9y2

→閉じる←

(4)
(−ab+3c)(−ab−3c)

解説やり直す

a2b2+9c2 a2b2−9c2

−a2b2+9c2 −a2b2−9c2

{(−ab)+(3c)}{(−ab)−(3c)}
=(−ab)2−(3c)2=a2b2−9c2…（答）
または {−(ab−3c)}{−(ab+3c)}
=(ab−3c)(ab+3c)=a2b2−9c2

→閉じる←

[IV]　　(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
[V]　　(ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd

[IV]←
証明は展開すれば分かるので省略．ここでは次の点に注意したい．

(x+a)(x+b)=x2+和(a+b)x+積ab
例えば (x+5)(x+3)=x2+8x+15 などとする．
また，(x+5a)(x+3a)=x2+8ax+15a2 などとする．
さらに，(x+a+3)(x+a+2)=x2+(2a+5)x+(a2+5a+6) などとする．

[V]←
　この公式は「総当たりで全部掛ける」というのとあまり変らない．
　丸暗記しても，逆計算の因数分解ができるわけではない．あまりうれしくない公式．

【問題２】　次の式を乗法公式を使って展開し，簡単にしてください．
（選択肢をクリックすれば採点結果と解説が出ます）

(1)
(x+3y)(x−4y)

解説やり直す

x2−x−12 x2+x−12

x2−xy−12y2 x2+xy−12y2

(x+3y)(x−4y)={x+(3y)}{x+(−4y)}
=x2+{3y+(−4y)}x+(3y)(−4y)
=x2−xy−12y2 …（答）

→閉じる←

(2)
(3x+4y)(2x−5y)

解説やり直す

6x2−7xy−20y2 6x2+7xy−20y2

6x2−14xy−20y2 6x2+14xy−20y2

(3x+4y)(2x−5y)={3x+(4y)}{2x+(−5y)}
=3×2x2+{3×(−5y)+4y×2}x+(4y)(−5y)
=6x2−7xy−20y2 …（答）

→閉じる←

[VI]　　(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
[VII]　　(a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3
[VIII]　(a+b)(a2−ab+b2)=a3+b3
[IX]　　(a−b)(a2+ab+b2)=a3−b3

[VI]←
(a+b)3=(a+b)(a+b)2
=(a+b)(a2+2ab+b2)
=a3+2a2b+ab2
____+a2b+2ab2+b3
=a3+3a2b+3ab2+b3
※　この係数 1 , 3 , 3 , 1 は右のような「パスカルの数三角形」で求められる．
[VII]←[VI]
(a+(−b))3=a3+3a2(− b)+3a(−b)2+(−b)3
(− b) が奇数回掛けられているところは符号がマイナスになることに注意すると
これは，a3−3a2b+3ab2−b3 に等しい．　

[VIII] [IX]←
※ 【この公式は重要】　an と bn だけでできている式はめったにない．

雑種を含む		純系のみ
a3+a2b+ab2+b3 a3+2a2b+2ab2+b3 a3+3a2b+3ab2+b3 a3−a2b−ab2+b3 a3−2a2b−2ab2+b3 a3−3a2b−3ab2+b3	比較 ⇔	a3+b3 a3−b3

※　a+b と a3+b3 の符号が同じ，a−b と a3−b3 の符号が同じ．
（「１次と２次は仲が悪い，１次と３次は仲がよい」「プラスとマイナスの積になっているときだけ雑種の項が消える．」など適当にこじつけて覚えておく．）

【問題３】　次の式を乗法公式を使って展開し，簡単にしてください．
（選択肢をクリックすれば採点結果と解説が出ます）

(1)
(x+2y)3

解説やり直す

(x+2y)3=x3+3x2(2y)+3x(2y)2+(2y)3
=x3+6x2y+12xy2+8y3 …（答）

→閉じる←

(2)
(x+y)3+(x−y)3

解説やり直す

(x+y)3+(x−y)3=x3+3x2y+3xy2+y3
+x3−3x2y+3xy2−y3
=2x3+6xy2 …（答）

→閉じる←

(3)
(x+2y)(x2−2xy+4y2)

解説やり直す

x3+3x2y+3xy2+y3

x3+6x2y+12xy2+8y3

x3+8y3

x3−8y3

(x+2y)(x2−2xy+4y2)
={x+(2y)}{(x2−x(2y)+(2y)2}
=x3+(2y)3=x3+8y3 …（答）

→閉じる←

(4)
(ab−c)(a2b2+abc+c2)

解説やり直す

(ab−c)(a2b2+abc+c2)
=a3b3−c3 …（答）

→閉じる←

■問題３
　次の式を展開せよ．

[ 0問 / 全8問中] [採点する] [やり直す] [次の問題]

■問題４
　次の式を展開せよ．

[ 0問 / 全8問中] [採点する] [やり直す] [次の問題]

■問題６
　次の式を展開せよ．

[ 0問 / 全8問中] [採点する] [やり直す] [次の問題]

※　↓送信されるのは各問題の第1問です．（なぜかIEのみ(2)以後の解答が表示されません．Safari,Chrome,FirefoxはOK）
ほとんどの回答者が第3問に無回答で、正答率60%～70%となる者が多い？？

...メニューに戻る

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式について／18.9.22］

いつも参考にさせていただいています。採点する、やり直すの二つの欄がグレーになっていて開けないので、答えを教えていただけないでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．確かに，プログラミングの世界では，選択できないものをグレーで表示する習慣はありますが，この教材でのそのボタンの色は「次の問題」という選択を忘れられないために目立つ色にし，「採点する」「やり直す」の方を地味な色に設定しただけのものですので，クリックしていただくと作動します．（採点すると答えは出ます）

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式について／18.9.11］

iPadのSafariで利用させて頂いてますが、採点する、やり直すが機能していないです。ど、どうしましょう…
＝＞［作者］：連絡ありがとう．Windowsのsafari，iPhoneのsafariで問題なくて，iPadのsafariで動かない？

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式について／18.7.09］

数学の記録が付きません。どうしたら良いでしょうか。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．機種によって，そういう問題があることは認識していますが，リアルタイムで動かしながらデータ形式を変更する（ホットスワップもどきに）と何が起こるか分からないので，延び延びになっています．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式について／18.4.19］

助かります
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式について／18.1.24］

練習問題が複数問あったが、多過ぎず少な過ぎずちょうど良かったと思う。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式について／17.7.31］

問題３－第３問-（３）で、指数の分配法則が多項式でも成り立つのか、ちょっと考えてしまいました。成り立つのですね。直観ではスッと入ってきませんが…。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．指数法則 $(ab)^3=a^3b^3,\hspace{5}(\frac{3}{c})^3=\frac{3^3}{c^3}$ は成り立ちます．
「指数の分配法則が多項式でも成り立つ」とはどういうことを表しているのか？いまいち要領を得ませんでした．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式について／17.6.27］

問題３は正負の記号も解答させる問題形式が良いと思います。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．理屈の上ではそうですが，実際に次のような解答欄にすると明らかに違和感があり，数学で許される形式にはならないでしょう．

※後ろから掛ける式を答える形になっています

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式について／17.6.8］

分数の場合のやり方ものせて欲しいです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．当サイトは中学生から高齢者まで読者層が広いので，分数の場合という言葉が何を表しているのか絞り切れません．例えば，係数が分数になっている場合という意味でしたら，問題１の第４問，問題３の第３問にありますが，展開するだけですから取り扱いとしては同じです．中学生向けのように，分数の係数になると間違いやすいから，特別な頁を作って専用の解説を･･･ということは，高校の教材としては考えにくいです．また，例えば分数式の場合という意味でしたら，分数式の頁が別にありますのでそちらを見てください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式について／17.6.5］

やりやすかったです。参考にさせてもらいます。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式（解説）について／17.4.5］

苦手撲滅完了！？（笑）
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式について／17.3.7］

左に表示される「大きな区分」や「現在地と前後の項目」が見切れていて左三分の一ほどが表示されていない。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．画面の横方向1366ピクセルのFirefoxで見ておられるので，普通なら十分画面に入っているはずです．文字サイズやズーム画面の拡大率を標準(100%にリセット)にして試してください．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式について／17.1.24］

とってもわかりやすい。本当に素晴らしい。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．

■［個別の頁からの質問に対する回答］[展開公式について／16.10.22］

展開公式２　問題３の第３問で【採点する】をクリックできません。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．IEまたはEdgeをお使いのようですが，いずれでも問題なく採点できます．