■直線の像，領域の像
【１次変換の線形性】
　１次変換fは，次の関係を満たします．これを１次変換の線形性といいます．
（２つのベクトルの和を１次変換したものは，各々のベクトルを１次変換してから和を求めたものに等しい
⇔１次変換とベクトルの和は順序を入れ替えることができる）
(1)　f(+)=f()+f()

（ベクトルの定数倍を１次変換したものは，ベクトルを１次変換してから定数倍したものに等しい
⇔１次変換とベクトルの定数倍は順序を入れ替えることができる）
(2)　f()=kf()

以上の(1)(2)から，一般に，a, bを定数とするとき
(*) f(a+b)=af()+bf()
が成り立ちます．
（解説）
　２次元ベクトルを次のような２×１行列（列ベクトル）で表します．
.=
　１次変換fが行列によって表されるとき，
　１次変換f()は，次のような行列の積に対応します．
.f()=
(1)←
　行列の積については，次の分配法則が成り立ちます．
.+
.=+
したがって
.f(+)=f()+f()
が成り立ちます．
(2)←
　行列の積について，次の等式が成り立ちます．
.k=k
したがって
.f()=kf()
が成り立ちます．
※　左記の線形性により，図形の１次変換について，次の性質が成り立ちます．
ここでは，逆行列が存在する（D=ad−bc≠0，正則）１次変換について述べる．逆行列が存在しない（D=ad−bc=0，正則でない）１次変換では，平面全体が直線や点に「つぶれる」場合があり，ここではこれを考えない．逆行列が存在する１次変換では，平面全体は平面全体に１対１に対応します．
(A)　直線は直線に移される
真っ直ぐなものが，１次変換によって曲がることはない．
（解説）
　点A()を通り方向ベクトル=→ABに平行な直線は，ベクトル方程式
.=+t
（tは実数）
で表される．
位置ベクトルP(), 点A()，方向ベクトル=→ABの１次変換fによる像を各々’=f()，A’()，=→A'B'とすると
.f()=f(+t)=f()+f(t)
.=’+t’
ゆえに
.’=’+t’
これは，P'(’)が点A'(’)を通り，方向ベクトル’=→A'B'に平行な直線上にあることを示している．

(B)　線分の内分比は変わらない
元の内分比がPQ:QR=m:nのとき，P'Q':Q'R'もm:nになる．
（解説）
点Q()が２点P(), R()をm:nに内分するとき
.=
　点P(), Q(), R()の１次変換fによる像を各々
P'()=f(), Q'()=f(), R'()=f()とすると
.f() =f
.=
ゆえに
.=
これは，点Q'()が２点P'(), R'()をm:nに内分することを示している．

※　逆行列が存在する（D=ad−bc≠0，正則）１次変換については，この他に，つぎのような性質も成り立ちます．
　しかし，直線や領域の移動を考えるときに，真っ先に利用できるのは上の２つの性質です．
(C) 異なる２点は異なる２点に移される．
(D) 平行な２直線は平行な２直線に移される．
(E) 三角形の内部は三角形の内部に移される．
*** 逆行列が存在するときの直線の像 ***
【例１】
　１次変換=によって，直線y=3x
がどのような図形に移されるか調べてください．
（解答）　（２点の像で求める方法）

図形y=3xの変換となると考えにくいという場合には，点の移動で求める．
選ぶのは直線上の２点ならどれでもよいが，性質(A)により「直線は直線に移される」ことが分かっているから，出てきた２点を結ぶ直線の方程式を求めると答が出る．
　原点Oは
.==によって
原点O' に移される．
　次に，直線y=3x上の１つの点Pは
.==によって
点P' に移される．
　(A) により直線は直線に移されるから，直線OPは直線O'P'に移される．
　O'P'の方程式はy=x …（答）
（別解１）　（逆変換による方法）

　旧座標(x, y)の関係式が
.y=3x…(1)
　新旧の関係式が
　= …(2)
であるときに，新座標(x', y')の関係式を求めたらよい．
(2)を変形して
　=−1=
したがって
　…(2')
(2')を(1)に代入
(x'+y')=3(x'−y')
(x'+2y')=3(4x'−3y')
11y'=11x'
y'=x'
通常の表記に直すと
y=x …（答）
（別解２）　（媒介変数表示による方法）
　方程式y=3x…(1) のままでは
　= …(2)
に代入することはできませんが，これを媒介変数表示に直してx座標とx座標に分けると，代入できるようになります
(1)式を媒介変数表示に直してx=t, y=3t…(1')とする
(1')を(2)に代入すると
　=
　
　x'=11t , y'=11tから媒介変数tを消去すると
　y'=x'
通常の表記戻すと
　y=x …（答）
（別解３）　（図で考える方法）
　１次変換=によって
　=は=に移され
　=は=に移されます．
　このとき点=x+y=x+yは
　
　x+y
　=x+y=x+y
　=x+yに移されますので，右図のピンク色はピンク色の部分に，緑色は緑色，水色は水色に各々移されます．
　そこで上の図の赤で示した直線y=3xは下の図の赤で示した直線に移されます．

目の子算（めのこざん）という言葉があるらしい．･･･まともに計算せずに，目で見て合わせる方法
丸印の所などを参考にすると，y=x…（答） 		※　左の【例１】のように，原点を通る直線の像を求めたいとき，原点の像は必ず原点になるから，他にもう一つの点の像を求めて，２点の像を求めるとよい．
　次のようにまとめることができます．
直線の像の求め方（その１）

⇒　直線の像は，２点の像で求められます

２点の像が得られたら，それら２点(a, b) , (c, d)を通る直線の方程式は，次の公式で求められます．
○　c≠aのとき
.y−b=(x−a)
○　c=aのときは
　右図のようにx軸に垂直な直線になるから
.x=a　（またはx=c）
　左の【例１】では，２点(0, 0) , (11, 11)を通る直線の方程式として
.y−0=(x−0)
で求めています．
直線の像の求め方（その２）

　⇒　逆変換を使えば，x, yの関係式をx', y'の関係式に直せます．


　=A
は，逆行列A−1を求めたら
　=A−1
と書き直せます．
直線の像の求め方（その３）

　⇒　媒介変数表示を使えば，方程式y=f(x)の代わりに点の座標( ...t, ...t)になるので，そのまま変換式に代入できます．

【媒介変数表示に直すには】
○　関数y=f(x)の形で書かれている方程式を媒介変数表示直すには，
x=t, y=f(t) （tは媒介変数）とするとよい
例えば，y=2x+1を媒介変数表示に直すには
x=t, y=2t+1 （tは媒介変数）とするとよい

○　y=...の形に変形しにくい場合，例えば，x=y2+1の場合ならば
y=t, x=t2+1 （tは媒介変数）とするとよい

※　媒介変数表示に直す方法は１つではないので，例えば2x+3y+1=0の場合ならば
(1) x=t, y=−t− （tは媒介変数）でもよく
(2) y=s, x=−s− （sは媒介変数）でもよい
(3) 2(x−1)=−3(y+1)と変形して
x−1=3u, y+1=−2u
⇔ x=3u+1, y=−2u−1（uは媒介変数）でもよい


【問題１】
　=
で表される１次変換によって，直線x+3y=1がどのような図形に移されるか調べてください．

. 2x−4y=−1 . y=−2x+1
. 4x−2y=1 . y=2x−1
【問題２】
　=
で表される１次変換によって，直線x+2y=4がどのような図形に移されるか調べてください．

. 3x−2y+4=0 . 3x−2y−2=0
. 13x+10y−4=0 . 13x−10y+4=0
*** 逆行列が存在するときの多角形の像 ***
【例２】
　１次変換=によって，
領域{ (x, y) | 0≦x≦1, 0≦y≦1 }がどのような図形に移されるか調べてください．
（解答）
　頂点O(0, 0), A(1, 0), B(1, 1), C(0, 1)はこの１次変換によって各々
.= …O'
.= …A'
.= …B'
.= …C'
に移される．
　このとき，四角形OABCは四角形O'A'B'C'に移され，四角形OABCの内部は四角形O'A'B'C'の内部に移されます．
　したがって，O'(0, 0), A'(5, 2), B'(8, 3), C'(3, 1)を頂点とする四角形の内部および周上 …（答） 		　直線は直線に移されるから，線分OAは線分O'A'に移され，他の３つの辺も同様　⇒　四角形の周上の点は周上の点に移される．
　次に，図のような四角形の内部の点Pは，「内分比が変わらない」ことにより，内分比が同じ図のような点P'に移されるので，四角形の内部の点は新しい四角形の内部の点に移されます．

　このようにして，
  • 図形の周辺の像を求めれば図形の像は求められます．
  • 特に，三角形，四角形のような直線で囲まれた図形の像は，頂点の像を求めるだけで求められます．
【問題３】
　=
で表される１次変換によって，３点O(0, 0), A(1, 0), B(0, 1)を頂点とする三角形OABの内部および周上がどのような図形に移されるか調べてください．

. .
. .
【問題４】
　=で表される１次変換によって，
領域{ (x, y) | 0≦x≦1, 0≦y≦1 }がどのような図形に移されるか調べてください．

. .
. .
*** １次変換による原像 ***
【例３】
　１次変換=によって，
直線y=3x+1に移される元の図形を求めてください．
（解答）
　新座標(x', y')の関係式
.y'=3x'+1…(1)
と，新座標(x', y')と旧座標(x, y)の変換式
.= ⇔ …(2)
から新座標(x', y')を消去して，旧座標(x, y)の関係式を作ればよい．
　(2)を(1)に代入すると
.4x+2y=3(3x−y)+1
.5x−5y+1=0…（答）
　像の関係式（新座標の方程式）y'=3x'+1から原像の関係式y=...x+...を求める手続きを理屈で考えれば逆変換に見えますが，左欄のように(x', y')と(x, y)の関係を整理すると，『意外な事に』元の１次変換のまま使えばよいことが分かります．

※　この問題では，直線y=3x+1上の２点，例えば(0, 1), (1, 4)の原像を求めて，それら２点を通る直線の方程式を計算する方法も考えられますが，「逆行列の計算」「２点の原像の計算」「２点を通る直線の方程式の計算」と長い道のりになり，大変です．
【問題５】
　１次変換=によって，
直線2x+3y−1=0に移される元の図形を求めてください．
. 2x+7y−1=0 . 7x−2y−1=0
. 11x+13y−17=0 . 17x+13y−11=0
【問題６】
　１次変換=によって，
直線y=−2xに移される元の図形を求めてください．
. y=2x . y=−2x
. x=2y . x=−2y
*** 逆行列が存在するときの曲線図形の像 ***
【例４】
　１次変換=によって，
円x2+y2=1はどのような図形に移されますか．
　この問題は，元の図形が直線で囲まれた図形ではなく，曲線なので２点の像を直線でつないでも解答は得られません．
　しかし，単位面積{ (x, y) | 0≦x≦1, 0≦y≦1 }の像は略図を描くときには非常に参考になります．（右図参考）
（解答）
　旧座標(x, y)の関係式
.x2+y2=1…(1)
と，新座標(x', y')と旧座標(x, y)の変換式
.=
. ⇔ =−1=
. ⇔ …(2)
から旧座標(x, y)を消去して，新座標(x', y')の関係式を作ればよい．
　(2)を(1)に代入すると
.(x'+y')2+(−x'+y'')2=1
....
.x'2+y'2=2
x, yの表記に直すと
.x2+y2=2…（答）
 ※　理屈で考えると，(x, y)の関係式を変換すると(x', y')の関係式になるように思われますが，実際の計算は，左の解説のように逆変換を代入します．
　したがって，この方法で答えられるのは，１次変換に逆行列が存在する場合だけです．


※　この問題は，元の図形が曲線なので，２点の像で直線の像を求める方法で解くことはできませんが，
単位面積{ (x, y) | 0≦x≦1, 0≦y≦1 }
の像を描くと平面が移される様子が視覚的に理解できます．
(0, 0)→(0, 0), (1, 0)→(1, 1), (1, 1)→(0, 2), (0, 1)→(−1, 1)だからピンクの四角形はピンクの四角形に移されます．同様にして，黄色は黄色へ，灰色は灰色へ，水色は水色へ移されます．
　この頁の先頭で述べた(B)の性質により，各々の色の中にある図形は各々の色の中に移されるので，赤で示した線は赤で示した線に移されます．（金網を引きのばして回転させた感じ）
　求めた線が円であることは，左のような計算によらなければ断定できません．
【問題７】
　１次変換=によって，
放物線y=x2はどのような図形に移されますか．
. y=x2 . y=−x2 . x=y2 . x=−y2
【問題８】
　１次変換=によって，
円x2+y2=1はどのような図形に移されますか．
. x2+y2=13 . 4x2+9y2=1 . +=1 . +=1

*** 逆行列が存在しないときの像 ***
【例５】
　１次変換=によって，
直線y=2x+1はどのような図形に移されますか．
　この問題では，逆行列が存在しない（D=6×2−(−4)×(−3)=0）ので逆変換は利用できません．
　原像が直線図形なので，２点の像で求めることができます．媒介変数表示を利用してもできます．
（解答）
（２点の像で求める方法）
(1)　直線y=2x+1の上にある２点を選びます．例えば(0, 1), (1, 3)を選びます．
(2)　これら２点の像を各々求めます．
.=
.=
(3) 像となる２点の座標(−4, 2), (−6, 3)から，２点を通る直線の方程式を求めます．
.y−2=(x+4)
.x+2y=0…（答） 		（媒介変数表示による方法）
y=2x+1を媒介変数表示に直してx=t, y=2t+1…(*)とする
(*)を代入すると
　=
　
　x'=−2t−4 , y'=t+2から媒介変数tを消去する
.x'+2y'=0
習慣にしたがって変数をx, yで表すと
.x+2y=0
【問題９】
　１次変換=によって，
直線x+y−3=0はどのような図形に移されますか．
. y=2x . y=−2x . x=2y . x=−2y

【問題10】
　１次変換=によって，
直線y=2x+1はどのような図形に移されますか．
. y=2x . y=−2x . x=2y . x=−2y

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